Σαν σήμερα, 3 Απριλίου 1753

   Ο Γκόλντμπαχ έμεινε στην μαθηματική ιστορία κυρίως για την περίφημη εικασία του:

«Κάθε άρτιος ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί  να γραφεί ως άθροισμα δυο πρώτων ακεραίων».

Γνωστή ιστορία.Παράλληλα έχει διατυπώσει άλλη μια εικασία η οποία αποδείχτηκε λανθασμένη.Σε ένα γράμμα στον Οιλερ,18 Νοεμβρίου 1752 ισχυρίστηκε οτι κάθε περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 3 μπορεί να γράφει σαν άθροισμα ενός πρώτου και του διπλασίου ενός τέλειου τετραγώνου.

Παραδείγματα της εικασίας του:

3 = 1 + 2 · 1^2 

5 = 3 + 2 · 1^2

7 = 5 + 2 · 1^2

9 = 7 + 2 · 1^2 = 1 + 2 · 2^2

11 = 3 + 2 · 2^2

13 = 5 + 2 · 2^2 = 11 + 2 · 1^2

15 = 7 + 2 · 2^2 = 13 + 2 · 1^2

17 = 17 + 2 · 0^2

19 = 11 + 2 · 2^2 = 17 + 2 · 1^2

21 = 13 + 2 · 2^2 = 19 + 2 · 1^2

(Ο Γκόλντμπαχ θεωρούσε το 1 ως πρώτο αριθμό και το 0 ως τέλειο τετράγωνο)

   Ο Οιλερ απάντησε στις 16 Δεκέμβριου  1752, ισχυριζόμενος ότι τσέκαρε τους πρώτους  1000 περιττούς αριθμούς  και βρήκε ότι η εικασία στέκει. Επανήλθε στις 3 Απριλίου 1753 ισχυριζόμενος ότι η εικασία ισχύει για τους πρώτους 2500 περιττούς.Ωστόσο το 1856, ο Γερμανός μαθηματικός Moritz Stern(1807-1894) απέδειξε ότι δεν ισχύει για τους αριθμούς 5777 και 5993 καταρρίπτοντας την εικασία.Επίσης,αν δεν θεωρήσουμε  το 0 ως τέλειο τετράγωνο, η εικασία καταρρίπτεται νωρίτερα από τους αριθμούς 17,137,227,977,1187 και 1493.