«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Κυριακή, 6 Μαρτίου 2016

Ο Νόμος του Μπέντφορντ και μια ακόμα πρωτιά του 1.

                                 British-Airways-Business-Life-_-Benford's-Law-credit-Neil-Webb
 «Ασχολούμαι με τους αριθμούς όλη μου τη ζωή,φυσικά,μετά από λίγο άρχισα να αισθάνομαι ότι κάθε αριθμός έχει δική του προσωπικότητα.Ένα δώδεκα είναι πολύ διαφορετικό από ένα δεκατρία, για παράδειγμα.To Δώδεκα είναι ορθολογιστικό,ευσυνείδητο,ευφυές,ενώ το δεκατρία είναι ένας μοναχικός, σκιώδης  χαρακτήρας που δεν θα σκεφτεί δύο φορές να παραβεί το νόμο για να πάρει αυτό που θέλει.To Έντεκα είναι σκληρό,τύπος της υπαίθρου που του αρέσει να αλητεύει μέσα σε δάση και αναρριχάται σε  βουνά.Το  δέκα είναι μάλλον αφελής,μια μειλίχια φιγούρα που κάνει πάντα ό,τι του λένε.Το εννέα είναι εσωτερικό και μυστικοπαθές,ένας Βούδας στοχασμού ....

                                                         Πωλ Όστερ στην Μουσική του πεπρωμένου.

 Αριθμητικά μοτίβα είναι δυνατόν να εμφανιστούν παντού.Με την βοήθεια του διαδικτύου μαθαίνουμε ότι:

Σε ένα δείγμα 208228 κατόχων κινητού Ιphone  της εταιρείας Apple καταγράφηκαν οι κωδικοί εισόδου (τα γνωστά μας passwords) και ταξινομήθηκαν με βάση το πρώτο ψηφίο κάθε κωδικού, τα ποσοστά εμφάνισης κάθε ψηφίου από το 1 έως το 9  ως πρώτο ψηφίο του κωδικού ήταν:
 
  
 Σε ένα δείγμα 50570 πόλεων και κωμοπόλεων της Βραζιλίας  καταγράφηκε ο πληθυσμός καθεμίας και ταξινομήθηκαν με βάση το πρώτο ψηφίο κάθε πληθυσμού ,τα ποσοστά εμφάνισης κάθε ψηφίου από το 1 έως το 9  ως πρώτο ψηφίο του πλήθους των κατοίκων κάθε πόλης δίνονται στον παρακάτω πίνακα:



                                          (Πηγή:http://testingbenfordslaw.com)

Και στα δυο δείγματα η σειρά κατάταξης είναι η ίδια. Ο λόγος είναι ο Νόμος του Μπέντφορντ.

 Ο νόμος του Μπέντφορντ διατυπώνεται ως εξής: όταν έχουμε μια ομάδα από  αριθμητικά δεδομένα ενώ θα περιμέναμε για το πρώτο ψηφίο  των αριθμών,όλα τα ψηφία από το 1 έως το 9 να έχουν την ίδια συχνότητα εμφάνισης, δεν συμβαίνει αυτό.   Τις περισσότερες φορές έχουμε την εξής κατανομή συχνοτήτων. 


 
 Για παράδειγμα το 1 εμφανίζεται πιο συχνά,30 στις 100 φόρες σε αντίθεση με το 9 που εμφανίζεται  μόνο 4.6 φορές στις 100.

Η εμφάνιση του φαινομένου είχε επισημανθεί για πρώτη φορά το 1881 από τον Αμερικανό μαθηματικό-αστρονόμο Σάιμον Νιούκομπ. Την εποχή εκείνη, δεν υπήρχαν υπολογιστές ούτε καν αριθμομηχανές χειρός,όλοι οι υπολογισμοί γίνονταν στο χέρι ή με την βοήθεια του λογαριθμικού κανόνα.


Σάιμον Νιούκομπ (1835 –1909)


Αργότερα, το 1938, ο φυσικός Φρανκ Μπέντφορντ δημοσίευσε μια εργασία  με τίτλο Ο νόμος των ανωμάλων αριθμών  και  κατόρθωσε να επαληθεύσει το νόμο του πρώτου ψηφίου,ο νόμος έκτοτε φέρει το όνομα του.  
 
Φράνκ Μπέντφορντ (1883-1948)

 Ο τύπος για την πιθανότητα εμφάνισης  των ψηφίων από το 1,..,9  είναι :

                                            log10(v+1)- log10(v)     όπου  v=1,2,3…,9

  Ο νόμος του πρώτου ψηφίου φαίνεται να δουλεύει καλύτερα σε  μεγάλα δείγματα αριθμητικών μεγεθών.Ο Κλίφορντ Πικόβερ στο βιβλίο του “Passion for mathematics”αναφέρει ότι το IRS  (το σώμα οικονομικού εγκλήματος στην Αμερική το οποίο είναι το πιο εξελιγμένο στο κόσμο καμία σχέση με την δική μας εφορία ) χρησιμοποιεί το νόμο του Μπέντφορντ, για να εντοπίσει φορολογικές απατες που προκύπτουν με μαγείρεμα των οικονομικών στοιχειών.Ο επίδοξος φοροφυγάς προσπαθεί να κατανείμει τα δεδομένα του ομοιόμορφα  κάτι το όποιο δεν ισχύει στα πραγματικά αριθμητικά δεδομένα.Ενα σχετικό άρθρα για την οικονομική κρίση και την αναζήτηση φοροδιαφυγής στην Ελλάδα http://businesslife.ba.com/Ideas/Economics/would-benfords-law-have-caught-out-greece.html

   Στον ιστότοπο http://testingbenfordslaw.com υπάρχουν πάμπολλες εφαρμογές του Νόμου του Μπενφορντ από ποίκιλλα πεδία των επιστημών.
Μια σχετική παρουσίαση..
               

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...