Ο ατρόμητος Αμοργίδας ο Αιτωλός, μετά από αμέτρητες περιπλανήσεις στα βουνά της Ελλάδας, στάθηκε επιτέλους μπροστά στις πύλες του υπόγειου εργαστηρίου του Ήφαιστου. Ο θεός της φωτιάς, θέλοντας να δοκιμάσει όχι τη μυϊκή δύναμη του ήρωα, αλλά την οξύνοιά του, του παρουσίασε ένα σεντούκι.
«Μέσα σε αυτό το σεντούκι, γενναίε Αμοργίδα, βρίσκονται ακριβώς 50 χρυσά νομίσματα,» βροντοφώναξε ο Ήφαιστος. «Αλλά πρόσεξε: μόνο τα μισά από αυτά είναι γνήσια δικά μου δημιουργήματα και ζυγίζουν ακριβώς 10 γραμμάρια το καθένα. Τα άλλα μισά είναι κάλπικα, έργα απατεώνων. Τα κάλπικα διαφέρουν από τα γνήσια κατά 1 γραμμάριο, δηλαδή κάποια ζυγίζουν 9 γραμμάρια και κάποια 11 γραμμάρια.»
Ο θεός χτύπησε το σφυρί του στο αμόνι και μια παράξενη, μαγική ζυγαριά με δύο δίσκους αναδύθηκε από το έδαφος.
«Αυτή είναι η Ζυγαριά της Αλήθειας,» εξήγησε ο Ήφαιστος. «Δεν γέρνει ποτέ. Όποτε τοποθετείς νομίσματα στους δίσκους της, εμφανίζει στον αέρα με πύρινους αριθμούς μόνο τη διαφορά του βάρους ανάμεσα στις δύο πλευρές. Δεν θα σου αποκαλύψει ποτέ ποιος δίσκος είναι πιο βαρύς, παρά μόνο την απόλυτη διαφορά τους.»
Ο Ήφαιστος κοίταξε τον Αιτωλό ήρωα στα μάτια και του έθεσε τους όρους της θεϊκής δοκιμασίας:
Πρώτος Όρος: Θα τραβήξεις στην τύχη ένα μόνο νόμισμα από το σεντούκι. Αυτό το νόμισμα απαγορεύεται να το βάλεις στη ζυγαριά. Θα το κρατάς στο χέρι σου μέχρι το τέλος.
Δεύτερος Όρος: Όταν χρησιμοποιήσεις τη ζυγαριά για τα υπόλοιπα 49 νομίσματα, πρέπει να βάλεις τουλάχιστον ένα νόμισμα σε κάθε δίσκο.
«Η ζωή σου εξαρτάται από αυτό,» κατέληξε ο θεός. «Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός ζυγίσεων που πρέπει να κάνεις με τα υπόλοιπα νομίσματα, ώστε να μου πεις με απόλυτη σιγουριά αν το νόμισμα που κρατάς στο χέρι σου είναι γνήσιο ή κάλπικο;»
Ο ελάχιστος αριθμός ζυγίσεων που απαιτείται είναι 1 (μόλις μία ζύγιση).
ΑπάντησηΔιαγραφήΑιτιολόγηση & Στρατηγική:
• Κατανομή νομισμάτων: Βάζεις 24 νομίσματα στον αριστερό δίσκο
και 25 νομίσματα στον δεξιό δίσκο (από τα υπόλοιπα 49 που έχεις
στη διάθεσή σου).
• Ιδιότητα της ζυγαριάς: Η Ζυγαριά της Αλήθειας δείχνει μόνο την απόλυτη διαφορά βάρους |L - R| ανάμεσα στους δύο δίσκους.
• Υπολογισμός: Αν όλα τα νομίσματα στους δίσκους ήταν γνήσια, το βάρος θα ήταν 24 × 10 = 240g στον αριστερό και 25 × 10 = 250g
στον δεξιό, άρα η διαφορά θα ήταν ακριβώς 10g.
• Συμπέρασμα: Κάθε απόκλιση από αυτή την αναμενόμενη διαφορά (λόγω των κάλπικων νομισμάτων των 9g ή 11g) σε συνδυασμό με το νόμισμα που κρατάς στο χέρι σου (H), σου επιτρέπει με μια απλή εξίσωση ισότητας και αρτιότητας/περιττότητας να προσδιορίσεις με απόλυτη σιγουριά αν το νόμισμα στο χέρι σου είναι γνήσιο ή κάλπικο.
Παράδειγμα:
(α) Έστω ότι το H είναι γνήσιο
Αριστερός δίσκος: 24 νομίσματα
Δεξιός δίσκος: 25 νομίσματα
Εάν όλα ήταν γνήσια:
Αριστερά: 24×10=240g
Δεξιά: 25×10=250g
Αναμενόμενη διαφορά: 10g
Τώρα ας υποθέσουμε ότι στην πραγματικότητα υπάρχουν, για παράδειγμα:
Αριστερός δίσκος:
3 κάλπικα των 11g
2 κάλπικα των 9g
Δεξιός δίσκος:
5 κάλπικα των 11g
1 κάλπικο των 9g
Άρα:
Αριστερά:
240+(3×1)−(2×1)=241g
Δεξιά:
250+(5×1)−(1×1)=254g
Η ζυγαριά εμφανίζει:
254−241=13g
Το 13 είναι περιττό.
Επομένως συμπεραίνουμε ότι το νόμισμα H είναι γνήσιο.
Γιατί;
Επειδή αν το H ήταν κάλπικο, τότε και τα 25 κάλπικα θα βρίσκονταν στους δύο δίσκους. Είχαμε λοιπόν 25 αποκλίσεις των ±1g.
Το άθροισμα 25 αριθμών που είναι όλοι είτε +1 είτε −1 είναι περιττό.
Άρα:
10+(περιττός αριθμός)=περιττός αριθμός
και πράγματι πήραμε 13g.
(β) Έστω ότι το H είναι κάλπικο
Ας υποθέσουμε ότι το H ζυγίζει 11 g. Επομένως, από τα 50 νομίσματα, τα υπόλοιπα 49 περιλαμβάνουν:
25 γνήσια των 10 g
24 κάλπικα
Τώρα τοποθετούμε:
24 νομίσματα αριστερά
25 νομίσματα δεξιά
Ας επιλέξουμε συγκεκριμένα τα κάλπικα ως εξής:
Αριστερός δίσκος:
2 κάλπικα των 11 g
2 κάλπικα των 9 g
20 γνήσια των 10 g
Άρα:
2(11)+2(9)+20(10)
=22+18+200=240g
Δεξιός δίσκος:
3 κάλπικα των 11 g
1 κάλπικο των 9 g
21 γνήσια των 10 g
Άρα:
3(11)+1(9)+21(10)
=33+9+210=252g
Η μαγική ζυγαριά λοιπόν εμφανίζει μόνο:
∣252−240∣=12g
Το 12 είναι άρτιος αριθμός.
Τι συμπεραίνουμε;
Αν όλα τα 49 νομίσματα ήταν γνήσια, θα είχαμε διαφορά 10 g.
Εδώ η διαφορά είναι 12 g:
12=10+2
Το +2 g προέρχεται από τα 24 κάλπικα νομίσματα:
(+1)+(+1)+(+1)+(−1)+⋯
και, επειδή υπάρχουν 24 κάλπικα, το συνολικό αποτέλεσμα των αποκλίσεων είναι πάντοτε άρτιο.
Άρα:
Άρτια ένδειξη: H είναι κάλπικο
Στο συγκεκριμένο παράδειγμα η ένδειξη είναι 12 g, οπότε ο Αμοργίδας καταλαβαίνει αμέσως ότι το H είναι κάλπικο, χωρίς να χρειάζεται να ξέρει αν είναι 9 ή 11 g.