Hex, ένα παιχνίδι, το θεώρημα του σταθερού σημείου και μια ποιητική πράξη αντίστασης στο ναζισμό!

Δεν θα ήμουν εγώ, αν δεν μπορούσα να είμαι ένας άλλος. 
   
                                                            Πωλ Βαλερύ (1871-1945)


   Ο Δανός Piet Hein (1905-1996) ήταν μια πολυσχιδής προσωπικότητα με πολλά ταλέντα, διακεκριμένος φυσικός,μαθηματικός,εφευρέτης,συγγραφέας,αλλά και ποιητής.
 Το 1972,ολοκλήρωσε το διδακτορικό του στο πανεπιστήμιο του Yale.Έκτοτε δημιούργησε πολλά γνωστά παιχνίδια όπως το Soma Cube,Grangloids, Morra,Tower, Polytaire, Nimbi και φυσικά το..Hex.

  Ο Hein εφηύρε το παιχνίδι του Hex που αρχικά το ονομασε Con-Tac-Tix το 1942, όταν ήταν φοιτητής στο Ινστιτούτο Θεωρητικής Φυσικής Niels Bohr.Το διέθεσε στο εμπόριο με την ονομασία Polygon και αργότερα έγινε εξαιρετικά δημοφιλές στη Δανία διότι μπορεί να παιχτεί οπουδήποτε με ένα χαρτί και ένα μολύβι.Ο Hein ομολογεί ότι σκεφτόταν το γνωστό πρόβλημα του χρωματισμού ενός χάρτη με τέσσερα χρώματα και αυτό τον οδήγησε στους κανόνες του παιχνιδιού..

John Forbes Nash,

    Ο ραμπελικός Ουμπέρτο ‘Εκο στο δεύτερο ελάχιστο ημερολόγιο αναλύει την τραγική ειρωνεία του ανθρώπου που σε μια έκλαμψη ευφυΐας γεννά μια νέα ιδέα και κατόπιν εορτής διαπιστώνει ότι κάποιος άλλος το έχει σκεφτεί πριν από αυτόν.Το 1948,στο πανεπιστήμιο του Πρίνστον ανεξάρτητα από τον Hein το ίδιο παιχνίδι ανακάλυψε και ένας νεαρός μαθηματικός.Το όνομα του ήταν John Nash,ο ήρωας της ταινίας A Beautiful Mind (2001). Ένας λαμπρός μαθηματικός που είχε την ατυχία να πάσχει από σχιζοφρένεια,κατόρθωσε όμως να θεραπευτεί και να επανακάμψει στην μαθηματική έρευνα και μάλιστα βραβεύτηκε με το Νόμπελ Οικονομίας. Για την ιστορία, είναι ο μόνος μαθηματικός που έχει τιμηθεί με βραβείο Νόμπελ ως ..οικονομολόγος.Το 1952, η εταιρεία παιχνιδιών Parker Bros, κατασκεύασε το παιχνίδι του Nash με την ονομασία  Hex.
                        

                                                    Ταμπλό Hex 11x11

  Το ταμπλό του παιχνιδιού έχει σχήμα παραλληλογράμμου και συνίσταται από κανονικά εξάγωνα με τις απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου να έχουν διαφορετικό χρώμα. Η συνηθέστερη διάσταση του ταμπλό είναι 11x11 αλλά αυτό μπορεί να αλλάξει.

Οι κανόνες του παιχνιδιού είναι εξαιρετικά απλοί.

Αρχικά τα εξαγωνικά κελιά είναι όλα άδεια,ο κάθε παίκτης επιλέγει ένα χρώμα και λαμβάνει τα αντίστοιχα χρωματιστά πιόνια, κατόπιν οι παίκτες με την σειρά σε διαδοχικούς γύρους τοποθετούν σε μη κατειλημμένα κελιά τα πιόνια τους με σκοπό να δημιουργήσουν μια αλυσίδα από πιόνια του χρώματος τους που θα ενώνει τις απέναντι πλευρές του ταμπλό με το δικό τους χρώμα.Ακούγεται εύκολο, έτσι νόμιζα και εγώ στην αρχή,προτού συνεχίσετε να διαβάζετε δοκιμάστε να παίξετε  μια online εκδοχή του.http://www.lutanho.net/play/hex.html

  Το παιχνίδι παρότι μοιάζει εξαιρετικά απλό.Δεν είναι.Στην εκδοχή του ταμπλό 11x11 υπάρχουν 121 αρχικές κινήσεις ( όσα και τα κελιά).Είναι αδιανόητη ακόμα και η σκέψη καταγραφής όλων των δυνατών ακολουθιών κινήσεων λόγω του πλήθους.Είναι βέβαιο ότι θα υπάρξει νικητής καθώς μόνο μια συνεχή αλυσίδα πιονιών ίδιου χρώματος μπορεί να ενώσει τις δυο απέναντι πλευρές του ταμπλό.Ο Nash,το 1949 απέδειξε ότι ο πρώτος παίκτης είναι δυνατό να κερδίζει πάντα, δυστυχώς όμως η απόδειξη δεν αποκαλύπτει τίποτα  για την νικητήρια στρατηγική που πρέπει να υιοθετηθεί. Ο J.Nash ισχυρίστηκε ότι ο πρώτος παίκτης έχει δυσανάλογα μεγαλύτερο πλεονέκτημα νίκης από τον δεύτερο  οπότε πρότεινε τον κανόνα αλλαγής (swap rule), δηλαδή ο πρώτος παίκτης κάνει την πρώτη κίνηση και ο δεύτερος παίκτης εχεί το δικαίωμα αν θέλει να αλλάξουν χρώματα στα πιόνια και να θεωρηθεί δική του πρώτη κίνηση και το παιχνίδι να συνεχιστεί έτσι.Ο Nash προτιμούσε μεγαλο ταμπλό 14x14  με τις δυνατές παρτίδες να  αυξάνονται, ισχυριζόταν ότι στα μικρά ταμπλό( 7x7,8x8) οι κινήσεις μετά από αρκετά παιχνίδια καθίστανται γνωστές και τετριμμένες.

Το Hex αποτέλεσε αντικείμενο μελέτης για τους επιστήμονες της επιστήμης των υπολογιστών που ειδικεύονται στην τεχνητή νοημοσύνη. Με την χρήση υπολογιστή έχει αναλυθεί η περίπτωση του μικρού ταμπλό 7x7 και βρέθηκε νικητήρια στρατηγική αρκεί ο πρώτος παίκτης  να τοποθετήσει στην πρώτη κίνηση του, το πιόνι στο κέντρο του ταμπλό και να εκμεταλλευτεί την συμμετρία.

Το Hex μπορεί να είναι μόνο ένα παχνιδι, όμως έχει χρησιμοποιηθεί για να αποδειχθεί το θεώρημα του σταθερού σημείου του Brouwer(http://www.math.pitt.edu/~gartside/hex_Browuer.pdf)

Το παραπάνω θεώρημα μπορεί να αποδοθεί ως εξής:

Φαντασθείτε ένα χάρτη, ένα οποιοδήποτε χάρτη.Σμικρύνετε ένα αντίγραφο του με οποιαδήποτε κλίμακα εσείς επιθυμείτε.Τοποθετήστε τον,πάνω στον μεγαλύτερο χάρτη χωρίς να προεξέχει κανένα τμήμα του.Είναι βέβαιο ότι υπάρχει ένα σημείο του Χ μικρού χάρτη που θα υποδεικνύει την ίδια τοποθεσία και στους δυο χάρτες. Η πλευρά ΑΒ αντιστοιχεί στην πλευρά Α’Β’.

                        

Αν η παραπάνω διαδικασία συνεχιστεί με ολοένα και μεγαλύτερη σμίκρυνση των χαρτών θα προσεγγίζουμε το σημείο Χ.

                       

  

    Όταν οι Ναζί εισέβαλαν στην Δανία το 1941,ο Hein με το ψευδώνυμο Kumbel -στα νορβηγικά σημαίνει ταφόπετρα- στην εφημερίδα Politiken δημοσίευε Grοok.Τα Grook ήταν μικρά παραδοξολογικά αλληγορικά ποιήματα που περνούσαν από την λογοκρισία και καταφέρονταν ενάντια στον Ναζισμό.Σύντομα τα Grook γράφονταν από τους Δανούς πολίτες ως συνθήματα αντίστασης στους τοίχους.

Χαρακτηριστικό είναι το Grook της παρηγοριάς.  

Το GROOK της παρηγοριάς

     Χάνοντας ένα γάντι
     Είναι σίγουρα επώδυνο,
     αλλά μηδαμινό
     σε σύγκριση με τον πόνο,
     να χάσεις το ένα,
     να πετάξεις το άλλο,
     και κατόπιν να βρεις το πρώτο

     και πάλι.

 Ο Piet εννοούσε,ότι, ενδεχομένως να χάσεις την ελευθερία σου,αν όμως χάσεις την αξιοπρέπεια σου,όταν ξαναβρείς την ελευθερία σου θα έχεις απωλέσει πολύ περισσότερα.

Bonus,ένα διαχρονικό Grook από τον Hein.

Οι εγωκεντρικοί

Οι άνθρωποι είναι εγωκεντρικοί.

Σε βαθμό ναυτίας

Και θα συνεχίσουν

Να ασχολούνται με τον εαυτό τους

Όσο εγώ θα με ερμηνεύω.

 

Περαιτέρω αναφορές:

http://mathworld.wolfram.com/GameofHex.html
http://maarup.net/thomas/hex/
http://www.math.pitt.edu/~gartside/hex_Browuer.pdf

        

Soma Cube