Κλασικός γρίφος του «Οι ηλικίες των παιδιών με τον απογραφέα» Πατέρας: 36 ετών (9*2*2=36). Ηλικίες των παιδιών: 9, 2, 2, (τα δύο δίδυμα). Αριθμός λεωφορείου: 13 (9+2+2=13). 1. Τα δεδομένα: Ο επιβάτης Α έχει παιδιά με θετικές ακέραιες ηλικίες. Το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών του ισούται με τον αριθμό του λεωφορείου. Το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών του ισούται με την ηλικία του επιβάτη Α. 2. Ανάλυση: Ο επιβάτης Β ξέρει την ηλικία του Α και τον αριθμό των παιδιών του, αλλά δεν ξέρει τις ηλικίες τους. Ακόμα και αν του έλεγε την ηλικία του και πόσα παιδιά έχει, δεν θα μπορούσε να βρει τις ηλικίες (που σημαίνει ότι υπάρχουν περισσότεροι από ένας συνδυασμοί ηλικιών που δίνουν το ίδιο γινόμενο και το ίδιο πλήθος παιδιών). Η ειδοποιός διαφορά που βοήθησε τον Β να βρει την ηλικία του Β ήταν η απάντηση το Α «Όχι.». Όταν ο Α απαντά «Όχι», ο Β καταλαβαίνει αμέσως την ηλικία του Α. Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει μόνο ένας πιθανός συνδυασμός ηλικιών που δίνει αυτό το γινόμενο, ενώ όλοι οι άλλοι πιθανοί συνδυασμοί θα έδιναν διαφορετικά αθροίσματα (δηλαδή διαφορετικούς αριθμούς λεωφορείων), οπότε ο Β δεν θα μπορούσε να είναι σίγουρος. Για να λύσουμε το πρόβλημα πρώτα πρέπει να γράψουμε όλα τα γινόμενα των ακεραίων αριθμών που δίνουν τον αριθμό 36. Δίπλα σε κάθε γινόμενο γράφουμε το άθροισμα των τριών αριθμών: (α) 1, 1, 36 ===1*1*36=36 === 1+1+36=38 (β) (1, 2, 18 === 1*2*18=36 === 1+2+18=21 (γ) 1, 3, 12 === 1*3*12=36 === 1+3+12=16 (δ) 1, 4, 9 === 1*4*9=36 === 1+4+9=14 (ε) 1, 6, 6 === 1*6*6=36 === 1+6+6=13 (στ) 2, 2, 9 === 2*2*9=36 === 2+2+9=13 (ζ) 2, 3, 6 === 2*3*6=36 === 2+3+6=11 (η) 3, 3, 4 === 3*3*4=36 === 3+3+4=10
Οι δύο επιβάτες στο λεωφορείο Διασκευή του «Conway’s Wizards» Απάντηση Ο αριθμός του λεωφορείου είναι 12. Ο επιβάτης Α είναι 48 ετών και έχει 4 παιδιά. Οι ηλικίες των παιδιών δεν προσδιορίζονται μονοσήμαντα. Έστω N ο αριθμός του λεωφορείου, k ο αριθμός των παιδιών και x₁, x₂, …, xₖ οι ηλικίες τους (θετικοί ακέραιοι). Αν A είναι η ηλικία του επιβάτη Α, τότε: x₁ + x₂ + … + xₖ = N και x₁ · x₂ · … · xₖ = A. Η απάντηση «Όχι» σημαίνει ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο διαφορετικές μη διατεταγμένες ομάδες ηλικιών με το ίδιο άθροισμα N, τον ίδιο αριθμό παιδιών k και το ίδιο γινόμενο A. Ο Β γνωρίζει ήδη το N, επομένως χρησιμοποιεί και αυτή την πληροφορία. Πιθανές ηλικίες τεσσάρων παιδιών Άθροισμα Γινόμενο 1, 3, 4, 4 1 + 3 + 4 + 4 = 12 1 · 3 · 4 · 4 = 48 2, 2, 2, 6 2 + 2 + 2 + 6 = 12 2 · 2 · 2 · 6 = 48
Αν ο αριθμός είναι 12, ακόμη κι αν ο Α πει «είμαι 48 ετών και έχω 4 παιδιά», ο Β δεν μπορεί να αποφασίσει ποια από τις παραπάνω τετράδες είναι η πραγματική. Έτσι εξηγείται το «Όχι». Για να δικαιολογηθεί, όμως, και η τελική φράση του Β («τώρα ξέρω την ηλικία σου»), πρέπει να δείξουμε ότι ο αριθμός 12 είναι ο μόνος που επιτρέπει τέτοιο συμπέρασμα. Γιατί το 12 είναι η πρώτη και μοναδική κατάλληλη περίπτωση Έστω ότι δύο διαφορετικές ομάδες ηλικιών έχουν ίδιο πλήθος, άθροισμα και γινόμενο. Διαγράφουμε κάθε ηλικία που εμφανίζεται και στις δύο ομάδες. Ό,τι απομένει είναι δύο ξένες μεταξύ τους ομάδες ίδιου πλήθους r, με κοινό άθροισμα S ≤ N και κοινό γινόμενο. Δεν μπορεί να είναι r = 1 ή r = 2: μία ηλικία ορίζεται από το άθροισμα, ενώ δύο ηλικίες ορίζονται (ως μη διατεταγμένο ζεύγος) από το άθροισμα και το γινόμενό τους. Άρα r ≥ 3. Επειδή οι δύο εναπομείνασες ομάδες δεν μοιράζονται καμία ηλικία, τουλάχιστον η μία δεν περιέχει 1. Όλες οι ηλικίες της είναι τότε τουλάχιστον 2, άρα S ≥ 2r. Για N ≤ 12 προκύπτει 3 ≤ r ≤ 6. Αρκεί επομένως ο ακόλουθος πεπερασμένος έλεγχος: r S Γινόμενα για όλες τις ηλικίες ≥ 2 Μέγιστο γινόμενο αν υπάρχει 1 3 6 8 6 3 7 12 9 3 8 16, 18 12 3 9 20, 24, 27 16 3 10 24, 30, 32, 36 20 3 11 28, 36, 40, 45, 48 25 3 12 32, 42, 48, 50, 54, 60, 64 30 4 8 16 12 4 9 24 18 4 10 32, 36 27 4 11 40, 48, 54 36 4 12 48, 60, 64, 72, 81 48 5 10 32 24 5 11 48 36 5 12 64, 72 54 6 12 64 48
Για κάθε σταθερό (r, S), τα γινόμενα της τρίτης στήλης είναι όλα διαφορετικά. Όταν S ≤ 11, καθένα είναι μεγαλύτερο από το μέγιστο της τέταρτης στήλης, άρα δεν υπάρχει διπλή δυνατότητα. Για S = 12, η μόνη σύμπτωση είναι 48 στη γραμμή r = 4: το (2, 2, 2, 6) έχει γινόμενο 48 και η ομάδα που περιέχει 1 φτάνει το 48 μόνο ως (1, 3, 4, 4). Άρα για N ≤ 12 η μόνη ασάφεια συμβαίνει όταν N = 12, k = 4, A = 48. Γιατί αποκλείεται το 13 — και κάθε μεγαλύτερος αριθμός Αν N = 13, υπάρχουν τουλάχιστον δύο διαφορετικές ηλικίες του Α που είναι συμβατές με την αρνητική απάντηση: Ηλικία Α Παιδιά Πρώτη ομάδα ηλικιών Δεύτερη ομάδα ηλικιών 36 3 1, 6, 6 2, 2, 9 48 5 1, 1, 3, 4, 4 1, 2, 2, 2, 6
Κάθε ζεύγος ομάδων έχει το ίδιο πλήθος παιδιών, άθροισμα 13 και γινόμενο, αντίστοιχα, 36 ή 48. Άρα αν το λεωφορείο είχε αριθμό 13, ο Β δεν θα γνώριζε αν ο Α είναι 36 ή 48 ετών. Το ίδιο ισχύει για κάθε N > 13: προσθέτουμε και στις τέσσερις παραπάνω ομάδες N − 13 επιπλέον παιδιά ηλικίας 1 έτους. Κάθε άθροισμα γίνεται N, κάθε γινόμενο παραμένει 36 ή 48 και το πλήθος παιδιών μέσα σε κάθε ζεύγος εξακολουθεί να συμφωνεί. Συνεπώς ο Β και πάλι δεν θα μπορούσε να συμπεράνει μοναδική ηλικία.
Για N ≤ 11 δεν υπάρχει κανένα ζεύγος ομάδων ηλικιών που να δικαιολογεί το «Όχι». Για N = 12 η μόνη τέτοια δυνατότητα έχει ηλικία Α = 48. Για N ≥ 13 υπάρχουν τουλάχιστον δύο δυνατές ηλικίες του Α (36 και 48), οπότε ο Β δεν θα μπορούσε να πει ότι γνωρίζει την ηλικία του. Άρα η μοναδική λύση είναι: αριθμός λεωφορείου 12 — ηλικία επιβάτη Α 48 ετών — 4 παιδιά. Πηγή Η παρούσα εκδοχή με δύο απλούς επιβάτες αποτελεί διασκευή του προβλήματος «Conway’s Wizards» («Οι δύο μάγοι του Conway»). Στην αρχική αφήγηση οι δύο επιβάτες είναι μάγοι, ενώ η μαθηματική δομή και οι ατάκες τους είναι ίδιες. Tanya Khovanova, “Conway’s Wizards”, The Mathematical Intelligencer, τόμ. 35, τεύχ. 4 (2013), σ. 18–20. DOI: 10.1007/s00283-012-9354-4. Πλήρης προδημοσίευση: https://arxiv.org/abs/1210.5460 Αρχική ανάρτηση του προβλήματος: https://blog.tanyakhovanova.com/2008/06/john-conways-wizards/
Στη εκφώνηση Carlo ο αριθμός των παιδιών δεν είναι γνωστός εκ των προτέρων, όπως φαίνεται από την ερώτηση του Β («Αν μου έλεγες την ηλικία σου και πόσα παιδιά έχεις...»). Αν ο αριθμός του λεωφορείου ήταν το 13, θα υπήρχαν δύο διαφορετικές περιπτώσεις ηλικίας του πατέρα που θα οδηγούσαν στην απάντηση «Όχι»: είτε ένας πατέρας 36 ετών με 3 παιδιά (1, 6, 6 ή 2, 2, 9), είτε ένας πατέρας 48 ετών με 5 παιδιά (1, 1, 3, 4, 4 ή 1, 2, 2, 2, 6). Συνεπώς, με λεωφορείο το 13, ο επιβάτης Β δεν θα μπορούσε να συμπεράνει μοναδική ηλικία για τον Α, καθιστώντας το 12 τη μόνη μαθηματικά ορθή λύση.
Κλασικός γρίφος του «Οι ηλικίες των παιδιών με τον απογραφέα»
ΑπάντησηΔιαγραφήΠατέρας: 36 ετών (9*2*2=36).
Ηλικίες των παιδιών: 9, 2, 2, (τα δύο δίδυμα).
Αριθμός λεωφορείου: 13 (9+2+2=13).
1. Τα δεδομένα:
Ο επιβάτης Α έχει παιδιά με θετικές ακέραιες ηλικίες.
Το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών του ισούται με τον αριθμό του λεωφορείου.
Το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών του ισούται με την ηλικία του επιβάτη Α.
2. Ανάλυση:
Ο επιβάτης Β ξέρει την ηλικία του Α και τον αριθμό των παιδιών του, αλλά δεν ξέρει τις ηλικίες τους. Ακόμα και αν του έλεγε την ηλικία του και πόσα παιδιά έχει, δεν θα μπορούσε να βρει τις ηλικίες (που σημαίνει ότι υπάρχουν περισσότεροι από ένας συνδυασμοί ηλικιών που δίνουν το ίδιο γινόμενο και το ίδιο πλήθος παιδιών).
Η ειδοποιός διαφορά που βοήθησε τον Β να βρει την ηλικία του Β ήταν η απάντηση το Α «Όχι.».
Όταν ο Α απαντά «Όχι», ο Β καταλαβαίνει αμέσως την ηλικία του Α. Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει μόνο ένας πιθανός συνδυασμός ηλικιών που δίνει αυτό το γινόμενο, ενώ όλοι οι άλλοι πιθανοί συνδυασμοί θα έδιναν διαφορετικά αθροίσματα (δηλαδή διαφορετικούς αριθμούς λεωφορείων), οπότε ο Β δεν θα μπορούσε να είναι σίγουρος.
Για να λύσουμε το πρόβλημα πρώτα πρέπει να γράψουμε όλα τα γινόμενα των ακεραίων αριθμών που δίνουν τον αριθμό 36. Δίπλα σε κάθε γινόμενο γράφουμε το άθροισμα των τριών αριθμών:
(α) 1, 1, 36 ===1*1*36=36 === 1+1+36=38
(β) (1, 2, 18 === 1*2*18=36 === 1+2+18=21
(γ) 1, 3, 12 === 1*3*12=36 === 1+3+12=16
(δ) 1, 4, 9 === 1*4*9=36 === 1+4+9=14
(ε) 1, 6, 6 === 1*6*6=36 === 1+6+6=13
(στ) 2, 2, 9 === 2*2*9=36 === 2+2+9=13
(ζ) 2, 3, 6 === 2*3*6=36 === 2+3+6=11
(η) 3, 3, 4 === 3*3*4=36 === 3+3+4=10
Οι δύο επιβάτες στο λεωφορείο Διασκευή του «Conway’s Wizards»
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπάντηση
Ο αριθμός του λεωφορείου είναι 12. Ο επιβάτης Α είναι 48 ετών και έχει 4 παιδιά. Οι ηλικίες των παιδιών δεν προσδιορίζονται μονοσήμαντα.
Έστω N ο αριθμός του λεωφορείου, k ο αριθμός των παιδιών και x₁, x₂, …, xₖ οι ηλικίες τους (θετικοί ακέραιοι). Αν A είναι η ηλικία του επιβάτη Α, τότε:
x₁ + x₂ + … + xₖ = N και x₁ · x₂ · … · xₖ = A.
Η απάντηση «Όχι» σημαίνει ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο διαφορετικές μη διατεταγμένες ομάδες ηλικιών με το ίδιο άθροισμα N, τον ίδιο αριθμό παιδιών k και το ίδιο γινόμενο A. Ο Β γνωρίζει ήδη το N, επομένως χρησιμοποιεί και αυτή την πληροφορία.
Πιθανές ηλικίες τεσσάρων παιδιών Άθροισμα Γινόμενο
1, 3, 4, 4 1 + 3 + 4 + 4 = 12 1 · 3 · 4 · 4 = 48
2, 2, 2, 6 2 + 2 + 2 + 6 = 12 2 · 2 · 2 · 6 = 48
Αν ο αριθμός είναι 12, ακόμη κι αν ο Α πει «είμαι 48 ετών και έχω 4 παιδιά», ο Β δεν μπορεί να αποφασίσει ποια από τις παραπάνω τετράδες είναι η πραγματική. Έτσι εξηγείται το «Όχι».
Για να δικαιολογηθεί, όμως, και η τελική φράση του Β («τώρα ξέρω την ηλικία σου»), πρέπει να δείξουμε ότι ο αριθμός 12 είναι ο μόνος που επιτρέπει τέτοιο συμπέρασμα.
Γιατί το 12 είναι η πρώτη και μοναδική κατάλληλη περίπτωση
Έστω ότι δύο διαφορετικές ομάδες ηλικιών έχουν ίδιο πλήθος, άθροισμα και γινόμενο. Διαγράφουμε κάθε ηλικία που εμφανίζεται και στις δύο ομάδες. Ό,τι απομένει είναι δύο ξένες μεταξύ τους ομάδες ίδιου πλήθους r, με κοινό άθροισμα S ≤ N και κοινό γινόμενο.
Δεν μπορεί να είναι r = 1 ή r = 2: μία ηλικία ορίζεται από το άθροισμα, ενώ δύο ηλικίες ορίζονται (ως μη διατεταγμένο ζεύγος) από το άθροισμα και το γινόμενό τους. Άρα r ≥ 3.
Επειδή οι δύο εναπομείνασες ομάδες δεν μοιράζονται καμία ηλικία, τουλάχιστον η μία δεν περιέχει 1. Όλες οι ηλικίες της είναι τότε τουλάχιστον 2, άρα S ≥ 2r. Για N ≤ 12 προκύπτει 3 ≤ r ≤ 6. Αρκεί επομένως ο ακόλουθος πεπερασμένος έλεγχος:
r S Γινόμενα για όλες τις ηλικίες ≥ 2 Μέγιστο γινόμενο αν υπάρχει 1
3 6 8 6
3 7 12 9
3 8 16, 18 12
3 9 20, 24, 27 16
3 10 24, 30, 32, 36 20
3 11 28, 36, 40, 45, 48 25
3 12 32, 42, 48, 50, 54, 60, 64 30
4 8 16 12
4 9 24 18
4 10 32, 36 27
4 11 40, 48, 54 36
4 12 48, 60, 64, 72, 81 48
5 10 32 24
5 11 48 36
5 12 64, 72 54
6 12 64 48
Για κάθε σταθερό (r, S), τα γινόμενα της τρίτης στήλης είναι όλα διαφορετικά. Όταν S ≤ 11, καθένα είναι μεγαλύτερο από το μέγιστο της τέταρτης στήλης, άρα δεν υπάρχει διπλή δυνατότητα. Για S = 12, η μόνη σύμπτωση είναι 48 στη γραμμή r = 4: το (2, 2, 2, 6) έχει γινόμενο 48 και η ομάδα που περιέχει 1 φτάνει το 48 μόνο ως (1, 3, 4, 4). Άρα για N ≤ 12 η μόνη ασάφεια συμβαίνει όταν N = 12, k = 4, A = 48.
Γιατί αποκλείεται το 13 — και κάθε μεγαλύτερος αριθμός
Αν N = 13, υπάρχουν τουλάχιστον δύο διαφορετικές ηλικίες του Α που είναι συμβατές με την αρνητική απάντηση:
Ηλικία Α Παιδιά Πρώτη ομάδα ηλικιών Δεύτερη ομάδα ηλικιών
36 3 1, 6, 6 2, 2, 9
48 5 1, 1, 3, 4, 4 1, 2, 2, 2, 6
Κάθε ζεύγος ομάδων έχει το ίδιο πλήθος παιδιών, άθροισμα 13 και γινόμενο, αντίστοιχα, 36 ή 48. Άρα αν το λεωφορείο είχε αριθμό 13, ο Β δεν θα γνώριζε αν ο Α είναι 36 ή 48 ετών.
Το ίδιο ισχύει για κάθε N > 13: προσθέτουμε και στις τέσσερις παραπάνω ομάδες N − 13 επιπλέον παιδιά ηλικίας 1 έτους. Κάθε άθροισμα γίνεται N, κάθε γινόμενο παραμένει 36 ή 48 και το πλήθος παιδιών μέσα σε κάθε ζεύγος εξακολουθεί να συμφωνεί. Συνεπώς ο Β και πάλι δεν θα μπορούσε να συμπεράνει μοναδική ηλικία.
ΔιαγραφήΓια N ≤ 11 δεν υπάρχει κανένα ζεύγος ομάδων ηλικιών που να δικαιολογεί το «Όχι». Για N = 12 η μόνη τέτοια δυνατότητα έχει ηλικία Α = 48. Για N ≥ 13 υπάρχουν τουλάχιστον δύο δυνατές ηλικίες του Α (36 και 48), οπότε ο Β δεν θα μπορούσε να πει ότι γνωρίζει την ηλικία του.
Άρα η μοναδική λύση είναι: αριθμός λεωφορείου 12 — ηλικία επιβάτη Α 48 ετών — 4 παιδιά.
Πηγή
Η παρούσα εκδοχή με δύο απλούς επιβάτες αποτελεί διασκευή του προβλήματος «Conway’s Wizards» («Οι δύο μάγοι του Conway»). Στην αρχική αφήγηση οι δύο επιβάτες είναι μάγοι, ενώ η μαθηματική δομή και οι ατάκες τους είναι ίδιες.
Tanya Khovanova, “Conway’s Wizards”, The Mathematical Intelligencer, τόμ. 35, τεύχ. 4 (2013), σ. 18–20. DOI: 10.1007/s00283-012-9354-4.
Πλήρης προδημοσίευση: https://arxiv.org/abs/1210.5460
Αρχική ανάρτηση του προβλήματος: https://blog.tanyakhovanova.com/2008/06/john-conways-wizards/
Θανάση, το σκεπτικό στη λύση μου νομίζω ότι μπορεί κάλλιστα να ισχύει. Τι λες;
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτη εκφώνηση Carlo ο αριθμός των παιδιών δεν είναι γνωστός εκ των προτέρων, όπως φαίνεται από την ερώτηση του Β («Αν μου έλεγες την ηλικία σου και πόσα παιδιά έχεις...»). Αν ο αριθμός του λεωφορείου ήταν το 13, θα υπήρχαν δύο διαφορετικές περιπτώσεις ηλικίας του πατέρα που θα οδηγούσαν στην απάντηση «Όχι»: είτε ένας πατέρας 36 ετών με 3 παιδιά (1, 6, 6 ή 2, 2, 9), είτε ένας πατέρας 48 ετών με 5 παιδιά (1, 1, 3, 4, 4 ή 1, 2, 2, 2, 6). Συνεπώς, με λεωφορείο το 13, ο επιβάτης Β δεν θα μπορούσε να συμπεράνει μοναδική ηλικία για τον Α, καθιστώντας το 12 τη μόνη μαθηματικά ορθή λύση.
ΑπάντησηΔιαγραφή