«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Τρίτη, 17 Απριλίου 2018

Ο Λέοναρντ Όιλερ, ο λαβύρινθος και ένα κινηματογραφικό Blockbuster


 «Για να βρεις την έξοδο ενός λαβύρινθου»,είπε ο κοντορεβιθούλης,«δεν υπάρχει παρά ένας τρόπος.Σε κάθε νέο κόμβο,από όπου δεν έχεις ξαναπεράσει, η διαδρομή άφιξης θα σημαδεύεται με τρία σημάδια.Αν σε κάποια διαδρομή  του κόμβου δεις προηγούμενα σημάδια, που σημαίνουν ότι τον έχεις ήδη επισκεφτεί,θα βάζεις στην διαδρομή αφίξεως ένα μόνο σημαδι.Αν όλα τα περάσματα έχουν κιόλας σημαδευτεί,πρέπει να πάρεις  και πάλι τον δρόμο προς τα πίσω.Αν όμως απομένουν ακόμα ένα ή δυο περάσματα χωρίς σημάδια,διαλέγεις ένα στην τύχη και του βάζεις δυο σημάδια.Περνώντας από μια δίοδο που έχει ένα μόνο σημάδι,βάζεις άλλα δυο,ώστε το πέρασμα εκείνο να έχει πια τρία.Θα έχεις επισκεφτεί όλα τα μέρη του λαβύρινθου,όταν,φτάνοντας σε έναν κόμβο, δεν θα μπαίνεις ποτέ σε πέρασμα με τρία σημάδια,παρά μόνον όταν όλες οι άλλες δίοδοι έχουν και αυτές σημάδια».

«Και με αυτό τον τρόπο βγαίνεις;»,ρώτησε όλο αγωνία ο Γιάκομπ.

«Σχεδόν ποτέ από όσο ξέρω!!»,απάντησε κλείνοντας το μάτι ο κοντορεβιθούλης.

                                                      Άγνωστες περιπέτειες του κοντορεβιθούλη,Μήτσος Γκριμ  
    
   Είδα πρόσφατα εκείνη την εξαιρετική ταινία-τριλογία ο λαβύρινθος ( Maze runner) και πέρα από την ενδιαφέρουσα πλοκή της ταινίας, ο Λαβυρίνθος ως κατασκευή ήταν αρκετά εντυπωσιακός.Πως βγαίνει κανείς από ένα λαβύρινθο όχι τύπου Κνωσσού (σχήμα στο νόμισμα) που δεν ήταν παρά ένας  διάδρομος που οδηγούσε καρφί στον Μινώταυρο αλλά συνεχείς διακλαδώσεις με διαφορετικές διαδρομές που τις περισσότερες φορές οδηγούν σε αδιέξοδο;

Νόμισμα της Κνωσού με σχέδιο το Λαβύρινθο
   Ο Λέοναρντ Όιλερ ,ο μεγάλος Ελβετός μαθηματικός ήταν ο πρώτος που  ασχολήθηκε με τον τρόπο  εύρεσης της εξόδου σε προβλήματα λαβυρίνθων συμβάλλοντας  στην εξέλιξη της τοπολογίας.Ποιος δεν γνωρίζει τις γέφυρες του Καινιξμπεργκ; Ο Όιλερ λοιπόν γνώριζε  αυτό που είναι γνωστό σε όσους ασχολούνται με τέτοια προβλήματα λαβύρινθου,ότι κάθε λαβύρινθος λύνεται αν ξεκινήσουμε από τη έξοδο  και «γυρίσουμε προς τα πίσω».(https://plus.maths.org/content/maths-amazes


  Ένα πρόβλημα τέτοιου είδους από τον Σαμ Λόιντ,γνωστό μας από το πρόβλημα 14-15 ,ξεπερνά τον κανόνα του Όιλερ.Ο συγκεκριμένος λαβύρινθος  έφερε την ονομασία  Επιστρέφοντας στο Κλόνταϊκ.Ο Μάρτιν Γκάρντνερ ασχολήθηκε ενδελεχώς με το πρόβλημα με άρθρο του στο Scientific American.Παρ΄ότι ο Λόιντ ισχυριζόταν ότι η λύση είναι μοναδική,με ένα απλό πρόγραμμα fortran ήδη από το 1976,τρεις φοιτητές απέδειξαν ότι υπάρχουν πολλές λύσεις.Το πρόβλημα ήταν διατυπωμένο από τον Λόιντ ως εξής:

 «Ξεκινήστε από την καρδιά στο κέντρο.Πηγαίνετε τρία βήματα σε μια ευθεία γραμμή σε οποιαδήποτε από τις οκτώ κατευθύνσεις,βόρεια,νότια,ανατολικά,δυτικά,ή βορειοανατολικά, βορειοδυτικά,νοτιοανατολικά,νοτιοδυτικά.Όταν έχετε διανύσει τρία βήματα σε ευθεία γραμμή θα φτάσετε σε ένα τετράγωνο με έναν αριθμό σε αυτό, γεγονός που δείχνει το ταξίδι της δεύτερης ημέρας, ο αριθμός των βημάτων της δεύτερης μέρας θα καθορίζεται από  τον αριθμό της πλατείας  πάντα σε ευθεία γραμμή σε όποια από τις 8 κατευθύνσεις επιθυμείτε.Από αυτό το νέο σημείο, πορεία και πάλι ανάλογα με τον αριθμό, και να συνεχίσετε με αυτόν τον τρόπο μέχρι να φτάσετε σε ένα τετράγωνο με έναν αριθμό που θα σας μεταφέρει μόνο ένα βήμα πέρα από τα σύνορα.»


Μια λύση στα σχόλια:

Λαβύρινθος για ρεκόρ
http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/09/blog-post_2498.html
Λαβύρινθος από τον Roger Penrose
http://mathhmagic.blogspot.gr/2014/09/blog-post_2.html 
Ο μεγαλύτερος λαβυρινθος του κόσμου βρίσκεται στο Ντουμπάι:
https://www.huffingtonpost.gr/2015/02/12/viral-lavirinthos-dubaj_n_6666654.html?utm_hp_ref=tw 

Μια σκηνή από την ταινία
                         

Δείτε και αυτό
http://archive.bridgesmathart.org/2013/bridges2013-361.pdf


Θα σας άφηνα δίχως ένα πρόβλημα να παίξετε.....


Λαβύρινθος

   Έστω ότι έχουμε ένα λαβύρινθο σε σχήμα τετραγώνου με 64 τετραγωνικά κελιά, κάθε κελί έχει ένα βέλος που δείχνει είτε πάνω είτε κάτω είτε αριστερά είτε δεξιά.




  Το κελί που βρίσκεται πάνω δεξιά είναι αυτό που οδηγεί στην έξοδο του λαβύρινθου.Έστω ότι  κάποιος εξερευνητής ξεκινά από το κελί κάτω αριστερά και κινείται με τους εξής κανόνες.Μπορεί να μετακινηθεί μόνο σε γειτονικό κελί πάντα κατά την φορά που δείχνει το βέλος,μόλις το κάνει το βέλος περιστρέφεται κατά 90ο  με την φορά των δεικτών του ρολογιού.Αν δεν είναι δυνατή η κίνηση του εξερευνητή γιατί το βέλος δείχνει εκτός του λαβύρινθου τότε παραμένει στο κελί και το βέλος περιστρέφεται κατά 90ο με την φορά των δεικτών του ρολογιού και τότε αν μπορεί κινείται,διαφορετικά επαναλαμβάνεται η διαδικασία μέχρι να μπορεί να μεταβεί σε γειτονικό κελί. Να αποδειχτεί ότι μετά από κάποιο αριθμό κινήσεων είναι βέβαιο ότι θα φτάσει στο κελί της εξόδου και θα βγεί από τον λαβύρινθο.



Λύση από βδομάδα

3 σχόλια:

  1. (Νοτιοδυτικά,Νοτιοδυτικά,Βορειοανατολικά,Βορειοανατολικά, Βορειοανατολικά, Νοτιοδυτικά,Νοτιοδυτικά,Νοτιοδυτικά,Βορειοδυτικά(ή Νοτιοανατολικά)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Δεδομένου ότι η διαδικασία αλλαγής της φοράς του βέλους σε κάθε κελί από το οποίο αναχωρεί ο εξερευνητής συνεπάγεται τη διαρκή μετακίνησή του από κελί σε γειτονικό κελί, αρκεί να αποκλείσουμε την περίπτωση να υπάρχει στο πλέγμα κελί ή κελιά, από όπου θα μπορούσε ο εξερευνητής να περνάει άπειρες φορές. Αν υπήρχε τέτοιο κελί, αυτό δεν θα μπορούσε να είναι ούτε προφσνώς το κελί εξόδου ούτε κανένα από τα γειτονικά προς αυτό κελιά, γιατί την 3η το πολύ φορά που θα περνούσε από αυτό ο εξερευνητής, στην αμέσως επόμενη μετακίνησή του θα βρισκόταν στο κελί εξόδου και από εκεί έξω από το πλέγμα. Με παρόμοια συλλογιστική, ένα τέτοιο κελί δε θα μπορούσε να είναι γειτονικό των γειτονικών του κελιού εξόδου, γιατί κάθε 4η το πολύ φορά που θα περνούσε ο εξερευνητής από αυτό, στην αμέσως επόμενη μετακίνησή του θα βρισκόταν σε γειτονικό του κελιού εξόδου, πράγμα που θα το καθιστούσε και αυτό κελί άπειρων επισκέψεων, άτοπο. Ομοίως, τέτοιο κελί δεν θα μπορούσε να είναι κανένα γειτονικό προς τα προηγούμενα κ.ο.κ., άρα τελικά κανένα κελί του πλέγματος ό.έ.δ.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...