Προβληματάκι

  Διαγωνιστικό προβληματάκι παραγγελιά από τον φίλο του ιστολογίου Carlo De Grandi (http://papaveri48.blogspot.com/),με παίδεψε αρκετά για αυτό και το ανεβάζω.

  Στο κέντρο μιας περιοχής που έχει μορφή τετραγώνου βρίσκεται ένας λύκος και στις κορυφές του τετραγώνου τέσσερις σκύλοι. Ο λύκος μπορεί να κινείται σε όλη την περιοχή, ενώ οι σκύλοι επί των πλευρών  του τετραγώνου. Είναι δεδομένο ότι ο λύκος εκδιώκει ένα σκύλο, ενώ δύο σκύλοι εκδιώκουν τον λύκο. Η ταχύτητα κάθε σκύλου είναι 1,5 φορά μεγαλύτερη από τη μέγιστη ταχύτητα του λύκου.Να αποδείξετε ότι οι σκύλοι έχουν τη δυνατότητα να μην αφήσουν τον λύκο να βγει από το τετράγωνο.

Πως το χειριζόμαστε;

   Θεωρούμε για ευκολία και χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι το τετράγωνο έχει πλευρά μήκους 1 .Έστω U η ταχύτητα του λύκου τότε .Από το τυχαίο σημείο που βρίσκεται ο λύκος ( π.χ το Λ) φέρνουμε δυο ευθείες παράλληλες στις διαγώνιους του τετραγώνου  που τέμνουν τις πλευρές του τετράγωνου  Κ1,Κ2,Κ3,Κ4.Επειδή η ταχύτητα μετακίνησης καθενός από τα τέσσερα σημεία  δεν είναι μεγαλύτερη από  √2U(*) που είναι μικρότερη από 1.5U άρα οι τέσσερεις σκύλοι μπορούν κάθε στιγμή  να βρίσκονται σε αυτά τα τέσσερα σημεία  και δεν θα επιτρέπουν στο λύκο να βγει από το τετράγωνο.

(*)Στην οριακή περίπτωση που ο  λύκος κινηθεί κατά μήκος της ΟΑ με αφετηρία το Ο το Κ1 διανύει μια απόσταση μήκους 1  στον ίδιο χρόνο που ο λύκος διανύει μια απόσταση  √2, άρα η μέγιστη ταχύτητα που μπορεί να αναπτύξει το Κ1 ( και καθένα από τα υπόλοιπα τρία σημεία ) είναι √2U.