«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy


Δευτέρα, 30 Μαρτίου 2020

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ




Σάββατο, 28 Μαρτίου 2020

Σαν σήμερα στο μαθηματικό σύμπαν....




 Tο Μάρτιο του 1928 ,γεννιέται ο Γάλλος μαθηματικός Αλεξάντερ Γκρονθέτικ.
Αγαπημένη μαθηματική περσόνα ιστορία ,μέλος των Μπουρμπακί, ο Αλεξάντερ Γκρονθέτικ. O Αλεξάντερ Γκρονθέτικ, μια από τις πλέον εμβληματικές φυσιογνωμίες των μαθηματικών του εικοστού αιώνα. Γιος ενός ρώσου αναρχικού και μιας γερμανίδας ακτιβίστριας έζησε την παιδική του ηλικία σε ένα στρατόπεδο συγκέντρωσης λόγω της αντιστασιακής δράσης των γονέων του.

Πέμπτη, 26 Μαρτίου 2020

Σαν σήμερα στο μαθηματικό σύμπαν,το 1913



  Σαν σήμερα στο μαθηματικό σύμπαν,το 1913, γεννήθηκε , ο Ούγγρος μαθηματικός Πωλ Έρντος (1913 –1996) .Ο Πωλ Έρντος θα μπορούσε κάλλιστα με την φωτογραφία του να κοσμεί την εγκυκλοπαίδεια πλάι στο λήμμα:αφηρημένη ιδιοφυΐα.Παιδί θαύμα,μόλις τεσσάρων χρονών λέει στην μητέρα του:

Πέμπτη, 5 Μαρτίου 2020

Οι δέκα εντολές του George Polya προς τον δάσκαλο των μαθηματικών!



  
Οι δέκα εντολές του George Polya προς τον δάσκαλο των μαθηματικών!
1.Να δείχνεις ενδιαφέρον προς το αντικείμενο σου.
2.Να γνωρίζεις το αντικείμενο σου.
3.Γνωριζε τους τρόπους μάθησης.Ο καλύτερος τρόπος για να μάθεις κάτι είναι να το ανακαλύψεις μόνος σου.
4.Προσπαθησε να διαβάζεις τα πρόσωπα των μαθητών σου, προσπάθησε να δεις τις προσδοκίες και τις δυσκολίες τους, τοποθέτησε τον εαυτό σου στην θέση τους.
5.Δώσε στους μαθητές σου όχι μόνο πληροφορία αλλά και καθοδήγηση χειρισμού των γνώσεων τους, και μάθε τους την συνήθεια της μεθοδικής εργασίας.
6.Άφηνε τους να μάθουν να κάνουν νοερές εκτιμήσεις.
7.Άφηνε τους να μάθουν να αποδεικνύουν.
8.Εχε τον νου σου να επισημαίνεις στα διαθέσιμα προβλήματα εκείνα τα χαρακτηριστικά που μπορεί να αποβούν χρήσιμα για την επίλυση επομένων προβλημάτων –προσπάθησε να αποκαλύψεις ένα γενικό μοτίβο (αν υπάρχει) που βρίσκεται πίσω από την παρούσα συγκεκριμένη κατάσταση.
9.Μην χαρίζεις ολόκληρο το μυστικό σου μονομιάς –άφησε τους μαθητές να μαντεύουν, να εκτιμούν πριν τους το πεις, άφησε τους να το βρουν μόνοι τους όσο είναι εφικτό.
10.Να προτείνεις ,να μην τους βάζεις με το ζόρι να καταπιούν την πληροφορία.

Σαν σήμερα, το 1827

  

  
 Σαν σήμερα, το 1827, πεθαίνει ο αστρονόμος και μαθηματικός Πιερ Σιμόν Λαπλας (1749-1827). Ένας από τους πρώτους επιστήμονες που πίστεψε στις «μαύρες τρύπες» του διαστήματος. Στο κυριότερο έργο του ,την πραγματεία περί της ουρανίου μηχανικής (1799-1825) ο Λαπλάς μελέτησε επισταμένα την κίνηση των ουράνιων σωμάτων. Παρ’ όλα αυτά πέθανε με την πεποίθηση ότι οι ανθρώπινες γνώσεις είναι πεπερασμένες, και με την αγωνία για τις μελλοντικές ανακαλύψεις της επιστήμης. Τα τελευταία του λόγια ήταν:
«Αυτά που γνωρίζουμε είναι ελάχιστα, αυτά που αγνοούμε είναι άπειρα.»
Όταν ο Λαπλας που υπήρξε βασικός θεμελιωτής της Θεωρίας Πιθανοτήτων μελέτησε τους καταλόγους γεννήσεων της δεκαετίας 1746 -1756 των πόλεων Λονδίνου ,Βερολίνου ,Πετρούπολης διαπίστωσε ότι το ποσοστό των αγοριών είναι ίσο με 0.516 και για τις τρεις αυτές πόλεις , ενώ το αντίστοιχο των κοριτσιών 0.484).Το ίδιο αυτό ποσοστό βρέθηκε να αναλογεί στις γεννήσεις αγοριών στο σύνολο του Γαλλικού κράτους για την ιδία περίοδο , ενώ για την πόλη του Παρισιού βρέθηκε μικρότερο για τα αγόρια (0.511) και μεγαλύτερο για τα κορίτσια (0.489). Προσπαθώντας να εξηγήσει αυτήν την μικρή απόκλιση , ανακάλυψε ότι στο Παρίσι λειτουργούσε άσυλο εγκαταλελειμμένων παιδιών μοναδικό σε όλη την Γαλλία.Ήταν μάλιστα συχνό φαινόμενο οι Γάλλοι της επαρχίας να εγκαταλείπουν πολύ πιο συχνά τα νεογέννητα κορίτσια και σπανιότερα τα αγόρια. Διορθώνοντας το στοιχείο αυτό βρήκε και για την πόλη του Παρισιού,την ίδια σχετική συχνότητα 0.516 και 0.484.Επειδη η απόκλιση είναι πολύ μικρή σε ασκήσεις που αφορούν γεννήσεις θεωρούμε ότι το ποσοστό των γεννήσεων αγοριών, κοριτσιών είναι το ίδιο 0.5.

Παρασκευή, 28 Φεβρουαρίου 2020

Σαν σήμερα στο μαθηματικό σύμπαν,το 1695


Ο Γερμανός μαθηματικός-φιλόσοφος Γκότφριντ Βίλχελμ Φον Λάιμπνιτς (1646-1716) γράφει στον Ελβετό μαθηματικό Γιόχαν Μπερνούλι (1667–1748) μια επιστολή που τον ενθαρρύνει να χρησιμοποιήσει το σύμβολο ∫ για το ολοκλήρωμα.Το γνωστό σύμβολο του ολοκληρώματος χρησιμοποιήθηκε πρώτα από τον Λάιμπνιτς στα τέλη του 17ου αιώνα.Το σύμβολο είναι ένα επίμηκες s (sum = άθροισμα) και επιλέχθηκε από τον Λάιμπνιτς επειδή έβλεπε το ολοκλήρωμα, σαν ένα είδος αθροιστικής διαδικασίας απειράριθμων ποσοτήτων «απείρως μικρών».

Κυριακή, 23 Φεβρουαρίου 2020

Σαν σήμερα στο μαθηματικό σύμπαν,το 1603

 
 
   Σαν σήμερα στο μαθηματικό σύμπαν,το 1603.Πεθαίνει ο Γάλλος μαθηματικός Φρανσουά Βιετ,ο οποίος χρησιμοποίησε πρώτος την συμβολική άλγεβρα όπως την γνωρίζουμε τώρα.Μέχρι τότε, στα μαθηματικά χρησιμοποιούνταν η ρητορική άλγεβρα και ενίοτε η συγκοπτόμενη άλγεβρα για την έκφραση μαθηματικών,δηλαδή γινόταν η χρήση λέξεων ή λεκτικών συντομεύσεων και όχι συμβόλων.Ο Βιετ χρησιμοποίησε πρώτος τα σύμβολα για τα πρόσημα(«+»,«-») αντί για τις λέξεις «plus»,«minus» πρότεινε να χρησιμοποιούνται τα φωνήεντα για να δηλωθούν οι άγνωστες ποσότητες και τα σύμφωνα για τις γνωστές ποσότητες καθιερώνοντας πρώτος την έννοια της παραμέτρου.
Ο Φρανσουά Βιέτ (1540 1603) γεννήθηκε το 1540. Αν και οι κύριες σπουδές του ήταν νομικές, ξεχώρισε στα μαθηματικά και ιδιαίτερα στην άλγεβρα.
Το πρώτο του κατόρθωμα ήταν η αποκρυπτογράφηση του ισπανικού κώδικα αλληλογραφίας, που ήταν βασισμένος σε ένα περίπλοκο σύστημα αριθμών και γραμμάτων. Με την πράξη του αυτή βοήθησε σημαντικά τη Γαλλία και τον Ερρίκο Δ΄ στον πόλεμο με την Ισπανία. Συνέγραψε την «Εισαγωγή στην αναλυτική τέχνη» που αποτελεί ένα από τα πρώτα άρτια μνημεία του αλγεβρικού λογισμού.
Ο Φρανσουά Βιέτ υπήρξε ο πρώτος μαθηματικός που χρησιμοποίησε σε ευρεία κλίμακα τα γράμματα για να εκφράσει αριθμητικές ποσότητες. Το 1593 κατάφερε να εκφράσει τον αριθμό π με τη βοήθεια ενός απειρογινόμενου και τον υπολόγισε με ακρίβεια εννέα δεκαδικών ψηφίων, βελτιώνοντας έτσι το σχετικό αποτέλεσμα του Αρχιμήδη. Συμπερασματικά ο Βιέτ υπήρξε ο πρώτος που υποκατέστησε στις μαθηματικές του αποδείξεις τις γεωμετρικές κατασκευές με αλγεβρικές διαδικασίες. Ο μαθητές στην Α λυκείου τον ξέρουν πολύ καλά από τους τύπους που φέρουν το όνομα του και δίνουν απλές σχέσεις μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου και των συντελεστών του.

Τρίτη, 18 Φεβρουαρίου 2020

Ο τύπος με τα κορδόνια (Shoelace formula)


Σαν σήμερα στο μαθηματικό σύμπαν,το 1851




Σαν σήμερα στο μαθηματικό σύμπαν,το 1851.Πεθαίνει ο Carl Gustav Jacob Jacobi.Γεννιέται στο Ποτσδαμ στην Πρωσία της Γερμανίας ο Karl Gustav Jacob Jacobi.Δεύτερος γιος εύπορου τραπεζίτη, τέλειωσε το σχολείο και εισήχθη στο πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Καθολική διάνοια, θα μπορούσε να διαπρέψει στις κλασικές σπουδές και να γίνει άριστος φιλόλογος αλλά τον κέρδισαν τα μαθηματικά. Μελέτησε τις κλασσικές εργασίες των Lagrange και Euler στην Άλγεβρα και τον λογισμό  και άφησε το στίγμα του στο μαθηματικό στερέωμα καθώς θεωρείται μαζί με τον Νορβηγό μαθηματικό Abel ως πρωτοπόροι στην θεωρία ελλειπτικών συναρτήσεων.Ήταν εξαιρετικός όσο αφορά τους χειρισμούς της άλγεβρας και των ευφυών επινοημάτων.Το 1825, αποκτά το διδακτορικό του δίπλωμα και αρχίζει να εργάζεται ως λέκτορας  στο πανεπιστήμιο του  Βερολίνου.Γεννημένος δάσκαλος.Ο Jacobi ήταν ο πρώτος κανονικός καθηγητής πανεπιστήμιου,καθώς εισήγαγε τους σπουδαστές του στην ερεύνα.Κάνοντας διαλέξεις  για τις πιο πρόσφατες ανακαλύψεις και δίνοντας στους σπουδαστές την δυνατότητα να παρακολουθήσουν εν τη γενέσει την  δημιουργία ενός νέου αντικειμένου.Πεθαίνει σε ηλικία σαρανταεπτα ετών από ευλογιά.

Δευτέρα, 17 Φεβρουαρίου 2020

Ο «χοντροκομμένος τρόπος» και ο «εκλεπτυσμένος τρόπος» τρόπος επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων!




«…όπως συμβαίνει, υπάρχουν περισσότεροι από ένας τρόποι για να λυθεί ένα πρόβλημα. Υπάρχει αυτό που συνήθως αναφέρεται ως ο «χοντροκομμένος τρόπος», σε αντιδιαστολή με τον «εκλεπτυσμένο τρόπο», όπου με τον δεύτερο αναφερόμαστε στις κομψές μεθόδους επίλυσης.Για να κατανοήσουμε καλύτερα αυτήν την διάκριση,ας θεωρήσουμε το ακόλουθο πρόβλημα:

Παρασκευή, 14 Φεβρουαρίου 2020

Σαν σήμερα στο μαθηματικό σύμπαν, το 1761.



   Ο Ελβετός μαθηματικός Όιλερ (1707-1783)  την περίοδο που βρισκόταν στο Βερολίνο στην Αυλή του Φρειδερίκου  έστελνε επιστολές στην πριγκίπισσα του Anhalt-Dessau,ανιψιά του Φρειδερίκου. Επιστολές που γράφτηκαν ως μαθήματα εξ αποστάσεως  για να της παραδώσουν μηχανική, μαθηματικά, φυσική οπτική, αστρονομία κ.λ.π. Τα περίφημα  Γράμματα σε μια Γερμανίδα πριγκίπισσα. Αυτά τα γράμματα απέκτησαν μεγάλη δημοτικότητα, συγκεντρώθηκαν και κυκλοφόρησαν ως βιβλίο σε επτά  γλώσσες. Σε μια από αυτές τις επιστολές με ημερομηνία 14 Φεβρουαρίου 1761, ο Όιλερ χρησιμοποιεί για πρώτη φορά  τους κύκλους Όιλερ (Euler diagrams),
ένα είδος διαγραμμάτων που μοιάζουν με αυτά του Venn.

Τετάρτη, 12 Φεβρουαρίου 2020

Συνδυαστική γεωμετρία,προβλήματα χρωματισμών


Οσονούπω βγαίνουν τα αποτελέσματα για τους μαθητές που προκρίνονται στον Αρχιμήδη. Τα αγαπημένα μου προβλήματα  σε αυτόν τον διαγωνισμό και εν γένει σε διαγωνισμούς εθνικών ολυμπιάδων είναι αυτά που αφορούν συνδυαστική γεωμετρία και παίγνια και λύνονται με χρωματισμό,30 προβλήματα κλιμακούμενης δυσκολίας με τις λύσεις τους .Τα περισσότερα είναι θέματα από διαγωνισμούς επιλογής διαφόρων χωρών αλλά έχει και παλιά κλασικά αγαπημένα προβλήματα.
 

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...