Το παράδοξο του σαλιγκαριού

      

Το «παράδοξο του σαλιγκαριού», αποτελεί μια πιο σύνθετη και ενδιαφέρουσα εκδοχή ενός κλασικού μαθηματικού γρίφου.

Στη συγκεκριμένη « έκδοση» του προβλήματος, τα δεδομένα έχουν ως εξής:

  Υπάρχει ένας τοίχος ύψους 11 μέτρων, ο οποίος καταλήγει σε μια πολύ κοφτερή κορυφή . Μόλις το σαλιγκάρι φτάσει στο πάνω άκρο, γλιστράει αμέσως προς την αντίθετη πλευρά. Κατά τη διάρκεια της ημέρας (12 ώρες ανάβασης), το σαλιγκάρι ανεβαίνει 2 μέτρα, ενώ τη νύχτα (12 ώρες ανάπαυσης) γλιστράει προς τα κάτω 1 μέτρο. Πόσες ημέρες θα χρειαστεί το σαλιγκάρι για να ανέβει από τη μία πλευρά και να κατέβει εντελώς από την άλλη, υποθέτοντας ότι καταβάλλει την ίδια προσπάθεια.

Από τον Erdős στην τεχνητή μοημοσύνη: Η νέα εποχή της μαθηματικής ανακάλυψης

  Φανταστείτε έναν άνθρωπο που δεν είχε σπίτι, δεν άγγιζε ποτέ κανέναν, φορούσε μόνο μεταξωτά ρούχα, κατανάλωνε αμφεταμίνες σαν νερό κι αποκαλούσε τον Θεό «Υπέρτατο Φασίστα». Ο Paul Erdős, ο θρυλικός, περιπλανώμενος Ούγγρος μαθηματικός, διέσχιζε τον κόσμο με μια βαλίτσα στο χέρι, σκορπίζοντας δεξιά κι αριστερά γρίφους και επικηρύσσοντας μαθηματικά προβλήματα με μικρά χρηματικά έπαθλα από την τσέπη του. Σήμερα, δεκαετίες μετά τον θάνατό του, αυτοί οι γρίφοι έχουν μετατραπεί στο απόλυτο πεδίο μάχης —και την πιο εντυπωσιακή ρεκλάμα— για τους τεχνολογικούς κολοσσούς της Τεχνητής Νοημοσύνης.

Voyager 1 Στα σύνορα του Ήλιου

Στις 15 Αυγούστου 2006, το Voyager 1, το πιο απομακρυσμένο ανθρώπινο κατασκεύασμα, έφτασε σε απόσταση 100 αστρονομικών μονάδων (AU) από τον Ήλιο — δηλαδή εκατό φορές την απόσταση Γης–Ήλιου. Αυτό αντιστοιχεί σε περίπου 15 δισεκατομμύρια χιλιόμετρα ή 9,3 δισεκατομμύρια μίλια.

Ένας αλγόριθμος 2.300 ετών και ένα απρόσμενο μυστικό

Ο Εμίλ Λεζέ (Émile Léger) γεννήθηκε στις 15 Αυγούστου 1795 στο Lagrange-aux-Bois της Γαλλίας και πέθανε στις 15 Δεκεμβρίου 1838 στο Παρίσι. Αν και δημοσίευσε μόλις τέσσερις μαθηματικές εργασίες, σε μία από αυτές φαίνεται να υπάρχει ίσως η πρώτη αναφορά σε ένα γεγονός που σήμερα είναι πολύ γνωστό και αφορά τον Ευκλείδειο αλγόριθμο.

Πώς έγιναν τα Μαθηματικά… ψυχαγωγία

 

Σαν σήμερα, το 1850, γεννήθηκε ο   Walter William Rouse Ball. 

 Ο Walter William Rouse Ball (14 Αυγούστου 1850 – 4 Απριλίου 1925) γεννήθηκε στο Λονδίνο και υπήρξε Βρετανός μαθηματικός, δικηγόρος και μέλος του Trinity College, Cambridge από το 1878 έως το 1905. Εκτός από τα μαθηματικά, είχε έντονο ενδιαφέρον για την ταχυδακτυλουργία και τη μαγεία ως ερασιτέχνης μάγος. Το 1919 έγινε ο ιδρυτικός πρόεδρος του Cambridge Pentacle Club, μιας από τις παλαιότερες λέσχες ταχυδακτυλουργίας στον κόσμο.

Ο Γκαστόν Νταρμπού, η Μαρί Κιουρί και η μάχη ενάντια στις προκαταλήψεις

       

Σαν σήμερα, το 1842, γεννήθηκε ο Ζαν-Γκαστόν Νταρμπού,

 Ο Ζαν-Γκαστόν Νταρμπού (Jean-Gaston Darboux) γεννήθηκε στις 14 Αυγούστου 1842 στη Νιμ της Γαλλίας και πέθανε στις 23 Φεβρουαρίου 1917 στο Παρίσι. Υπήρξε ένας από τους σημαντικότερους Γάλλους μαθηματικούς του 19ου αιώνα, με σπουδαίες συνεισφορές στις μερικές διαφορικές εξισώσεις και στη διαφορική γεωμετρία.

Ο «κανόνας ανατριχίλας» και οι εξισώσεις του Ρωμαίου και της Ιουλιέτας!

Ο Steven Strogatz στο  βιβλίο «The Joy of x»  δίνει ένα συναρπαστικό οδηγό στον κόσμο των μαθηματικών, με στόχο να καταστήσει τις αφηρημένες έννοιες προσιτές και ευχάριστες για το ευρύ κοινό. Ο συγγραφέας αναλύει θεμελιώδη θέματα, όπως οι αριθμοί, η άλγεβρα, η γεωμετρία και ο απειροστικός λογισμός, συνδέοντάς τα με την καθημερινή ζωή και τον πολιτισμό. 

  Ο Strogatz επισημαίνει ότι πολλές φορές  η γοητεία της άλγεβρας μπορεί μερικές φορές να οδηγήσει σε «ανόητες» ή αυθαίρετες εφαρμογές στην καθημερινή ζωή.

Από το εκκρεμές στα κοινωνικά δίκτυα: Η μαθηματική περιπέτεια του Steven Strogatz

            

Σαν σήμερα, το 1959, γεννήθηκε οΣτίβεν Χένρι Στρόγκατς.

 Ο Στίβεν Χένρι Στρόγκατς (Steven Henry Strogatz, γεννημένος στις 13 Αυγούστου 1959 στο Τόρινγκτον του Κονέκτικατ) είναι Αμερικανός μαθηματικός και καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Jacob Gould Schurman στο Cornell University. Είναι ιδιαίτερα γνωστός για τις πρωτοποριακές συνεισφορές του στη μελέτη του συγχρονισμού σε δυναμικά συστήματα, καθώς και για το έργο του σε πολλούς κλάδους των εφαρμοσμένων μαθηματικών, όπως η μαθηματική βιολογία και η θεωρία των πολύπλοκων δικτύων.

Αποδείξεις χωρίς λόγια. Αριθμός τετραγώνων σε μια σκακιέρα!

 

Ο Αμοργίδας και μια υπόθεση ιεροσυλίας

   

  Ο Αμοργίδας, ο μυθικός ήρωας της Αιτωλίας, κλήθηκε να εξιχνιάσει μια υπόθεση ιεροσυλίας στον ναό του Απόλλωνα. Έξι άτομα (οι μάρτυρες Α, Β, Γ, Δ, Ε και Ζ) έγιναν μάρτυρες του γεγονότος και προσφέρθηκαν να περιγράψουν στον Αμοργίδα τον ιερόσυλο. Ωστόσο, οι καταθέσεις τους διέφεραν σε κάθε σημαντικό σημείο: στο χρώμα του ιματίου, στο χρώμα της ζώνης, στο σχήμα του μανδύα και στην πιθανή ηλικία του.

Ο δάσκαλος του Γκάους που ενέπνευσε τον Λομπατσέφσκι

Σαν σήμερα, το 1769  γεννήθηκε ο Γιόχαν Κρίστιαν Μάρτιν Μπάρτελς

 Ο Γιόχαν Κρίστιαν Μάρτιν Μπάρτελς (13 Αυγούστου 1769 – 7/20 Δεκεμβρίου 1836) ήταν Γερμανός μαθηματικός. Υπήρξε δάσκαλος του Καρλ Φρίντριχ Γκάους στο Μπράουνσβαϊγκ και αργότερα καθηγητής και μέντορας του Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι στο Πανεπιστήμιο του Καζάν.

What If? Βιβλίο για νέρντουλες!

   
Τον τελευταίο μήνα διαβάζω ένα βιβλίο για πολύ νέρντουλες το What If? Serious Scientific Answers to Absurd Hypothetical Questions" του Randall Munroe.Τι είναι; Φαντάσου να κάθεσαι για καφέ με έναν τύπο που έφτιαχνε ρομπότ για τη NASA, ο οποίος αντί να κάνει κάποια βαρετή διάλεξη, δέχεται να απαντήσει στην πιο παλαβή ερώτηση που μπορείς να σκεφτείς, χρησιμοποιώντας όμως μαθηματικά και φυσική. 

Από τον μαυροπίνακα στο διαδίκτυο: Η κληρονομιά του Αλόνζο Τσερτς

Σαν σήμερα, στις 11 Αυγούστου 1995 έφυγε από τη ζωή ο Αλόνζο Τσερτς (Alonzo Church), ένας από τους σημαντικότερους λογικούς και μαθηματικούς του 20ού αιώνα, ο άνθρωπος που συνέβαλε όσο λίγοι στη διαμόρφωση των θεωρητικών θεμελίων της σύγχρονης πληροφορικής.

Γεννημένος το 1903 στην Ουάσινγκτον των Ηνωμένων Πολιτειών, ο Τσερτς σπούδασε και αργότερα δίδαξε στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, όπου εξελίχθηκε σε κορυφαία μορφή της μαθηματικής λογικής. Όσοι τον γνώρισαν μιλούσαν για έναν άνθρωπο εξαιρετικά αυστηρό στη σκέψη, με απόλυτη αφοσίωση στην ακρίβεια και τη λογική συνέπεια.

Η παράξενη μαθησιακή διαδρομή του Πέτερ Σόλτσε

Στα 16 του, ένα παιδί από τη Γερμανία προσπάθησε να διαβάσει την πιο διάσημη απόδειξη στα σύγχρονα μαθηματικά. Δεν κατάλαβε απολύτως τίποτα. Έτσι, δίδαξε τον εαυτό του μαθηματικά πανεπιστημιακού επιπέδου ετών, αντίστροφα, μόνο και μόνο για να την αποκρυπτογραφήσει. Σήμερα είναι ο πιο επιδραστικός εν ζωή μαθηματικός.

Το όνομά του είναι Πέτερ Σόλτσε (Peter Scholze).

Πιθανότητα

 

Από τον Euler στον Kaji: Η συναρπαστική διαδρομή του Sudoku

 

Σαν σήμερα, στις 10 Αυγούστου 2021 έφυγε από τη ζωή ο Μακί Κάτζι (Maki Kaji), ο άνθρωπος που συνέβαλε περισσότερο από οποιονδήποτε άλλον στη μεταμόρφωση ενός σχετικά άγνωστου αριθμητικού γρίφου σε παγκόσμιο φαινόμενο. Για τον λόγο αυτόν, συχνά αποκαλείται «,ο πατέρας του Sudoku».

Tο γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα και η ακολουθία Fibonacci

 Η σύνδεση των μελισσών με την ακολουθία Fibonacci εντοπίζεται με εντυπωσιακό τρόπο στο γενεαλογικό δέντρο της αρσενικής μέλισσας (κηφήνας). Η ιδιαιτερότητα αυτή προκύπτει από τον μοναδικό τρόπο αναπαραγωγής τους στη φύση.

Λεονάρντο Πιζάνο Φιμπονάτσι. Ο άνθρωπος που άλλαξε τον τρόπο που μετράμε!

 

Μάρβιν Μίνσκυ: Ανατέμνοντας τη νοημοσύνη

 

Σαν σήμερα, το 1927 γεννήθηκε ο Μάρβιν Μίνσκυ.

 Ο Μάρβιν Μίνσκυ (1927 –  2016) δεν ήταν απλώς ένας Αμερικανός μαθηματικός και επιστήμονας υπολογιστών· υπήρξε ένας πραγματικός οραματιστής και ένας από τους αδιαμφισβήτητους «πατέρες» της Τεχνητής Νοημοσύνης (ΤΝ). Αναγνωρίζοντας το μέγεθος της επιστημονικής του συνεισφοράς, η ακαδημαϊκή κοινότητα τον τίμησε το 1969 με το Βραβείο A.M. Turing —το αντίστοιχο του Νόμπελ για την επιστήμη της πληροφορικής— για το ρηξικέλευθο έργο του.

Από τη Γη στα άστρα: Το χρονικό της ανθρώπινης ανύψωσης!

   Στα βάθη της ανθρώπινης μνήμης και των ιερών κειμένων, ο μύθος του Πύργου της Βαβέλ στέκει ως η πρώτη, εμβληματική μαρτυρία της δίψας μας να αγγίξουμε τον ουρανό. Από πηλό και άσφαλτο, οι αρχαίοι άνθρωποι ονειρεύτηκαν να υψώσουν ένα οικοδόμημα που θα τρυπούσε τα σύννεφα, αψηφώντας τα όρια του θνητού τους κόσμου για να φτάσουν στο κατώφλι του θείου. Και παρόλο που εκείνη η πρώτη, παράτολμη απόπειρα κατέληξε –σύμφωνα με τον μύθο– στη σύγχυση και τη διασπορά, η φλόγα της υπέρβασης δεν έσβησε ποτέ. Το όνειρο της Βαβέλ μεταφυτεύτηκε στο DNA της ανθρωπότητας, μετατρέποντας την ιστορία μας σε μια διαρκή, πεισματική μάχη ενάντια στη βαρύτητα, με το βλέμμα μονίμως στραμμένο προς τα πάνω.

Ραμόν Λιούλ: Ο «φωτισμένος διδάσκαλος» που oραματίστηκε τις σκεπτόμενες μηχανές

 

 Στην καρδιά του 13ου αιώνα, όταν ο κόσμος χωριζόταν ακόμα ανάμεσα σε απόρθητα κάστρα και σκοτεινά χειρόγραφα, ένας άνδρας στη Μαγιόρκα τόλμησε να ονειρευτεί κάτι που θα χρειαζόταν επτά αιώνες για να πάρει σάρκα και οστά: την αυτοματοποίηση της ανθρώπινης σκέψης.

Ο Ραμόν Λιούλ (Ramon Llull,1232-1315) δεν ξεκίνησε ως σοφός. Γεννημένος σε μια εύπορη αστική οικογένεια της Πάλμα, λίγο μετά την κατάκτηση της νήσου από τον βασιλιά Ιάκωβο Α', έζησε μια νεότητα που θα μπορούσε να χαρακτηριστεί ως απόλυτα ηδονιστική. Μέλος της βασιλικής αυλής και εραστής των απολαύσεων, η ζωή του πήρε μια δραματική τροπή μετά από μια σειρά συγκλονιστικών οραμάτων του Εσταυρωμένου.

Το Θαύμα του αδύνατου: Μια επιστημονική ματιά στις συμπτώσεις που μας αφήνουν άφωνους

  Έχετε αναρωτηθεί ποτέ πώς είναι δυνατόν η 10χρονη Laura Buxton να αφήσει ένα μπαλόνι από το Stoke-on-Trent( Το Stoke-on-Trent είναι μια πόλη στην Αγγλία)και αυτό να διανύσει 140 μίλια για να προσγειωθεί στα χέρια μιας άλλης 10χρονης κοπέλας που ονομάζεται... επίσης Laura Buxton;. Ή πώς ο Σαίξπηρ, τη χρονιά που έκλεινε τα 46 του χρόνια, είδε να εκδίδεται η Βίβλος του Βασιλιά Ιακώβου, στην οποία η 46η λέξη από την αρχή του Ψαλμού 46 είναι το «Shake» και η 46η από το τέλος το «Spear»;.

Το παράδοξο του Τρίστραμ Σάντι από τον Μπέρτραντ Ράσελ!

  

Ο Άγγλος μαθηματικός Μπέρτραντ Ράσελ-στο βιβλίο του «The Principles of Mathematics»-βάσισε ένα  παράδοξο στο φανταστικό πρόσωπο του Tristram Shandy.Ο Τρίστραμ  Σάντι είναι ο κεντρικός ήρωας στο βιβλίο του Λόρενς Στερν με τίτλο «Η ζωή και οι απόψεις του ιππότη Τρίστραμ Σάντι»,που εκδόθηκε το 1760.

Το παράδοξο λέει το εξής:

  Ο Τρίστραμ Σάντι έκανε δυο χρόνια για να γράψει την ιστορία των δυο πρώτων ημερών της ζωής του και παραπονιόταν ότι, με αυτό τον ρυθμό, το υλικό θα συσσωρευόταν πιο γρήγορα από ότι θα  ήταν σε θέση να το χρησιμοποιήσει. Επομένως, δεν θα μπορούσε να το τελειώσει ποτέ. Ωστόσο, άν ζούσε αιωνίως και δεν σταματούσε αυτήν την εργασία, κανένα μέρος της αυτοβιογραφίας του δεν θα έμενε άγραφο. Η συγγραφή θα είχε ως εξής:

Ειδικοί

 

Το πρόβλημα του μακαρονιού (Spaghetti Problem)

Το πρόβλημα του μακαρονιού (Spaghetti Problem) είναι ένα περίεργο φαινόμενο που εμφανίζεται όταν προσπαθείς να σπάσεις ένα ξερό μακαρόνι σπαγγέτι λυγίζοντας τις δύο άκρες του προς το κέντρο. Αντί να σπάσει συνήθως σε δύο κομμάτια, το μακαρόνι καταλήγει να σπάει σε τρία ή περισσότερα τμήματα. Το φαινόμενο αυτό προβλημάτισε πολλούς ανθρώπους, ακόμη και τον διάσημο φυσικό Ρίτσαρντ Φάινμαν, ο οποίος πέρασε ένα ολόκληρο βράδυ προσπαθώντας να καταλάβει γιατί συμβαίνει.

Hamilton ή Kirkman; Η τυχαία ιστορία ενός μεγάλου μαθηματικού ονόματος

Σαν σήμερα το 1855

  Ο Thomas Penyngton Kirkman παρουσίασε μια εργασία σχετικά με το γενικό πρόβλημα του προσδιορισμού μιας συνθήκης κάτω από την οποία ένας γράφος είναι Χαμιλτονιανός.

Σε αντίθεση με τον William Rowan Hamilton, ο οποίος ενδιαφερόταν κυρίως για τις αλγεβρικές σχέσεις ενός συγκεκριμένου γράφου (του γραφήματος που συνδεόταν με το περίφημο Ικοσιανό Παιχνίδι), ο Kirkman ενδιαφερόταν για τη γενική μελέτη των «Χαμιλτονιανών κύκλων» (Hamiltonian circuits) σε οποιονδήποτε γράφο.

Μια ασυνήθιστη αυτοπροσωπογραφία

 

Μια ασυνήθιστη αυτοπροσωπογραφία του φυσικού Ερνστ Μαχ, στην οποία ο Μαχ σκιτσάρει τον εαυτό του ξαπλωμένος στον καναπέ του και κοιτάζοντας μόνο από το αριστερό του μάτι. Το σκίτσο αντανακλούσε το δια βίου ενδιαφέρον του για τη συμμετρία και την αντίληψη.

Όταν το μελάνι γεννά τη σκέψη: Πώς η γραφή μεταμόρφωσε τα Μαθηματικά

  Έχουμε τη  τάση να φανταζόμαστε τα μαθηματικά σαν έναν αιθέριο, άυλο κόσμο ιδεών—μια οικουμενική αλήθεια τόσο απόλυτη που ακόμα κι αν συναντούσαμε εξωγήινους πολιτισμούς, θα συμφωνούσαμε πως 2+2=4.

Κι όμως, η πραγματική μαθηματική περιπέτεια συμβαίνει πάνω στη γη. Είναι μια βαθιά υλική και φυσική ιεροτελεστία: η πράξη του να αφήνεις σημάδια στο χαρτί, σκαλίσματα στο ξύλο ή ίχνη κιμωλίας στον μαυροπίνακα.

Όπως εξηγεί ο ιστορικός David E. Dunning, η μαθηματική συμβολογραφήδεν είναι απλώς ένα παθητικό μέσο καταγραφής. Είναι μια ζωντανή τεχνολογία σκέψης—ένα νοητικό εργαλείο που δεν εκφράζει απλώς τις ιδέες μας, αλλά διαμορφώνει το τι είμαστε σε θέση να συλλάβουμε, να υπολογίσουμε και να ανακαλύψουμε.

Πώς μια 17χρονη έλυσε έναν γρίφο 40 ετών!

  Η Hannah Mira Cairo (γενν. 2007, Νασσάου, Μπαχάμες) είναι μια μαθηματικός που ειδικεύεται στην αρμονική ανάλυση (harmonic analysis) και τη θεωρία περιορισμού Fourier (Fourier restriction theory).

Μεγαλωμένη στις Μπαχάμες και λαμβάνοντας κατ' οίκον εκπαίδευση (homeschooling) μαζί με τα αδέλφια της, η Hannah βρήκε στα μαθηματικά μια διέξοδο από την αίσθηση του εγκλεισμού και της μονοτονίας. Χρησιμοποιώντας διαδικτυακές πλατφόρμες όπως το Khan Academy, ολοκλήρωσε τον απειροστικό λογισμό στα 11 της και μέχρι τα 14 είχε ήδη κατακτήσει, πρακτικά ολομόναχη, το ισοδύναμο ενός προπτυχιακού προγράμματος μαθηματικών. Διαβάζοντας βιβλία ανώτερων μαθηματικών, είχε συνηθίσει απλώς να «αποδεικνύει τα θεωρήματα μόνη της».

Ματ στον μαγικό ίππο: Το τέλος ενός μαθηματικού μυστηρίου 150 ετών

Σαν σήμερα, το 2003.

Μετά από 61,40 ημέρες υπολογισμών, ένα πρόβλημα ηλικίας 150 ετών που παρέμενε άλυτο βρήκε τελικά απάντηση: 

   "δεν υπάρχει καμία διαδρομή ίππου σε σκακιέρα 8×8 που να σχηματίζει μαγικό τετράγωνο."

Η διαδρομή του ίππου (Knight's Tour) είναι μια ακολουθία κινήσεων ενός ίππου στη σκακιέρα, έτσι ώστε ο ίππος να επισκέπτεται κάθε τετράγωνο ακριβώς μία φορά. Η παλαιότερη γνωστή αναφορά στο πρόβλημα της διαδρομής του ίππου χρονολογείται στον 9ο αιώνα μ.Χ., στο σανσκριτικό έργο του Rudraṭa, Kavyalankara, ένα έργο αφιερωμένο στην ποιητική.