Αποδείξεις χωρίς λόγια

 

#ΜαθηΜαγικοΗμερολογιο  Ένα από τα αγαπημένα μου βιβλία, το "Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking" (1ο σχόλιο)του Roger B. Nelsen, που εκδόθηκε από τη Μαθηματική Ένωση της Αμερικής (MAA), αποτελεί μια γοητευτική συλλογή από εικόνες και διαγράμματα που παρουσιάζουν μαθηματικές αλήθειες με έναν άμεσο και οπτικό τρόπο. Πρόκειται για μια ανθολογία "αποδείξεων χωρίς λόγια" (PWWs) που καλύπτουν ένα ευρύ φάσμα θεμάτων, από τη Γεωμετρία και την Άλγεβρα μέχρι την Τριγωνομετρία, τον Απειροστικό Λογισμό και τις ακολουθίες.

Σύμφωνα με τον συγγραφέα  αυτές οι οπτικές αποδείξεις προσφέρουν τα εξής:

-Κατανόηση του "Γιατί" και του "Πώς": Τα διαγράμματα αυτά βοηθούν τον παρατηρητή να δει "γιατί' μια συγκεκριμένη μαθηματική πρόταση είναι αληθής, αλλά και "πώς" θα μπορούσε κανείς να ξεκινήσει τη διαδικασία της τυπικής της απόδειξης. 

-Διέγερση της Μαθηματικής Σκέψης: Λειτουργούν ως "οπτικά στοιχεία" (visual clues) που έχουν στόχο να "διεγείρουν τη μαθηματική σκέψη" και να προκαλέσουν τον αναγνώστη να σκεφτεί πέρα από τους στεγνούς τύπους.

-Ομορφιά και Απλότητα: Συχνά μια "ανιαρή" τυπική απόδειξη μπορεί να συμπληρωθεί από ένα γεωμετρικό ανάλογο που είναι τόσο "απλό και όμορφο", ώστε η αλήθεια ενός θεωρήματος να γίνεται αντιληπτή "με μια ματιά". Όπως σημειώνεται χαρακτηριστικά, στα αγγλικά η φράση "to see" (βλέπω) συχνά σημαίνει "to understand" (καταλαβαίνω).

-Καλλιέργεια της Οπτικής Διαίσθησης: Ο συγγραφέας τονίζει τη σημασία της "ικανότητας οπτικοποίησης" στα μαθηματικά, παραθέτοντας απόψεις μεγάλων μαθηματικών όπως ο Halmos και ο Poincaré, οι οποίοι θεωρούσαν ότι οι μαθηματικοί πρέπει να χρησιμοποιούν τις οπτικές τους διαισθήσεις.

-Απόλαυση της Ανακάλυψης: Στόχος της συλλογής είναι οι αναγνώστες να βρουν "απόλαυση στην ανακάλυψη ή την επανανακάλυψη" κομψών οπτικών επιδείξεων και να ενθαρρυνθούν οι δάσκαλοι να τις μοιραστούν με τους μαθητές τους.

Παρά το γεγονός ότι ο συγγραφέας παραδέχεται πως οι "αποδείξεις χωρίς λόγια" δεν αποτελούν τυπικές αποδείξεις με τη στενή λογική έννοια, θεωρεί ότι η αξία τους έγκειται στην παροχή μιας "βαθύτερης εννοιολογικής ενόρασης" που συχνά λείπει από τους αμιγώς λογικούς συλλογισμούς.