Σαν σήμερα το 1891…

Σαν σήμερα το 1891….

O Γερμανός μαθηματικός Ντέιβιντ Χίλμπερτ δημοσιεύει εργασία για την ύπαρξη καμπύλης που γεμίζει το χώρο (Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück to the journal Mathematische Annalen)

Υπάρχει καμπύλη που γεμίζει το επίπεδο; Το χώρο; Το 1890,ο Ιταλός μαθηματικός Τζουζέπε Πεανό (1858-1932) ήταν ο πρώτος που έδειξε ότι αυτό ήταν πράγματι εφικτό. Ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ ακολούθησε με τα δικά του παραδείγματα καμπυλών που γεμίζουν το επίπεδο και κατόπιν το τρισδιάστατο χώρο . Δείτε πως μια μονοδιάστατη καμπύλη μπορεί να γεμίσει ένα δισδιάστατο τετράγωνο.Η καμπύλη δημιουργείται αρχίζοντας από το βασικό σχήμα (ένα τετραγωνικό πέταλο) που απεικονίζεται πάνω αριστερά. Το δεύτερο βήμα επιτυγχάνεται αντικαθιστώντας το πέταλο του πρώτου βήματος με τέσσερα αντίγραφα του εαυτού του, μισού μεγέθους, ενωμένα με τρία ευθύγραμμα τμήματα. Η τρίτη επανάληψη επιτυγχάνεται, όπως προηγουμένως, αντικαθιστώντας καθένα από τα μικρά πέταλα και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα συνδέουν. Η διαδικασία συνεχίζεται επ’ άπειρο και προφανώς καμία καμπύλη που προκύπτει με αυτό τον τρόπο δεν γεμίζει το τετράγωνο πλήρως. Είναι η οριακή καμπύλη (με άπειρες επαναλήψεις) που γεμίζει το τετράγωνο.

Υπάρχει ανάλογη διαδικασία για τον τρισδιάστατο χώρο; Σχήμα