Ο Νίκος και ο Γιώργος, δύο συνεργάτες ενός καταστήματος κινητών τηλεφώνων, αποφασίζουν να πουλήσουν όλο το απόθεμά τους και να επενδύσουν τα χρήματα σε power banks.
Κάθε κινητό τηλέφωνο πουλήθηκε για ένα ποσό (σε ευρώ) ίσο με τον συνολικό αριθμό των συσκευών που υπήρχαν στο κατάστημα. (Δηλαδή, αν είχαν 10 συσκευές, κάθε μία πουλήθηκε 10 ευρώ).
Με τις συνολικές εισπράξεις, αγόρασαν μεγάλα power banks υψηλής χωρητικότητας, τα οποία κόστιζαν 10 ευρώ το καθένα.
Αφού αγόρασαν όσα περισσότερα power banks των 10 ευρώ μπορούσαν, τα ευρώ που περίσσεψαν ήταν λιγότερα από 10. Με αυτό το υπόλοιπο, αγόρασαν ένα μικρό power bank χαμηλότερης χωρητικότητας.
Στο τέλος, ο Νίκος και ο Γιώργος μοίρασαν τον συνολικό αριθμό των συσκευών (μεγάλα και μικρά power banks) εξίσου μεταξύ τους. Ωστόσο, παρατηρήθηκε ότι ο ένας συνεργάτης πήρε το μοναδικό μικρό power bank, ενώ ο άλλος πήρε μόνο μεγάλα power banks.
Ποιο ήταν το ακριβές κόστος του μικρού power bank;
Έστω ότι είχαν N κινητά.
ΑπάντησηΔιαγραφή• Κάθε κινητό πουλήθηκε N ευρώ.
• Συνολικά πήραν N^2 ευρώ.
Αγοράζουν μεγάλα power banks των 10 € και ένα μικρό με τα ρέστα.
Για να μοιραστούν εξίσου τα power banks και ο ένας να πάρει το μοναδικό μικρό ενώ ο άλλος όχι, ο συνολικός αριθμός power banks πρέπει να είναι
ζυγός. Άρα ο αριθμός των μεγάλων power banks είναι περιττός.
Ας δούμε τα τετράγωνα και τα υπόλοιπά τους όταν διαιρούνται με το 10:
Για το πίνακα όρα εδώ: https://imgur.com/a/pjK0alo
Άρα ένα τετράγωνο αφήνει υπόλοιπο μόνο 0, 1, 4, 5, 6, 9 όταν διαιρείται
με το 10.
Τώρα παρατηρούμε:
• Αν το υπόλοιπο είναι 0, 1, 4, 5 ή 9, τότε ο αριθμός των δεκάδων (δηλαδή των μεγάλων power banks) είναι ζυγός.
• Για να είναι περιττός, το μόνο δυνατό υπόλοιπο είναι το 6.
Παραδείγματα:
• 16=1*10+6: 1 μεγάλο (περιττός)
• 36=3*10+6: 3 μεγάλα (περιττός)
• 64=6*10+4: 6 μεγάλα (ζυγός)
• 81=8*10+1: 8 μεγάλα (ζυγός)
Άρα τα ρέστα ήταν αναγκαστικά 6 ευρω και αυτό είναι το κόστος του μικρού power bank.
Λοιπόν! Το ακριβές κόστος του μικρού power bank ήταν 6 ευρώ.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω N ο συνολικός αριθμός των κινητών τηλεφώνων που υπήρχαν αρχικά στο κατάστημα.
Κάθε κινητό πουλήθηκε για N ευρώ.
Το συνολικό ποσό που εισπράχθηκε είναι N² ευρώ.
Το ποσό αυτό (N²) μπορεί να γραφτεί με βάση τη διαίρεσή του με το 10 (σύστημα αρίθμησης) ως:
N²=10D+R
Όπου:
D είναι ο αριθμός των δεκάδων (και συνεπώς ο αριθμός των μεγάλων power banks των 10€).
R είναι το υπόλοιπο (τα ρέστα), δηλαδή το κόστος του μικρού power bank.
Γιατί ο αριθμός των μεγάλων (D) πρέπει να είναι περιττός;
Οι δύο συνεργάτες μοιράστηκαν τις συσκευές εξίσου.
Ο συνολικός αριθμός των συσκευών είναι: D (μεγάλα) + 1 (μικρό) = D + 1.
Για να μοιραστούν ακριβώς στη μέση χωρίς να περισσέψει συσκευή, ο συνολικός αριθμός (D + 1) πρέπει να είναι άρτιος (ζυγός).
Αν ο D + 1 είναι άρτιος, τότε ο αριθμός D (τα μεγάλα power banks) είναι υποχρεωτικά περιττός (μονός).
Η συμπεριφορά των τέλειων τετραγώνων.
Ας εξετάσουμε ποιο μπορεί να είναι το ψηφίο των μονάδων (R) και τι συνεπάγεται για το ψηφίο των δεκάδων (D) ενός τελειου τετραγώνου N².
Κάθε ακέραιος N μπορεί να γραφτεί στη μορφή N = 10k + r, όπου r είναι το τελευταίο του ψηφίο .
Αν υψώσουμε στο τετράγωνο:
N² =( 10k + r )² = 100k² + 20kr + r² = 10( 10k² + 2kr ) + r²
Παρατηρούμε ότι ο όρος 10(10k² + 2kr) συνεισφέρει έναν άρτιο αριθμό δεκάδων. Συνεπώς, το αν ο συνολικός αριθμός των δεκάδων (D) είναι άρτιος ή περιττός εξαρτάται αποκλειστικά από το τετράγωνο του τελευταίου ψηφίου (r²).
Ας δοκιμάσουμε όλες τις δυνατές τιμές του r :
Αν r = 0 => 0² = 0 => 0 δεκάδες (άρτιος)
Αν r = 1 => 1² = 1 => 0 δεκάδες (άρτιος)
Αν r = 2 => 2² = 4 => 0 δεκάδες (άρτιος)
Αν r = 3 => 3² = 9 => 0 δεκάδες (άρτιος)
Αν r = 4 => 4² =16=> 1 δεκάδα (περιττός), με υπόλοιπο 6
Αν r = 5 => 5² =25=> 2 δεκάδες (άρτιος)
Αν r = 6 => 6²= 36=> 3 δεκάδες (περιττός), με υπόλοιπο 6
Αν r = 7 => 7²= 49=> 4 δεκάδες (άρτιος)
Αν r = 8 => 8² = 64=> 6 δεκάδες (άρτιος)
Αν r = 9 => 9²= 81=> 8 δεκάδες (άρτιος)
Οι μόνες περιπτώσεις όπου ένα τέλειο τετράγωνο έχει περιττό ψηφίο δεκάδων είναι όταν το τελευταίο ψηφίο του αρχικού αριθμού N είναι 4 ή 6.
Και στις δύο αυτές περιπτώσεις (4²=16 και 6²=36), το υπόλοιπο R (το ψηφίο των μονάδων) είναι πάντα το 6. Επομένως, τα ρέστα που περίσσεψαν ήταν αναγκαστικά 6 ευρώ, που αποτελεί και το ακριβές κόστος του μικρού power bank.