Ο περίπατος που γέννησε τα Τετραδόνια

  Σαν σήμερα, το 1805 , γεννήθηκε ο Σερ Ουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον. 

Ο  Σερ Ουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον (3 Αυγούστου 1805 – 2 Σεπτεμβρίου 1865) ήταν Ιρλανδός φυσικός, αστρονόμος και μαθηματικός, ο οποίος συνέβαλε καθοριστικά στην κλασική μηχανική, την οπτική και την άλγεβρα. Οι μελέτες του στα μηχανικά και οπτικά συστήματα τον οδήγησαν στην ανακάλυψη νέων μαθηματικών εννοιών και τεχνικών.

Η σημαντικότερη ίσως συνεισφορά του ήταν η αναδιατύπωση της Νευτώνειας μηχανικής, η οποία σήμερα είναι γνωστή ως   Χαμιλτονιανή μηχανική (Hamiltonian mechanics). Το έργο αυτό αποτέλεσε θεμέλιο για τη σύγχρονη μελέτη των κλασικών θεωριών πεδίου, όπως ο ηλεκτρομαγνητισμός, καθώς και για την ανάπτυξη της κβαντικής μηχανικής.

Στα μαθηματικά, είναι περισσότερο γνωστός ως ο εφευρέτης των τετραδονίων (quaternions). Το εξαιρετικό του ταλέντο έγινε εμφανές ήδη από πολύ νεαρή ηλικία. Το 1823, όταν ο Χάμιλτον ήταν μόλις 18 ετών, ο αστρονόμος και επίσκοπος Δρ. Τζον Μπρίνκλεϊ δήλωσε χαρακτηριστικά:

«Για αυτόν τον νέο δεν λέω ότι θα γίνει, αλλά ότι είναι ήδη ο κορυφαίος μαθηματικός της εποχής του.»

Η επιστημονική του σταδιοδρομία κάλυψε ένα εντυπωσιακά ευρύ φάσμα θεμάτων. Ασχολήθηκε με τη γεωμετρική οπτική, την κλασική μηχανική, την προσαρμογή δυναμικών μεθόδων στα οπτικά συστήματα, καθώς και με την εφαρμογή των τετραδονίων και των διανυσματικών μεθόδων σε προβλήματα μηχανικής και γεωμετρίας.

Παράλληλα, ανέπτυξε θεωρίες για τα συζυγή αλγεβρικά ζεύγη συναρτήσεων, όπου οι μιγαδικοί αριθμοί κατασκευάζονται ως διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών. Μελέτησε επίσης τη δυνατότητα επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων, συμπεριλαμβανομένων των γενικών εξισώσεων πέμπτου βαθμού με ριζικά, καθώς και την ανάλυση των λεγόμενων κυμαινόμενων συναρτήσεων, εισάγοντας ιδέες που συνδέονται με την ανάλυση Fourier.

Ο Χάμιλτον εργάστηκε ακόμη πάνω στους γραμμικούς τελεστές στα τετραδόνια και απέδειξε ένα σημαντικό αποτέλεσμα για αυτούς, το οποίο αποτελεί ειδική περίπτωση του γενικού θεωρήματος που σήμερα είναι γνωστό ως θεώρημα Κέιλι–Χάμιλτον (Cayley–Hamilton).

Επιπλέον, επινόησε τον  Ικοσιανό Λογισμό (Icosian Calculus), τον οποίο χρησιμοποίησε για να μελετήσει κλειστές διαδρομές πάνω στις ακμές ενός δωδεκαέδρου, οι οποίες διέρχονται από κάθε κορυφή ακριβώς μία φορά. Η εργασία αυτή θεωρείται πρόδρομος σημαντικών ιδεών της σύγχρονης θεωρίας γράφων και των προβλημάτων Χαμιλτονιανών κύκλων.

 Η Ανακάλυψη των Τετραδονίων

  Για πολλά χρόνια, ο Χάμιλτον αναζητούσε έναν τρόπο να επεκτείνει τους μιγαδικούς αριθμούς (οι οποίοι αναπαριστούν σημεία σε ένα δισδιάστατο επίπεδο) ώστε να μπορεί να περιγράψει μαθηματικά τον τρισδιάστατο χώρο. Προσπαθούσε πεισματικά να ορίσει τον πολλαπλασιασμό για «τριάδες» αριθμών, αλλά το πρόβλημα τον βασάνιζε συνεχώς. Είναι χαρακτηριστικό ότι η αναζήτησή του είχε γίνει γνωστή στο σπίτι του, σε σημείο που οι γιοι του τον ρωτούσαν κάθε πρωί στο πρωινό: «Πατέρα, μπορείς τώρα να πολλαπλασιάσεις τριάδες;» και εκείνος απαντούσε απογοητευμένος πως μπορούσε μόνο να τις προσθέσει και να τις αφαιρέσει.

Η λύση ήρθε σαν αστραπή στις 16 Οκτωβρίου 1843. Εκείνη τη φθινοπωρινή μέρα, ο Χάμιλτον περπατούσε με τη σύζυγό του, Έλεν, κατά μήκος του Βασιλικού Καναλιού (Royal Canal) στο Δουβλίνο, καθ' οδόν προς μια συνεδρίαση της Βασιλικής Ιρλανδικής Ακαδημίας.

Καθώς πλησίαζαν τη γέφυρα Μπρουμ (Broom Bridge), το μυαλό του συνέθεσε το παζλ: συνειδητοποίησε ότι το κλειδί δεν ήταν οι τρεις διαστάσεις, αλλά οι τέσσερις. Χρειαζόταν έναν πραγματικό αριθμό και τρεις φανταστικούς (τους i, j, k) για να λειτουργήσει το σύστημα. Για να το πετύχει όμως αυτό, έπρεπε να κάνει ένα ριζοσπαστικό βήμα: να θυσιάσει την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, αποδεχόμενος δηλαδή την -αιρετική για την εποχή- ιδέα ότι το a x b δεν είναι απαραίτητα ίσο με το b x a.

Κυριευμένος από τον ενθουσιασμό της ανακάλυψης και μην έχοντας χαρτί μαζί του, ο Χάμιλτον σταμάτησε, έβγαλε το  μαχαίρι  του και χάραξε αυθόρμητα πάνω στην πέτρα της γέφυρας τη θεμελιώδη εξίσωση της νέας του άλγεβρας:

                                            i^2 = j^2 = k^2 = ixjxk = -1

  Η πράξη αυτή σηματοδότησε τη γέννηση των τετραδονίων και, κατ' επέκταση, άνοιξε τον δρόμο για τη δημιουργία της σύγχρονης αφηρημένης άλγεβρας και του διανυσματικού λογισμού. Αν και το αρχικό σκάλισμα του Χάμιλτον έσβησε με το πέρασμα του χρόνου, σήμερα υπάρχει στο ίδιο σημείο της γέφυρας μια πέτρινη αναμνηστική πλάκα, η οποία θυμίζει στους περαστικούς τη στιγμή που μια μαθηματική επανάσταση γεννήθηκε κατά τη διάρκεια ενός απλού περιπάτου.