Από τον μαυροπίνακα στο διαδίκτυο: Η κληρονομιά του Αλόνζο Τσερτς

Σαν σήμερα, στις 11 Αυγούστου 1995 έφυγε από τη ζωή ο Αλόνζο Τσερτς (Alonzo Church), ένας από τους σημαντικότερους λογικούς και μαθηματικούς του 20ού αιώνα, ο άνθρωπος που συνέβαλε όσο λίγοι στη διαμόρφωση των θεωρητικών θεμελίων της σύγχρονης πληροφορικής.

Γεννημένος το 1903 στην Ουάσινγκτον των Ηνωμένων Πολιτειών, ο Τσερτς σπούδασε και αργότερα δίδαξε στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, όπου εξελίχθηκε σε κορυφαία μορφή της μαθηματικής λογικής. Όσοι τον γνώρισαν μιλούσαν για έναν άνθρωπο εξαιρετικά αυστηρό στη σκέψη, με απόλυτη αφοσίωση στην ακρίβεια και τη λογική συνέπεια.

Η παράξενη μαθησιακή διαδρομή του Πέτερ Σόλτσε

Στα 16 του, ένα παιδί από τη Γερμανία προσπάθησε να διαβάσει την πιο διάσημη απόδειξη στα σύγχρονα μαθηματικά. Δεν κατάλαβε απολύτως τίποτα. Έτσι, δίδαξε τον εαυτό του μαθηματικά πανεπιστημιακού επιπέδου ετών, αντίστροφα, μόνο και μόνο για να την αποκρυπτογραφήσει. Σήμερα είναι ο πιο επιδραστικός εν ζωή μαθηματικός.

Το όνομά του είναι Πέτερ Σόλτσε (Peter Scholze).

Πιθανότητα

 

Από τον Euler στον Kaji: Η συναρπαστική διαδρομή του Sudoku

 

Σαν σήμερα, στις 10 Αυγούστου 2021 έφυγε από τη ζωή ο Μακί Κάτζι (Maki Kaji), ο άνθρωπος που συνέβαλε περισσότερο από οποιονδήποτε άλλον στη μεταμόρφωση ενός σχετικά άγνωστου αριθμητικού γρίφου σε παγκόσμιο φαινόμενο. Για τον λόγο αυτόν, συχνά αποκαλείται «,ο πατέρας του Sudoku».

Tο γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα και η ακολουθία Fibonacci

 Η σύνδεση των μελισσών με την ακολουθία Fibonacci εντοπίζεται με εντυπωσιακό τρόπο στο γενεαλογικό δέντρο της αρσενικής μέλισσας (κηφήνας). Η ιδιαιτερότητα αυτή προκύπτει από τον μοναδικό τρόπο αναπαραγωγής τους στη φύση.

Λεονάρντο Πιζάνο Φιμπονάτσι. Ο άνθρωπος που άλλαξε τον τρόπο που μετράμε!

 

Μάρβιν Μίνσκυ: Ανατέμνοντας τη νοημοσύνη

 

Σαν σήμερα, το 1927 γεννήθηκε ο Μάρβιν Μίνσκυ.

 Ο Μάρβιν Μίνσκυ (1927 –  2016) δεν ήταν απλώς ένας Αμερικανός μαθηματικός και επιστήμονας υπολογιστών· υπήρξε ένας πραγματικός οραματιστής και ένας από τους αδιαμφισβήτητους «πατέρες» της Τεχνητής Νοημοσύνης (ΤΝ). Αναγνωρίζοντας το μέγεθος της επιστημονικής του συνεισφοράς, η ακαδημαϊκή κοινότητα τον τίμησε το 1969 με το Βραβείο A.M. Turing —το αντίστοιχο του Νόμπελ για την επιστήμη της πληροφορικής— για το ρηξικέλευθο έργο του.

Από τη Γη στα άστρα: Το χρονικό της ανθρώπινης ανύψωσης!

   Στα βάθη της ανθρώπινης μνήμης και των ιερών κειμένων, ο μύθος του Πύργου της Βαβέλ στέκει ως η πρώτη, εμβληματική μαρτυρία της δίψας μας να αγγίξουμε τον ουρανό. Από πηλό και άσφαλτο, οι αρχαίοι άνθρωποι ονειρεύτηκαν να υψώσουν ένα οικοδόμημα που θα τρυπούσε τα σύννεφα, αψηφώντας τα όρια του θνητού τους κόσμου για να φτάσουν στο κατώφλι του θείου. Και παρόλο που εκείνη η πρώτη, παράτολμη απόπειρα κατέληξε –σύμφωνα με τον μύθο– στη σύγχυση και τη διασπορά, η φλόγα της υπέρβασης δεν έσβησε ποτέ. Το όνειρο της Βαβέλ μεταφυτεύτηκε στο DNA της ανθρωπότητας, μετατρέποντας την ιστορία μας σε μια διαρκή, πεισματική μάχη ενάντια στη βαρύτητα, με το βλέμμα μονίμως στραμμένο προς τα πάνω.

Ραμόν Λιούλ: Ο «φωτισμένος διδάσκαλος» που oραματίστηκε τις σκεπτόμενες μηχανές

 

 Στην καρδιά του 13ου αιώνα, όταν ο κόσμος χωριζόταν ακόμα ανάμεσα σε απόρθητα κάστρα και σκοτεινά χειρόγραφα, ένας άνδρας στη Μαγιόρκα τόλμησε να ονειρευτεί κάτι που θα χρειαζόταν επτά αιώνες για να πάρει σάρκα και οστά: την αυτοματοποίηση της ανθρώπινης σκέψης.

Ο Ραμόν Λιούλ (Ramon Llull,1232-1315) δεν ξεκίνησε ως σοφός. Γεννημένος σε μια εύπορη αστική οικογένεια της Πάλμα, λίγο μετά την κατάκτηση της νήσου από τον βασιλιά Ιάκωβο Α', έζησε μια νεότητα που θα μπορούσε να χαρακτηριστεί ως απόλυτα ηδονιστική. Μέλος της βασιλικής αυλής και εραστής των απολαύσεων, η ζωή του πήρε μια δραματική τροπή μετά από μια σειρά συγκλονιστικών οραμάτων του Εσταυρωμένου.

Το Θαύμα του αδύνατου: Μια επιστημονική ματιά στις συμπτώσεις που μας αφήνουν άφωνους

  Έχετε αναρωτηθεί ποτέ πώς είναι δυνατόν η 10χρονη Laura Buxton να αφήσει ένα μπαλόνι από το Stoke-on-Trent( Το Stoke-on-Trent είναι μια πόλη στην Αγγλία)και αυτό να διανύσει 140 μίλια για να προσγειωθεί στα χέρια μιας άλλης 10χρονης κοπέλας που ονομάζεται... επίσης Laura Buxton;. Ή πώς ο Σαίξπηρ, τη χρονιά που έκλεινε τα 46 του χρόνια, είδε να εκδίδεται η Βίβλος του Βασιλιά Ιακώβου, στην οποία η 46η λέξη από την αρχή του Ψαλμού 46 είναι το «Shake» και η 46η από το τέλος το «Spear»;.

Το παράδοξο του Τρίστραμ Σάντι από τον Μπέρτραντ Ράσελ!

  

Ο Άγγλος μαθηματικός Μπέρτραντ Ράσελ-στο βιβλίο του «The Principles of Mathematics»-βάσισε ένα  παράδοξο στο φανταστικό πρόσωπο του Tristram Shandy.Ο Τρίστραμ  Σάντι είναι ο κεντρικός ήρωας στο βιβλίο του Λόρενς Στερν με τίτλο «Η ζωή και οι απόψεις του ιππότη Τρίστραμ Σάντι»,που εκδόθηκε το 1760.

Το παράδοξο λέει το εξής:

  Ο Τρίστραμ Σάντι έκανε δυο χρόνια για να γράψει την ιστορία των δυο πρώτων ημερών της ζωής του και παραπονιόταν ότι, με αυτό τον ρυθμό, το υλικό θα συσσωρευόταν πιο γρήγορα από ότι θα  ήταν σε θέση να το χρησιμοποιήσει. Επομένως, δεν θα μπορούσε να το τελειώσει ποτέ. Ωστόσο, άν ζούσε αιωνίως και δεν σταματούσε αυτήν την εργασία, κανένα μέρος της αυτοβιογραφίας του δεν θα έμενε άγραφο. Η συγγραφή θα είχε ως εξής:

Ειδικοί

 

Το πρόβλημα του μακαρονιού (Spaghetti Problem)

Το πρόβλημα του μακαρονιού (Spaghetti Problem) είναι ένα περίεργο φαινόμενο που εμφανίζεται όταν προσπαθείς να σπάσεις ένα ξερό μακαρόνι σπαγγέτι λυγίζοντας τις δύο άκρες του προς το κέντρο. Αντί να σπάσει συνήθως σε δύο κομμάτια, το μακαρόνι καταλήγει να σπάει σε τρία ή περισσότερα τμήματα. Το φαινόμενο αυτό προβλημάτισε πολλούς ανθρώπους, ακόμη και τον διάσημο φυσικό Ρίτσαρντ Φάινμαν, ο οποίος πέρασε ένα ολόκληρο βράδυ προσπαθώντας να καταλάβει γιατί συμβαίνει.

Hamilton ή Kirkman; Η τυχαία ιστορία ενός μεγάλου μαθηματικού ονόματος

Σαν σήμερα το 1855

  Ο Thomas Penyngton Kirkman παρουσίασε μια εργασία σχετικά με το γενικό πρόβλημα του προσδιορισμού μιας συνθήκης κάτω από την οποία ένας γράφος είναι Χαμιλτονιανός.

Σε αντίθεση με τον William Rowan Hamilton, ο οποίος ενδιαφερόταν κυρίως για τις αλγεβρικές σχέσεις ενός συγκεκριμένου γράφου (του γραφήματος που συνδεόταν με το περίφημο Ικοσιανό Παιχνίδι), ο Kirkman ενδιαφερόταν για τη γενική μελέτη των «Χαμιλτονιανών κύκλων» (Hamiltonian circuits) σε οποιονδήποτε γράφο.

Μια ασυνήθιστη αυτοπροσωπογραφία

 

Μια ασυνήθιστη αυτοπροσωπογραφία του φυσικού Ερνστ Μαχ, στην οποία ο Μαχ σκιτσάρει τον εαυτό του ξαπλωμένος στον καναπέ του και κοιτάζοντας μόνο από το αριστερό του μάτι. Το σκίτσο αντανακλούσε το δια βίου ενδιαφέρον του για τη συμμετρία και την αντίληψη.

Όταν το μελάνι γεννά τη σκέψη: Πώς η γραφή μεταμόρφωσε τα Μαθηματικά

  Έχουμε τη  τάση να φανταζόμαστε τα μαθηματικά σαν έναν αιθέριο, άυλο κόσμο ιδεών—μια οικουμενική αλήθεια τόσο απόλυτη που ακόμα κι αν συναντούσαμε εξωγήινους πολιτισμούς, θα συμφωνούσαμε πως 2+2=4.

Κι όμως, η πραγματική μαθηματική περιπέτεια συμβαίνει πάνω στη γη. Είναι μια βαθιά υλική και φυσική ιεροτελεστία: η πράξη του να αφήνεις σημάδια στο χαρτί, σκαλίσματα στο ξύλο ή ίχνη κιμωλίας στον μαυροπίνακα.

Όπως εξηγεί ο ιστορικός David E. Dunning, η μαθηματική συμβολογραφήδεν είναι απλώς ένα παθητικό μέσο καταγραφής. Είναι μια ζωντανή τεχνολογία σκέψης—ένα νοητικό εργαλείο που δεν εκφράζει απλώς τις ιδέες μας, αλλά διαμορφώνει το τι είμαστε σε θέση να συλλάβουμε, να υπολογίσουμε και να ανακαλύψουμε.

Πώς μια 17χρονη έλυσε έναν γρίφο 40 ετών!

  Η Hannah Mira Cairo (γενν. 2007, Νασσάου, Μπαχάμες) είναι μια μαθηματικός που ειδικεύεται στην αρμονική ανάλυση (harmonic analysis) και τη θεωρία περιορισμού Fourier (Fourier restriction theory).

Μεγαλωμένη στις Μπαχάμες και λαμβάνοντας κατ' οίκον εκπαίδευση (homeschooling) μαζί με τα αδέλφια της, η Hannah βρήκε στα μαθηματικά μια διέξοδο από την αίσθηση του εγκλεισμού και της μονοτονίας. Χρησιμοποιώντας διαδικτυακές πλατφόρμες όπως το Khan Academy, ολοκλήρωσε τον απειροστικό λογισμό στα 11 της και μέχρι τα 14 είχε ήδη κατακτήσει, πρακτικά ολομόναχη, το ισοδύναμο ενός προπτυχιακού προγράμματος μαθηματικών. Διαβάζοντας βιβλία ανώτερων μαθηματικών, είχε συνηθίσει απλώς να «αποδεικνύει τα θεωρήματα μόνη της».

Ματ στον μαγικό ίππο: Το τέλος ενός μαθηματικού μυστηρίου 150 ετών

Σαν σήμερα, το 2003.

Μετά από 61,40 ημέρες υπολογισμών, ένα πρόβλημα ηλικίας 150 ετών που παρέμενε άλυτο βρήκε τελικά απάντηση: 

   "δεν υπάρχει καμία διαδρομή ίππου σε σκακιέρα 8×8 που να σχηματίζει μαγικό τετράγωνο."

Η διαδρομή του ίππου (Knight's Tour) είναι μια ακολουθία κινήσεων ενός ίππου στη σκακιέρα, έτσι ώστε ο ίππος να επισκέπτεται κάθε τετράγωνο ακριβώς μία φορά. Η παλαιότερη γνωστή αναφορά στο πρόβλημα της διαδρομής του ίππου χρονολογείται στον 9ο αιώνα μ.Χ., στο σανσκριτικό έργο του Rudraṭa, Kavyalankara, ένα έργο αφιερωμένο στην ποιητική.

Οι κρυφές συνήθειες των Ιδιοφυϊών!

 

  Το βιβλίο «Οι Κρυφές Συνήθειες των Ιδιοφυϊών» (The Hidden Habits of Genius: Beyond Talent, IQ, and Grit—Unlocking the Secrets of Greatness) του καθηγητή του Yale, Craig Wright, αποτελεί μια εξερεύνηση της φύσης της μεγαλοφυΐας, πέρα από τα στερεότυπα του υψηλού IQ και των ακαδημαϊκών επιδόσεων. Ο συγγραφέας, αντλώντας από την εμπειρία του στο δημοφιλές μάθημα που διδάσκει στο Yale, υποστηρίζει ότι η ιδιοφυΐα δεν είναι απλώς ένα έμφυτο δώρο, αλλά μια «τέλεια καταιγίδα» προσωπικών χαρακτηριστικών που μπορούν, σε κάποιο βαθμό, να καλλιεργηθούν.

 Το βιβλίο διαρθρώνεται γύρω από 14 κύρια χαρακτηριστικά ή συνήθειες που μοιράζονται οι κορυφαίες ιδιοφυΐες της ιστορίας —από τον Λεονάρντο ντα Βίντσι και τον Μότσαρτ μέχρι την Άλμπερτ Αϊνστάιν και τον Στιβ Τζομπς. Μέσα από γλαφυρές αφηγήσεις και ιστορικά ανέκδοτα, ο Wright αναδεικνύει τη σημασία της ακόρεστης περιέργειας, της παιδικής φαντασίας, της επαναστατικότητας και της ανθεκτικότητας απέναντι στην αποτυχία.

Η μαθηματική ανατομία ενός ρήτορα: Ο Αβραάμ Λίνκολν μαθητής του Ευκλείδη!

 

Ο Αβραάμ Λίνκολν επηρεάστηκε βαθιά από τον Ευκλείδη, υιοθετώντας τις μαθηματικές του μεθόδους για να ακονίσει την πολιτική του σκέψη και τη ρητορική του δεινότητα. Η επιρροή αυτή ξεκίνησε κατά τη διάρκεια της νομικής του εκπαίδευσης, όταν συνειδητοποίησε ότι δεν κατανοούσε πλήρως τη σημασία της λέξης «αποδεικνύω» (demonstrate). Για να τη μάθει, αποσύρθηκε στο σπίτι του πατέρα του μέχρι να είναι σε θέση να αποδείξει οποιαδήποτε πρόταση από τα έξι βιβλία των Στοιχείων του Ευκλείδη με την πρώτη ματιά.

Πέτρα-Ψαλίδι-Χαρτί-Σαύρα-Σποκ

 

Στο επεισόδιο 8 της 2ης Σεζόν (The Lizard-Spock Expansion), ο Sheldon εισάγει το παιχνίδι «Πέτρα-Ψαλίδι-Χαρτί-Σαύρα-Σποκ» για να λύσει ένα καθαρά συνδυαστικό πρόβλημα: 

τον περιορισμένο αριθμό δυνατών εκβάσεων που οδηγεί σε συνεχείς ισοπαλίες.

Μαρκ Κακ. Η ποίηση των Πιθανοτήτων και το τραγούδι των αριθμών

 Σαν σήμερα, το 1914, γεννήθηκε ο Μαρκ Κακ.

  Ο Μαρκ Κακ (1914–1984) δεν υπήρξε απλώς ένας από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς του 20ού αιώνα. Υπήρξε ένας φιλόσοφος των αριθμών, ένας διανοητής που είδε τις πιθανότητες να χορεύουν μέσα στη στατιστική φυσική και ένας χαρισματικός αφηγητής της επιστήμης. Γεννημένος στο Κρζεμιένιετς της Πολωνίας (σήμερα ανήκει στην Ουκρανία) μέσα στους ταραγμένους καιρούς της Ρωσικής Αυτοκρατορίας, η ζωή του σημαδεύτηκε από πολέμους, διωγμούς και μια βαθιά, ανόθευτη αγάπη για τα μυστήρια του σύμπαντος.

Τα Πρώτα Χρόνια: Γεωμετρία Χωρίς... Προπαίδεια

Geek Math Fun Fact: Όταν οι αριθμοί σκοτώνουν τον μεγαλύτερο μύθο του Star Trek

  Στο σύμπαν του Star Trek, υπάρχει ένας απαράβατος νόμος της τηλεοπτικής φυσικής: αν βρίσκεσαι στο USS Enterprise, φοράς κόκκινη στολή και ο Κάπτεν Κερκ σε πάρει μαζί του σε εξωγήινη αποστολή, καλύτερα να έχεις ήδη γράψει τη διαθήκη σου. Οι «Red Shirts» έχουν γίνει παγκόσμιο πολιτιστικό σύμβολο της αναπόφευκτης, πρόωρης καταστροφής.

Αλλά τι λένε τα ίδια τα δεδομένα; Ο μαθηματικός κόσμος (με τη συμβολή αναλύσεων όπως αυτή του ερευνητή Matthew Barsalou) έσκυψε πάνω από τα αρχεία της  σειράς (The Original Series) και απέδειξε κάτι συγκλονιστικό: ο μεγαλύτερος μύθος της ποπ κουλτούρας είναι μαθηματικά ψευδής.

Ο περίπατος που γέννησε τα Τετραδόνια

  Σαν σήμερα, το 1805 , γεννήθηκε ο Σερ Ουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον. 

Ο  Σερ Ουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον (3 Αυγούστου 1805 – 2 Σεπτεμβρίου 1865) ήταν Ιρλανδός φυσικός, αστρονόμος και μαθηματικός, ο οποίος συνέβαλε καθοριστικά στην κλασική μηχανική, την οπτική και την άλγεβρα. Οι μελέτες του στα μηχανικά και οπτικά συστήματα τον οδήγησαν στην ανακάλυψη νέων μαθηματικών εννοιών και τεχνικών.

Η σημαντικότερη ίσως συνεισφορά του ήταν η αναδιατύπωση της Νευτώνειας μηχανικής, η οποία σήμερα είναι γνωστή ως   Χαμιλτονιανή μηχανική (Hamiltonian mechanics). Το έργο αυτό αποτέλεσε θεμέλιο για τη σύγχρονη μελέτη των κλασικών θεωριών πεδίου, όπως ο ηλεκτρομαγνητισμός, καθώς και για την ανάπτυξη της κβαντικής μηχανικής.

Μαθήματα ζωής με ποσοστά!

 

Ο Ρότζερ Φέντερερ είπε στην τάξη αποφοίτων του Ντάρμουθ τον αριθμό που πιστεύει ότι εξηγεί ολόκληρη την καριέρα του:

 «Στο τένις, η τελειότητα είναι αδύνατη. Στους 1.526 αγώνες  που έπαιξα στην καριέρα μου, κέρδισα σχεδόν το 80% αυτών των αγώνων».

Στη συνέχεια τους ζήτησε να μαντέψουν έναν δεύτερο αριθμό:

Από ένα μυθιστόρημα στην Ατομική Βόμβα!

Σαν σήμερα, το 1939.

  Το 1939, ο Άλμπερτ Αϊνστάιν έστειλε επιστολή στον πρόεδρο των Ηνωμένων Πολιτειών, Φραγκλίνο Ντ. Ρούζβελτ, στην οποία προειδοποιούσε ότι οι πρόσφατες έρευνες των Ένρικο Φέρμι και Λέο Σίλαρντ έδειχναν πως το στοιχείο ουράνιο θα μπορούσε να μετατραπεί σε μια νέα και εξαιρετικά σημαντική πηγή ενέργειας στο άμεσο μέλλον.

Στην επιστολή αναφερόταν χαρακτηριστικά:

Το πείραμα του Γαλιλαίου στο διάστημα!

         

Σαν σήμερα, το 1971. 

 Στο τέλος της τελευταίας Εξωοχηματικής Δραστηριότητας (EVA) της αποστολής Απόλλων 15, ο Διοικητής Ντέιβιντ Σκοτ αφιέρωσε λίγα λεπτά για να διεξαγάγει ένα κλασικό επιστημονικό πείραμα μπροστά στην τηλεοπτική κάμερα που είχε στηθεί ακριβώς έξω από τη σεληνάκατο Falcon, στην τοποθεσία προσεδάφισης Hadley Rille. Αναπαριστώντας το πείραμα που ενδέχεται να είχε πραγματοποιήσει ο Γαλιλαίος στην Πίζα, άφησε να πέσουν ένα σφυρί και ένα φτερό γερακιού από ύψος περίπου 1,5 μέτρου, και μπορείτε να κρίνετε το αποτέλεσμα μόνοι σας από το βίντεο.

Το εγχειρίδιο ανάγνωσης της CIA από το 1955: Η επιστήμη της συγκέντρωσης, της κατανόησης και της βαθιάς ανάγνωσης

  Το 1955, σε μια εποχή όπου ο Ψυχρός Πόλεμος βρισκόταν σε πλήρη εξέλιξη και οι υπηρεσίες πληροφοριών έδιναν ιδιαίτερη έμφαση στη συλλογή, αξιολόγηση και επεξεργασία πληροφοριών, δημιουργήθηκε ένα εκπαιδευτικό εγχειρίδιο με τίτλο «Reading Improvement Course» (Σεμινάριο Βελτίωσης της Ανάγνωσης).

 Το εγχειρίδιο αυτό συνδέεται με τα εκπαιδευτικά προγράμματα της Κεντρικής Υπηρεσίας Πληροφοριών των Ηνωμένων Πολιτειών (CIA) για την ανάπτυξη δεξιοτήτων ανάλυσης και μελέτης εγγράφων. Δεν επρόκειτο για κάποιο «μυστικό βιβλίο ανάγνωσης» με την έννοια μιας απόκρυφης τεχνικής, αλλά για ένα τυπικό εκπαιδευτικό υλικό της εποχής, που αργότερα αποδεσμεύτηκε μέσω της διαδικασίας αποχαρακτηρισμού εγγράφων.

Το Μανιφέστο του Κίρκεγκωρ για το περπάτημα!

«Πάνω απ' όλα, μην χάσεις την επιθυμία σου να περπατάς.»

                                                                 Σόρεν Κίρκεγκωρ

  Ο Δανός φιλόσοφος Σόρεν Κίρκεγκωρ έγραψε αυτά τα λόγια το 1847 σε μια επιστολή προς τη φιλάσθενη κουνιάδα του, Henriette (Jette) Kierkegaard. Η Jette υπέφερε από σωματικούς πόνους και συχνές μελαγχολίες, και ο Κίρκεγκωρ, θέλοντας να της δώσει κουράγιο, τόνισε ότι το περπάτημα είναι απολύτως απαραίτητο όχι μόνο για τη σωματική υγεία αλλά και για τη διανοητική διαύγεια.

Τριπλά τέλειοι περιττοί αριθμοί

 Σαν σήμερα, το 1906 ο  Robert Daniel Carmichael απέδειξε  σε εργασία που δημοσιεύτηκε στο American Mathematical Monthly, ότι δεν υπάρχουν τριπλά τέλειοι περιττοί αριθμοί οι οποίοι να είναι γινόμενο τριών διαφορετικών πρώτων παραγόντων.

Ένας τριπλά τέλειος αριθμός (triple perfect number), ή P₃ αριθμός, είναι ένας αριθμός του οποίου οι διαιρέτες —συμπεριλαμβανομένου και του ίδιου του αριθμού— έχουν άθροισμα ίσο με τρεις φορές τον ίδιο τον αριθμό.