Στα μαθηματικά ωστόσο, υπήρχε ανέκαθεν μια τάση ορθοδοξίας στην προσέγγισή τους. Όταν για παράδειγμα ο Γκάους άρχισε να προβληματίζεται (σε ηλικία δεκαέξι ετών παρακαλώ) για την ύπαρξη μη ευκλείδειων γεωμετριών, προτίμησε να κρατήσει τις μελέτες του αδημοσίευτες, και εμπιστεύτηκε μονάχα ένα κύκλο συνεργατών του. Ο λόγος ήταν ότι η μαθηματική κοινότητα φαινόταν -και στο μυαλό του Γκάους ίσως περισσότερο- να ενδιαφέρεται για μαθηματικά τα οποία περιγράφουν τη φυσική πραγματικότητα. Και τότε η ευκλείδια γεωμετρία ήταν αυτή η οποία έμοιαζε να εξυπηρετεί καλύτερα αυτό το σκοπό. Χρειάστηκε να περάσουν πολλά χρόνια έως ότου να παρουσιαστεί επίσημα μια νέα γεωμετρία, τα αξιώματα της οποίας απέχουν κατά πολύ από αυτά της Ευκλείδειας. Αυτό έγινε το 1830 από τον Λομπατσέφσκι, το όνομα του οποίου δόθηκε στη γεωμετρία. Ακόμα και τότε όμως, οι θεωρίες του Λομπατσέφσκι αγνοήθηκαν καθώς έμοιαζαν υπερβολικά θεωρητικές. Τον 20ο αιώνα μονάχα άρχισε να κερδίζει έδαφος σαν θεωρία και να χρησιμοποιείται για τη μελέτη της φυσικής πραγματικότητας (διάστημα). Χρειάστηκε ένα πολύ αντισυμβατικό μυαλό όπως αυτό του Νταβιντ Χίλμπερτ (David Hilbert) , για να ανατρέψει τη μαθηματική ορθοδοξία.
Ο Χιλμπερτ γεννήθηκε το 1862 στη Γερμανία, και το 1895 τον κάλεσαν να αναλάβει μια έδρα στο πανεπιστήμιο του Γκετινγκεν, πρόταση που σαφώς και δέχτηκε, καθώς το Γκέτινγκεν ήταν εκείνο τον καιρό η Μέκκα της μαθηματικής επιστήμης. Ο Ντάβιντ Χίλμπερτ ακολουθούσε εναν αρκετά μποέμικο τρόπο ζωής, κάτι που στην αρχή είχε ελαφρώς σοκάρει την πανεπιστημιακή κοινότητα. Κυκλοφορούσε με το ποδήλατό του, συναναστρεφόταν με τους φοιτητές, ήταν απλοϊκός στο ντύσιμο και… μεγάλος καρδιοκατακτητής! Η αντισυμβατικότητά του αυτή τον ακολουθούσε και στη μαθηματική του σκέψη. Αρχικά ασχολιόταν με τη θεωρία αριθμών, αργότερα όμως καταπιάστηκε με τη γεωμετρία. Κάποια στιγμή άρχισε να διερωτάται για την ύπαρξη ή όχι αντιφάσεων στο σύνολο των αξιωμάτων και των δυο τομέων κι έτσι ξεκίνησε την παθιασμένη ενασχόλησή του γύρω από τα θεμέλια των μαθηματικών. Όλα αυτά τον έκαναν να προβληματίζεται σχετικά με τη μορφή των μαθηματικών στο μέλλον. Έτσι, όταν το 1900 του δόθηκε η τιμή να δώσει διάλεξη στο διεθνές συνέδριο μαθηματικών στο Παρίσι, δε μίλησε για κάποια αποδεδειγμένη πρωτοποριακή θεωρία, κάτι που ήταν το σύνηθες και αναμενόμενο, αλλά έθεσε 23 προβλήματα, τα οποία καθόρισαν την μαθηματική σκέψη του 20ό αιώνα.
Ας αφήσουμε την εισαγωγή που έκανε ο ίδιος ο Χίλμπερτ να μας διασαφηνίσει σχετικά με τα 23 προβλήματα: «Ποιος από μας δε θα ήταν χαρούμενος να σηκώσει το πέπλο πίσω από το οποίο κρύβεται το μέλλον; να ρίξει μια ματιά στα επόμενα στάδια της επιστήμης μας και στα μυστικά που θα την αναπτύξουν τους επόμενους αιώνες; ποιοι θα είναι οι ιδιαίτεροι στόχοι στους οποίους θα προσπαθήσουν τα τα μαθηματικά πνεύματα των επόμενων γενεών να φτάσουν; Ποιες θα είναι οι μέθοδοι και τα νέα δεδομένα στο πλατύ και πλούσιο πεδίο της μαθηματικής σκέψης τους επόμενους αιώνες;»
Από τα προβλήματα αυτά λοιπόν, τα δεκατέσσερα έχουνε λυθεί, τα τρία έχουν εν μέρει λυθεί, ένα θεωρήθηκε πολύ ασαφές ώστε να αποφασιστεί να επιδέχεται λύση ή όχι, και τα υπόλοιπα πέντε παραμένουν άλυτα. Το περιεχόμενο των προβλημάτων ποικίλει περιλαμβάνοντας θεωρία αριθμών, γεωμετρία και μαθηματική λογική. Ας αναφερθούμε σε αυτά που παρουσιάζουν ένα ιδιαίτερο ενδιαφέρον.
Στο πρώτο πρόβλημα, ο Χίλμπερτ ζητούσε να αποδειχτεί ότι δεν υπάρχει σύνολο ο πληθάριθμος (αριθμός στοιχείων) του οποίου να είναι μεταξύ αυτού των ακεραίων και των πραγματικών. H πρόταση αυτή είναι ουσιαστικά ένα θεώρημα το οποίο είχε διατυπώσει ο Cantor το 1877. Ωστόσο το 1963 οι Godel και Cohen απέδειξαν ότι για την πρόταση αυτή δεν μπορεί να αποδειχτεί αν είναι σωστή ή λάθος (θεωρία συνόλων των Ζερμέλο – Φράνκελ).
Ο Κουρτ Γκέντελ έμελλε να ανησυχήσει τον Χίλμπερτ και δεύτερη φορά. Αυτή τη φορά όμως το πλήγμα αφορούσε σε όλη τη μαθηματική επιστήμη και το πως είναι δομημένη. Το 1931 ο μεγάλος αυστριακός μαθηματικός δημοσίευσε το περίφημο θεώρημα της μη πληρότητας. Αυτό υποδείκνυε περιορισμούς σε όλα τα τυπικά συστήματα μαθηματικών, παρουσιάζοντας αδύνατο να υπάρχει ένα πλήρες και συνεπές σύστημα αξιωμάτων. Ήταν κάτι που συγκλόνισε βαθιά τη μαθηματική κοινότητα, καταρρίπτοντας το ιδεατή εικόνα παντοδυναμίας και αυτάρκειας που είχαν τα μαθηματικά. Έτσι το δεύτερο πρόβλημα του Χίλμπερτ που ζητούσε να αποδειχτεί ότι υπάρχει ένα συνεπές σύστημα αξιωμάτων για την αριθμητική πήρε αρνητική απάντηση.
Δυο από τα άλυτα προβλήματα είναι το έκτο, το οποίο αφορά στη δημιουργία μαθηματικού αξιωματικού συστήματος για τη φυσική, όπως επίσης και το υπ΄αριθμόν οκτώ το οποίο ζητάει να αποδειχτεί η υπόθεση Ρίμαν, ότι δηλαδή οι πρώτοι αριθμοί (αυτοί που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και τη μονάδα) βρίσκονται σε μια αριθμητική ακολουθία (ισοδυναμεί με την εύρεση ριζών της συνάρτησης ζ για όσους γνωρίζουν). Και τα πέντε ωστόσο απασχολούν εδώ και 110 χρόνια τους μαθηματικούς, ειδικά τα δυο προαναφερθέντα η λύση ή όχι των οποίων θα έχει τεράστια αποτελέσματα σε τομείς πέραν των μαθηματικών.
Πηγή: www.atopo.gr
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου