Εικασία του Poincare

Henri Poincaré (1854-1912)

Henri Poincaré (1854-1912), Γάλλος μαθηματικός που ασχολήθηκε με τη σταθερότητα των νόμων που διέπουν,  την κίνηση των πλανητών ενός ηλιακού συστήματος.  Προσπάθησε να εξηγήσει, με μαθηματικό τρόπο, την ενδεχόμενη αλλαγή στην κίνηση ενός πλανήτη που θα μπορούσε είτε να ξεφύγει έξω από τα όρια του γαλαξία στον οποίο βρίσκεται, είτε να συγκρουστεί με κάποιο άλλο πλανήτη. Στην προσπάθειά του αυτή εισήγαγε, ένα νέο τότε πεδίο, την τοπολογία με σκοπό τη μελέτη των επιφανειών. Το 1904 διατύπωσε την περίφημη εικασία του, που αποδείχθηκε ένα από τα δυσκολότερα προβλήματα της μαθηματικής επιστήμης. Με την εικασία του Poincaré  ασχολήθηκαν,  χωρίς επιτυχία, πολλοί διάσημοι μαθηματικοί. Επαληθεύτηκε τελικά, 100 χρόνια αργότερα, από το Ρώσο μαθηματικό Grigoriy Perelman.
Η εικασία του Poincaré
Για λόγους καθαρά εποπτικούς θα περιγράψουμε αρχικά το πρόβλημα, που θέτει η εικασία του Poincaré,  στις 2-πολλαπλότητες δηλαδή στις επιφάνειες του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου. Μια 2-πολλαπλότητα ονομάζεται απλώς συνεκτική  (simply connected) αν κάθε κλειστή καμπύλη που βρίσκεται πάνω σε αυτή μπορεί να  «συρρικνωθεί», παραμένοντας πάνω στην επιφάνεια, σε ένα μόνο σημείο. Για παράδειγμα, η επιφάνεια της γνωστής μας σφαίρας (μπάλας) είναι απλώς συνεκτική 2-πολλαπλότητα

Δε συμβαίνει όμως το ίδιο και με τον τόρο δηλαδή την επιφάνεια του  «ντόνατ». Πράγματι, υπάρχουν κλειστές καμπύλες στον τόρο οι οποίες δεν μπορούν να συρικνωθούν σε σημείο κρατώντας την επαφή τους με την επιφάνεια.

Όλες οι απλώς συνεκτικές 2-πολλαπλότητες, με όρους της τοπολογίας, είναι όμοιες μεταξύ τους. Η επιφάνεια ενός αυγού για παράδειγμα είναι τοπολογικά όμοια με την επιφάνεια της σφαίρας. Ο Poincaré έθεσε το 1904 το ίδιο ερώτημα για τις απλώς συνεκτικές 3-πολλαπλότητες. Με άλλα λόγια σύμφωνα με την εικασία του Poincaré:
Κάθε απλώς συνεκτική 3-πολλαπλότητα (δηλαδή απλώς συνεκτική επιφάνεια στον τετραδιάστατο ευκλείδειο χώρο) είναι τοπολογικά όμοια με την 3-σφαίρα, δηλαδή την επιφάνεια της σφαίρας στον τετραδιάστατο ευκλείδειο χώρο.
Τα επόμενα χρόνια αρκετοί διάσημοι μαθηματικοί προσπάθησαν, χωρίς επιτυχία, να απαντήσουν καταφατικά ή αρνητικά στην εικασία του Poincaré. Οι προσπάθειες αυτές βέβαια είχαν σαν αποτέλεσμα την κατανόηση σε βάθος της θεωρίας των πολλαπλοτήτων, αλλά η εικασία του Poincaré αναδείχθηκε ως ένα από τα δυσκολότερα μαθηματικά προβλήματα. Το 1960 ο Stephen Smale [6] από το University of California στο Berkeley (σήμερα στο City University of Hong Kong) κατόρθωσε να απαντήσει θετικά στο αντίστοιχο πρόβλημα της εικασίας του Poincaré για n-πολλαπλότητες με n≥5. Στην περίπτωση αυτή η συνθήκη «απλώς συνεκτική» αντικαταστάθηκε με μια ισχυρότερη. Είκοσι-δύο χρόνια αργότερα ο Michael Freedman [1] από το University of California, San Diego (σήμερα στο Microsoft Research Station Q) απάντησε επίσης θετικά στο αντίστοιχο πρόβλημα της εικασίας του Poincaré  για απλώς συνεκτικές 4-πολλαπλότητες. Ο Smale και ο Freedman, για τα αποτελέσματά τους αυτά, τιμήθηκαν με το βραβείο Fields Medal (βραβείο για τη μαθηματική επιστήμη, αντίστοιχο του Nobel) το 1966 και 1986, αντίστοιχα. Παρόλα αυτά η εικασία του Poincaré παρέμενε αναπάντητη. Το 1982  ο William Thurston [7]  από το University of Colorado, Boulder (σήμερα στο Cornell University) διατύπωσε μια νέα εικασία σύμφωνα με την οποία κάθε 3-πολλαπλότητα μπορεί να διασπασθεί σε κομμάτια που έχουν μια απλή γεωμετρική δομή. Οι γεωμετρικές αυτές δομές του Thurston είναι οκτώ. Η εικασία του Poincaré ήταν τώρα μια ειδική περίπτωση της εικασίας του Thurston. Για αυτό ακριβώς το λόγο οι ερευνητές θεώρησαν ότι η επαλήθευση ή όχι αυτής της νέας εικασίας θα μπορούσε να προσεγγισθεί πολύ αργότερα, ίσως τον 22ο αιώνα!  Ο Thurston  επαλήθευσε την εικασία του μόνο για κάποιες ειδικές περιπτώσεις 3-πολλαπλοτήτων.
Το 1982 ο Richard Hamilton από το Cornell University (σήμερα στο Columbia University)  εισήγαγε τη διαφορική εξίσωση, που ονόμασε Ricci flow. Αυτή η εξίσωση είναι, στα πλαίσια της γεωμετρίας,  αντίστοιχη της εξίσωσης θερμότητας του Fourier.  Με την εξίσωση αυτή ο Hamilton θεώρησε ότι θα μπορούσε να μετασχηματίσει σταδιακά κάθε απλώς συνεκτική 3-πολλαπλότητα σε σφαίρα,  και έτσι ήλπιζε ότι θα μπορούσε να απαντήσει στην εικασία του Poincaré. Αυτό όμως στάθηκε αδύνατον, διότι ο μετασχηματισμός της 3-πολλαπλότητας δεν ήταν πάντα μια ομαλή διαδικασία. Ανάλογα με τη μορφή της 3-πολλαπλότητας μπορεί να υπάρχουν περιοχές που ονομάζονται ανωμαλίες (singularities), όπου ο μετασχηματισμός δεν μπορεί να προχωρήσει με τον αναμενόμενο τρόπο. Ήταν πολύ δύσκολο να κατανοηθεί ακόμη και η ίδια η φύση αυτών των ανωμαλιών και συνεπώς, να βρεθούν τρόποι να ξεπεραστούν τα εμπόδια που έθεταν στη διαδικασία του μετασχηματισμού. Το 2000 το Clay Mathematics Institute (CMI) των Η.Π.Α. θέσπισε τη λίστα των Millennium Prize Problems [9], μια λίστα με επτά από τα δυσκολότερα άλυτα, ως τότε προβλήματα, της μαθηματικής επιστήμης. Για τη λύση του κάθε προβλήματος το Millennium Prize θα συνοδευόταν από χρηματικό έπαθλο $1.000.000. Η εικασία του Poincaré βρισκόταν στη λίστα αυτή.
Το 2002  και 2003  ο Ρώσος μαθηματικός Grigoriy Perelman από το Stelkov Mathematical Institute της Αγίας Πετρούπολης, που γεννήθηκε στις 13 Ιουνίου 1966, με τρεις εργασίες που δημοσίευσε στον δικτυακό τόπο http://ArXiv.org ανακοίνωσε την επαλήθευση όχι μόνο της εικασίας του Poincaré αλλά και της εικασίας του Thurston! O Perelman  κατόρθωσε να κατανοήσει τη φύση των ανωμαλιών που προκύπτουν στην εξίσωση Ricci flow και να κατασκευάσει μοντέλα που εξηγούσαν το σχηματισμό τους. Μετά τη δημοσίευση των εργασιών του, ο Perelman έδωσε μια σειρά από διαλέξεις στα πανεπιστήμια Princeton, MIT, SUNY Stony Brook και Pennsylvania των Η.Π.Α. Ως το 2006 διάφορες ερευνητικές ομάδες σε όλο τον κόσμο προσπαθούσαν να κατανοήσουν τη δουλειά του Perelman και να ελέγξουν την ορθότητα των αποτελεσμάτων του. Κανένα σημαντικό λάθος που θα αναιρούσε τη σπουδαιότητα της δουλειάς του δεν βρέθηκε!  
Ο Perelman τιμήθηκε το 2006 με το βραβείο Fields Medal το οποίο αρνήθηκε να παραλάβει.
Πηγή: math.auth.gr