Το παράδοξο του Ρικάρ: όταν οι λέξεις κάνουν… μαθηματικά κόλπα

Στα μαθηματικά έχουμε συνηθίσει οι αριθμοί να υπακούουν σε κανόνες. Το 2 είναι πάντα 2, το 5 είναι πάντα 5 και κανένας αριθμός δεν αλλάζει γνώμη επειδή του το ζητήσαμε ευγενικά. Όταν όμως μπλέκουν οι αριθμοί με τη γλώσσα, τα πράγματα γίνονται πιο περίπλοκα — και μερικές φορές αρκετά αστεία.

Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι το παράδοξο του Ρικάρ, που διατυπώθηκε πριν από περίπου 115 χρόνια από τον Γάλλο μαθηματικό και ειδικό της Λογικής Ζιλ Ρικάρ. Το παράδοξο αυτό δείχνει πώς η καθημερινή γλώσσα μπορεί να μας οδηγήσει σε λογικά αδιέξοδα, ακόμα κι όταν μιλάμε για κάτι τόσο «αυστηρό» όσο οι αριθμοί.

Πότε μια πρόταση ορίζει έναν αριθμό;

Ας ξεκινήσουμε με κάτι απλό. Η πρόταση

«Η χρονιά που η πανδημία του COVID εμφανίστηκε στην Ελλάδα»

ορίζει ξεκάθαρα τον αριθμό 2020. Δεν τον γράφει ρητά, αλλά όλοι καταλαβαίνουμε ποιος είναι.

Αντίθετα, η πρόταση

«Η κοινωνικοπολιτική επίπτωση της πανδημίας του COVID στην Ελλάδα»

μπορεί να είναι θέμα έκθεσης ή συζήτησης, αλλά σίγουρα δεν αντιστοιχεί σε κάποιον αριθμό.

Άρα, κάποιες προτάσεις ορίζουν αριθμούς, ενώ άλλες απλώς λένε κάτι γενικό.

Η περίεργη πρόταση

Τώρα δες αυτήν την πρόταση (μην τρομάξεις, είναι μόνο λόγια):

«Ο μικρότερος θετικός ακέραιος αριθμός που δεν μπορεί να οριστεί με μια πρόταση στην ελληνική γλώσσα που να αποτελείται από λιγότερες από είκοσι τρεις λέξεις».

Τι λέει; Μιλά για έναν αριθμό: τον μικρότερο από όλους εκείνους που δεν μπορούν να οριστούν με σύντομες ελληνικές προτάσεις.

Και εδώ συμβαίνει το παράδοξο.

Γιατί αυτή η ίδια πρόταση αποτελείται από 22 λέξεις. Δηλαδή, αν αυτός ο αριθμός υπάρχει, μόλις τον ορίσαμε — ακριβώς με τον τρόπο που υποτίθεται ότι δεν γίνεται.

Με απλά λόγια:

η πρόταση λέει «δεν μπορείς να με ορίσεις έτσι»

και ταυτόχρονα λέει «να, μόλις το έκανα».

Μια προσπάθεια να ξεμπερδέψουμε

Ας προσπαθήσουμε να ξεφύγουμε από την αντίφαση. Η ελληνική γλώσσα έχει πεπερασμένο πλήθος λέξεων. Άρα και οι προτάσεις με λιγότερες από 23 λέξεις είναι πεπερασμένες.

Από αυτές τις προτάσεις:

πολλές δεν βγάζουν κανένα νόημα,

κάποιες βγάζουν νόημα,

και από αυτές, μόνο λίγες ορίζουν θετικούς ακέραιους αριθμούς.

Αν συγκεντρώσουμε όλους αυτούς τους αριθμούς, σχηματίζουμε ένα πεπερασμένο σύνολο. Και εδώ ισχύει κάτι πολύ βασικό στα μαθηματικά:

πάντα υπάρχει ένας μικρότερος θετικός ακέραιος που δεν ανήκει σε αυτό το σύνολο.

Όμως… αυτός είναι ακριβώς ο αριθμός που περιγράφει η «περίεργη» πρόταση. Κι έτσι η αντίφαση επιστρέφει.

Τι μας δείχνει τελικά το παράδοξο;

Το παράδοξο του Ρικάρ δεν είναι απλώς ένα έξυπνο λογοπαίγνιο. Μας δείχνει ότι:

η φυσική γλώσσα δεν είναι πάντα κατάλληλη για αυστηρούς μαθηματικούς ορισμούς,

οι αυτοαναφορικές προτάσεις μπορεί να δημιουργήσουν προβλήματα,

και ότι οι λέξεις δεν υπακούν πάντα στους κανόνες που θα θέλαμε.

Με άλλα λόγια, στα μαθηματικά πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί με το ποιος ορίζει τι και με ποιον τρόπο.

Και ένα αφοριστικό τέλος…

Το πρόβλημα με τις λέξεις το είχε καταλάβει πολύ καλά ο Λιούις Κάρολ, μέσα από τη φωνή του Χάμπτι Ντάμπτι στο βιβλίο Μέσα στον καθρέπτη:

«Όταν χρησιμοποιώ μια λέξη», είπε ο Χάμπτι Ντάμπτι με τόνο μάλλον επιτιμητικό,

«αυτή σημαίνει αυτό ακριβώς που διάλεξα να σημαίνει. Τίποτε λιγότερο, τίποτε περισσότερο».

«Το ερώτημα είναι», είπε η Αλίκη, «αν μπορείς να κάνεις τις λέξεις να σημαίνουν τόσο πολλά διαφορετικά πράγματα».

«Το ερώτημα είναι», είπε ο Χάμπτι Ντάμπτι, «ποιος θα είναι το αφεντικό. Αυτό είναι όλο».

Και κάπως έτσι, το παράδοξο του Ρικάρ μας θυμίζει ότι, όταν οι λέξεις προσπαθούν να κάνουν μαθηματικά, το ερώτημα δεν είναι μόνο τι λένε — αλλά ποιος τις ελέγχει.