«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Κυριακή, 18 Μαΐου 2014

Οι πανελλαδικές εξετάσεις,το παιχνίδι Ντε Φινέτι,,το ποδόσφαιρο και η υποκειμενική πιθανότητα!!

                                   odds

    Η επιστημολογική αξία της θεωρίας πιθανοτήτων βασίζεται στο γεγονός  ότι τα τυχαία φαινόμενα δημιουργούν σε μεγάλη  κλίμακα μια αυστηρή κανονικότητα, όπου το τυχαίο, με κάποιο τρόπο έχει εξαφανιστεί.

                                                                                          Α.Ν.Κολμογκόροφ  (1903-1987)

Οι πιθανότητες είναι κλάδος της θεολογίας.

                                                                                          G.H.Hardy (1877–1947)



    Πολύ συχνά μετά το πέρας των πανελλήνιων εξετάσεων όταν ρωτώ τους μαθητές πως πιστεύουν ότι  έγραψαν, οι περισσότεροι δίνουν παραφουσκωμένες εκτιμήσεις  παρότι συνειδητά ή ασυνείδητα το γνωρίζουν.Στην σημερινή ανάρτηση θα αναφέρουμε ένα παιχνίδι που ονομάζεται παιχνίδι του Ντε Φινέτι που μπορεί να εκμαιεύσει την πραγματική τους εκτίμηση για το πώς τα πήγαν. Αλλά ας τα πάρουμε από την αρχή…. 

  Στον πραγματικό κόσμο εκτός των τυχερών παιχνιδιών,σπάνια συναντάμε μια ξεκάθαρη ομάδα ενδεχομένων που έχουν όλα τους τις ίδιες πιθανότητες.Για παράδειγμα, το ζεύγος των πιθανοτήτων {βροχή,όχι βροχή}, τα δυο ενδεχόμενα δεν είναι το ίδιο πιθανά. Υπολογιζονται οι  πιθανότητες σε τέτοιες καταστάσεις;Πως αντιμετωπίζουμε την τύχη στην καθημερινή μας ζωή;

   Όλοι μας γνωρίζουμε τις λοταρίες αφού πολλά κράτη και όχι μόνο πραγματοποιούν λοταρίες  στις οποίες οι νικηφόροι αριθμοί δίνουν στον νικητή  την ευκαιρία να κερδίσει  εκατομμύρια ευρώ. Η πιθανότητα να κερδίσει κανείς σε αυτές τις λοταρίες είναι σχεδόν μηδενική. Μια απλή λοταρία για τη περίπτωση που μας ενδιαφέρει εδώ είναι,είναι μια συλλογή από σφαίρες μέσα σε μια τσάντα που περιέχει εκατό σφαίρες,εξήντα από τις οποίες είναι κόκκινες  τότε η πιθανότητα να επιλέξουμε  τυχαία μια σφαίρα από την τσάντα και να είναι κόκκινη είναι 60/100. 

                                    Η βροχή ως… απόδειξη. Του Γιάννη Μακριδάκη


  Η βασική  ιδέα είναι αν είναι δυνατό με κάποιο τρόπο να χρησιμοποιήσουμε ένα είδος λοταρίας σε γεγονότα που δεν έχουν όλα τους τις ίδιες πιθανότητες.Ας δούμε το παράδειγμα με την βροχή. Έχουμε ήδη πει ότι το ζεύγος {βροχή , όχι βροχή} δεν είναι ένα σύνολο ισοπίθανων αποτελεσμάτων - όταν πρόκειται για τον καιρό δεν ρίχνουμε ένα κέρμα με την κορώνα να σημαίνει βροχή και τα γράμματα να σημαίνουν όχι βροχή. Επομένως, πως μπορούμε να επιβάλλουμε μια λοταρία στην περίπτωση αυτή; Ίσως η εν λόγω ημέρα να είναι τον Αύγουστο και ας υποθέσουμε ότι μένετε στο Αγρίνιο  αν ανατρέξουμε στα στοιχεία της μετρολογικής υπηρεσίας (Δείτε εδώ) ξέρετε ότι  στο Αγρίνιο σπανίως βρέχει τον Αύγουστο, και μετρώντας τις βροχερές ημέρες του Αυγούστου  διαιρώντας με τον συνολικό αριθμό των ημερών του Αυγούστου  των περασμένων δυο χρονών  βρίσκετε 6/62.Επί της ίδιας βάσεως, δηλαδή αν πρόκειται  για μια μέση χρονιά- ούτε ξηρή χρονιά ούτε ιδιαιτέρως βροχερή- μπορείτε να θεωρήσετε  την βροχή αύριο ως μια επιλογή  μιας σφαίρας από  μια λοταρία, με έξι κόκκινες σφαίρες από ένα σύνολο εξήντα δυο.Τώρα φαίνεται ότι βγάζουμε μια άκρη. Η πιθανότητα βροχής είναι 6/62 δηλαδή  0.0967 ή περίπου 9%.Φυσικά, για τις καιρικές προγνώσεις συνήθως  χρησιμοποιούνται  εικόνες από δορυφόρο. Αλλά η ιδέα της λοταρίας θα μας χρησίμευε σε περιπτώσεις  κατά τις οποίες δεν υπάρχει  δυνατότητα  για αλλού είδους καιρικής πρόγνωσης .



 Ένα παράδειγμα λοταρίας σε στοίχημα στο ποδόσφαιρο

 Έστω ότι θέλω να παίξω στο ποδόσφαιρο στοίχημα σε κάποιο συγκεκριμένο αγώνα. Όλες εκείνες οι διαφημίσεις στην τηλεόραση με έχουν επηρεάσει και θέλω να δοκιμάσω την τύχη μου, επιλέγω τον τελικό αγώνα πρωταθλήματος του Παναισχριακου με τον  Πανχαλιακο , θέλω να στοιχηματίσω σε μια από τα δυο ομάδες που πιστεύω ότι έχει παραπάνω από 50% πιθανότητες να κερδίσει. Πως μπορώ να υπολογίσω την πιθανότητα να βγάλω λεφτά από το συγκεκριμένο στοίχημα και μην καταλήξω στον ..κουβά.

   Αν προσπαθούσα όπως και προηγουμένως να προσαρμόσω την κατάσταση σε ένα είδος λοταρίας ,τι θα έπρεπε να κάνω; Ας κάναμε την υπόθεση ότι  τραβαω μια απο τις δυο ομάδες  από μια συλλογή με μπάλες μέσα από μια τσάντα  από τις οποίες μερικές είναι σημαδεμένες με την λέξη Παναισχριακου και οι υπόλοιπες με την λέξη Πανχαλιακο .Είναι δυνατόν αυτό να γίνει με λογικό και έγκυρο επιστημονικό τρόπο; Αν ανατρέξω στον κόσμο των πιθανοτήτων για αυτόν τον αγώνα και  φανταστώ ότι υπάρχουν 100 ημέρες που πραγματοποιήθηκε ο συγκεκριμένος αγώνας  και εγώ έχω την δυνατότητα σε καθένα από αυτούς να στοιχηματίσω. Σε πόσες από αυτές τις ημέρες η ομάδα που θα επιλέξω θα νικήσει; Ποια θα είναι μια λογική λοταρία στον αγώνα αυτό. Ας υποθέσουμε ότι από την σύνθεση των ομάδων, τις δημοσιογραφικές πληροφορίες , την κατάταξη των ομάδων και την έδρα, ότι  η ομάδα που θα επιλέξω θα κερδίσει τους  65 υποθετικούς αγώνες  από τις 100. Μόλις δημιουργήσαμε μια λοταρία στην όποια η πιθανότητα να κερδίσω είναι 65%. Θα ήταν αποτελεσματικό όμως;                       
  Η πιθανότητα μπορεί να είναι υποκειμενική ή αντικειμενική. Μια αντικειμενική πιθανότητα είναι μια πιθανότητα με την οποία συμφωνούν όλοι. Για παράδειγμα ένα κανονικό ζάρι, κάθε λογικός άνθρωπος συμφωνεί ότι η πιθανότητα να έρθει ως αποτέλεσμα με την ρίψη του οποιοσδήποτε από τους 6 αριθμούς είναι 1/6.Τι γίνεται όμως με την πιθανότητα να κερδίσει ο Παναισχριακος τον Πανχαλιακο στον επίμαχο αγώνα; Αυτή είναι μια υποκειμενική πιθανότητα, υποκειμενική  επιλογή που  εξαρτάται από το άτομο που κάνει την εκτίμηση. Για παράδειγμα η υποκειμενική μου πιθανότητα είναι να κερδίσει ο Παναισχριακος είναι 65%.Πως προέκυψε αυτό το νούμερο; Μελέτησα την σύνθεση των ομάδων,την έδρα , την πορεία των ομάδων στο πρωτάθλημα. Αυτά τα γνωρίζω ως απλός φίλαθλος.Αν όμως είμαι αθλητικός δημοσιογράφος έχω περισσότερη πληροφόρηση οπότε η υποκειμενική μου πιθανότητα ενδεχομένως θα άλλαζε.Επίσης, θα άλλαζε αν ήμουν παράγοντας μιας από τις δυο ομάδες θα γνώριζα περισσότερα και  η υποκειμενική  πιθανότητα θα ήταν διαφορετική. Θα άλλαζε  αν ήμουν διαιτητής και έχω πουλήσει το παιχνίδι υπέρ του Παναισχριακού οπότε η υποκειμενική πιθανότητα για την νίκη του θα ανέβαινε  στο 100% !!!

Συνεπώς ,η υποκειμενική πιθανότητα αποτελεί την προσωπική μας εκδοχή για την πραγματοποίηση ενός γεγονότος σύμφωνα με την πληροφόρηση και τις γενικότερες πεποιθήσεις μας.Αποφεύγουμε να πηγαίνουμε στην δουλειά τρίτη και 13 επειδή θεωρούμε ότι είναι πολύ πιθανό να μας συμβεί κάτι κακό.Η υποκειμενική πιθανότητα είναι δύσκολο  να καθοριστεί  αλλά και να εκφραστεί με σαφήνεια. 

                             kouvas_stoixima


Σε αυτό το σημείο, συναντούμε το παιχνίδι του Ντε φινέτι.

                                                          

             ... before approaching a problem to solve you need to see it ...


    
    Ο Μπρούνο Ντε Φινέτι (1906-1985) ήταν ένας Ιταλός στατιστικολόγος  ο οποίος πέρασε  όλη του την ζωή  αναπτύσσοντας αποτελεσματικές μεθόδους - που αμφισβητήθηκαν έντονα- οι οποίες βρίσκονται ανάμεσα στα μαθηματικά και την ψυχολογία.Το απίστευτο είναι ότι βρήκε ένα τρόπο να υπολογίζει την υποκειμενική πιθανότητα.Η μέθοδος αυτή ονομάζεται το παιχνίδι του Ντε Φινέτι.

Το παιχνίδι Ντε Φινέτι,θα λέγαμε ότι είναι ένας τρόπος να ποσοτικοποιήσουν οι άνθρωποι τα ενδόμυχα συναισθήματα τους σε σχέση με τις προβλέψεις που κάνουν.Οι περισσότεροι άνθρωποι λένε ψέματα  για τις πιθανότητες , χωρίς καν να το γνωρίζουν-λένε ψέματα ακόμη και στον εαυτό τους. Ας υποθέσουμε ότι ο  ένας μαθητής σας έγραψε σε ένα διαγώνισμα και νιώθει καλά για το πώς τα πήγε.Μπορεί να σας πει:

Έσκισα ,είμαι εκατό τοις εκατό σίγουρος ότι πήρα άριστα.

Όμως, κανείς πραγματικά δεν πιστεύει ότι υπάρχει κάτι που έχει εκατό  τοις εκατό πιθανότητα( εκτός ίσως από τους φόρους του μνημονίου και τον θάνατο…). Επομένως η ερώτηση είναι ,πόσο σίγουρος είναι στα αλήθεια ο μαθητής  σας αρίστευσε ότι σε αυτό το διαγώνισμα.

  Το παιχνίδι Ντε Φινετι συνίσταται στο να κάνετε στο μαθητή μια σειρά ερωτήσεων που  στοχεύουν στην εκτίμηση της αληθινής υποκειμενικής πιθανότητας για το γεγονός της αρίστευσης  στο διαγώνισμα.Ειδικότερα:

  Πείτε στον μαθητή τα εξής:

   Ας παίζουμε ένα παιχνίδι.Έχεις μια επιλογή.Μπορείς να τραβήξεις μια μπάλα από μια τσάντα η οποία έχει ενενήντα οκτώ κόκκινες μπάλες και δυο μαύρες μπάλες.Αν τύχει  να τραβήξεις μια κόκκινη μπάλα,θα σου δώσω ένα εκατομμύριο ευρώ ή  μπορείς να αποφασίσεις να περιμένεις να δεις πως τα πήγες στο διαγώνισμα και αν έχεις πάρει άριστα τότε θα σου δώσω ένα εκατομμύριο ευρώ.Τι επιλέγεις τραβάς μπάλα ή περιμένεις;





                                               

  Πιθανώς ο μαθητής  σας  να σας πει:

θα τραβήξω από την τσάντα.Αν δεν το πει,αυτό σημαίνει ότι πράγματι έχει μια υποκειμενική πιθανότητα εκατό τοις εκατό να αριστεύσει στο διαγώνισμα.

 Αν η απόφαση του είναι να τραβήξει,τότε του κάνετε την επομένη ερώτηση:


Τώρα υπάρχουν ογδόντα κόκκινες μπάλες στην τσάντα και είκοσι μαύρες. Θέλεις να τραβήξεις μια μπάλα και, αν σου τύχει κόκκινη, να κερδίσεις ένα εκατομμύριο ευρώ ή να περιμένεις μέχρι να δεις πως τα πήγες στο διαγώνισμα και ,αν έχεις αριστεύσει ,να πάρεις ένα εκατομμύριο ευρώ ; 

  Αν η απάντηση  τώρα είναι θα περιμένω (για τα αποτελέσματα του διαγωνίσματος), τότε ξέρουμε ότι η υποκειμενική πιθανότητα να αριστεύσει είναι μεγαλύτερη από ογδόντα τοις εκατό αλλά μικρότερη από ενενήντα οκτώ τοις εκατό. Για αυτό επιλέξτε τώρα ένα νούμερο , ανάμεσα, όπως το ενενήντα τοις εκατό και πείτε :

Τώρα υπάρχουν ενενήντα κόκκινες μπάλες και δέκα μαύρες μπάλες στην τσάντα, θέλεις να τραβήξεις ή να περιμένεις ;

 Αν η απάντηση είναι θα τραβήξω,δοκιμάστε την επομένη ερώτηση:

Υπάρχουν ογδόντα πέντε κόκκινες μπάλες και δεκαπέντε μαύρες,τραβάς ή περιμένεις; 
Αν η απάντηση είναι τραβάω, χρησιμοποιήστε ογδόντα τρεις κόκκινες μπάλες;


Η απάντηση του είναι :


Δεν μπορώ να αποφασίσω αν πρέπει να τραβήξω ή να περιμένω.

  
  Στην περίπτωση αυτή, η υποκειμενική πιθανότητα να έχει αριστεύσει (ότι και αν σημαίνει αυτό στις πανελλήνιες εξετάσεις)  είναι ογδόντα τρία τοις εκατό. Αν όχι ,προσαρμόστε τον αριθμό των κόκκινων και των μαύρων σφαιρών στην τσάντα ανάλογα, έτσι ώστε  να μπορείτε να εντοπίσετε  την πραγματική υποκειμενική πιθανότητα ανάμεσα στην απάντηση ότι θα τραβήξει σφαίρα και στην απάντηση θα περιμένει. Όλα αυτά βέβαια σε ένα ιδανικό κόσμο που οι μαθητές της Γ λυκείου που δίνουν πανελλήνιες έχουν το χρόνο και την διάθεση να  συμμετέχουν παιχνίδια προκειμένου να κατανοήσουν την έννοια της πιθανότητας…

   Από το παιχνίδι αυτό προκύπτει ότι πολύ συχνά αλλάζουν οι πιθανότητες των ανθρώπων. Ο Ντε Φινέτι  έπαιζε το παιχνίδι κάθε εβδομάδα με τους φοιτητές του στο πανεπιστήμιο της Ρώμης  για να μαντεύει τις πιθανότητες νίκης σε ποδοσφαιρικούς αγώνες στο Ιταλικό πρωτάθλημα.O Ντε Φινετι δεν ισχυριζόταν ότι η διαδικασία που πρότεινε δίνει μια αντικειμενική απάντηση.Ένα παιχνίδι αυτού του είδους αναμφίβολα εμπλέκει και ψυχολογικές πτυχές,και,σε διαφορετικές περιπτώσεις, ίσως να καταλήξουμε σε διαφορετικά αποτελέσματα.Η πρόταση του έχει να κάνει περισσότερο με μια πρακτική διαδικασία η οποία προσπαθεί να δώσει νόημα στην τιμή  που δίνουμε σε μια πιθανότητα.
 Σήμερα,μέρα εκλογών το ίδιο παιχνίδι θα μπορούσε να εφαρμοστεί για την εύρεση της υποκειμενικής πιθανότητας που δίνει ένα πρόσωπο  στην εκλογική νίκη του ενός ή του άλλου υποψηφίου.



Βιβλιογραφία και σχετικοί ηλεκτρονικοί σύνδεσμοι:




• Developing Thinking in Statistics, Alan Graham ( σελ 50  πατήστε  εδώ)

• Chance:A Guide to Gambling,Love,the Stock Market, and Just About Everything Else, Amir D. Aczel

• Φερμά-Πασκάλ.Το τελευταίο παιχνίδι ,Keith Devlin




                                        

1 σχόλιο:

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...