Προβλήματα ή ασκήσεις Paul Zeitz

       

Η μαθηματική επαγωγή, οι κοψοχέρηδες ψηφοφόροι, ο Αλί Μπαμπά και πως χύνεται η καρδάρα με το γάλα….

«Είναι κεφαλαιώδες λάθος να σχηματίζεις θεωρίες προτού να έχεις όλα τα δεδομένα. Επηρεάζει την κρίση σου.»

                                                  Σπουδή στο κόκκινο,Σερ Άρθουρ Κοναν Ντοιλ

   Έχετε διαβάσει τα βιβλία του Ντόιλ με ήρωα τον αρχετυπικό ντετέκτιβ Σέρλοκ Χολμς;Ο Χολμς πατάει σε ενδείξεις, στο κοφτερό του μάτι, στην οξυδερκή παρατήρηση και οδηγείται σε μια θεωρία που εξηγεί πάντα με απόλυτη επιτυχία «ποιος το έκανε;».Ο ίδιος εξομολογείται ότι εκτός από το βιολί,η επαγωγική παρατήρηση είναι ευχαρίστηση του.Η επαγωγή σαν μέθοδος στις επιστήμες είναι ακριβώς αυτό:Η ανακάλυψη γενικών νόμων μέσω της παρατήρησης και του συνδυασμού ειδικών περιπτώσεων(παραδειγμάτων).Από την άλλη στα μαθηματικά,η επαγωγή είναι κάτι εντελώς άλλο.Μια στέρεη μαθηματική αποδεικτική μέθοδος.Μπορεί η ονομασία να είναι κοινή άλλα πρακτικά δεν έχουν μεγάλη σχέση.Όταν όμως χρησιμοποιηθούν  συνδυαστικά έχουμε αξιοθαύμαστα αποτελέσματα.

Ευρετική για ατζαμήδες:Μεταπροβλήματα ΙΙ

  «Μέτα-αλήθεια» (η πολιτική ρητορική/πρακτική που αγνοεί την αλήθεια και βασίζεται σε μια προσωπική,ενίοτε εντελώς πλαστή, εκδοχή της πραγματικότητας)»

                                      Η λέξη «μετα-αλήθεια»  ήταν η λέξη της χρονιάς για το 2016

   Αν κάτι δεν μπορεί να ειπωθεί στα αστεία τότε δεν αξίζει να το πάρουμε στα σοβαρά και να ασχοληθούμε. Με πλοηγό  το παραπάνω μότο σήμερα ο λόγος για μεταπροβλήματα. 

Ένα πρόβλημα με πολλά..μηδενικά

   Καιρό έχουμε να τα πούμε.Τώρα,που καταστάλαξε το πρόγραμμα για την θερινή προετοιμασία και υπάρχει χρόνος, ένα ωραίο πρόβλημα από τον P. Halmos που λύνεται αρκεί να θέσουμε τα σωστά ερωτήματα.

   Να βρείτε το πλήθος των μηδενικών του αριθμού 1000000! (παραγοντικό)

(Υπενθύμιση 1000000!=1*2*3*4*5*….*999999*1000000)

Μαθήματα Ευρετικής.Ο Ηράκλειτος, ο Bruce lee και η αρχή του αναλλοίωτου στα μαθηματικά προβλήματα

                                     

    Ο παππούς Ηράκλειτος έλεγε ότι δεν θα μπορούσε τα πόδια του,να πλύνει δυο φορές στο ίδιο νερό του ποταμιού,γεγονός που προφανώς χαροποιεί τα ψάρια αλλά λέει και πολλά για το ευμετάβλητο του σύμπαντος.Αν δεν μπορούμε να προβλέψουμε τι θα συμβεί και αναγκαζόμαστε να διάγουμε βίο νεφελώδη και απρόσμενο,μπορούμε να έχουμε την μικρή ικανοποίηση να λύνουμε μια κατηγορία προβλημάτων που βασίζεται στο αμετάβλητο κάποιων καταστάσεων.Αντιλαμβάνεστε ότι για μια ακόμα φορά σκοπεύω να πέσω χαμηλά για να αναδείξω το...αναλλοίωτο.

Μαθήματα Ευρετικής:Ο Όιλερ,ο κανόνας του τυφλού και λοιπά…συναφή προβλήματα

 Λέοναρντ  Όιλερ(1707-1783)

    "… ο  Όιλερ έκανε υπολογισμούς χωρίς εμφανή προσπάθεια όπως οι άλλοι αναπνέουν ή όπως σηκώνονται οι αετοί στον αέρα.."                                          

                                                        François Arago, Arago's Biographies of Scientific Men

    Την περίοδο 1734-35,ο Ελβετός μαθηματικός Λέοναρντ  Όιλερ (1707-1783) έγραψε ένα βιβλίο στοιχειώδους άλγεβρας με τίτλο «Εισαγωγή στην  τέχνη του υπολογισμού, για χρήση  στα γυμνάσια της αυτοκρατορικής Ακαδημίας  Επιστήμων της Αγίας Πετρούπολης». Το βιβλίο χρησιμοποιήθηκε ως βασικό εγχειρίδιο αριθμητικής και άλγεβρας στα σχολεία της μητέρας Ρωσίας για πολλά χρόνια και παρότι φέρει το βάρος  τριών αιώνων διαβάζεται άνετα καθώς χρησιμοποιεί  αλγεβρικό συμβολισμό που δεν διαφέρει από τον σημερινό και καταδεικνύει όχι μόνο τον μαθηματικό αλλά και τον δάσκαλο Όιλερ.

Μαθήματα Ευρετικής. Η αρχή της περιστεροφωλιάς και η Αριστοτελική οξυδέρκεια.

   

            

                                

 Ο πρώτος κανόνας διδασκαλίας είναι να γνωρίζετε αυτό που πρόκειται να διδάξετε. 

 Ο δεύτερος κανόνας είναι  να γνωρίζετε λίγο περισσότερα από αυτά που πρέπει να διδάξετε.

 Ο τρίτος κανόνας είναι να εφαρμόζετε απαρέγκλιτα τους δυο πρώτους κανόνες.

                                                                                 Ανώνυμος μαθηματικός

    Ο Polya στο κλασσικό του βιβλίο «πώς να το λύσω» ισχυρίζεται ότι η σύλληψη μιας φαεινής ιδέας είναι μια πράξη οξυδέρκειας και παραθέτει τον Αριστοτέλη :

Μαθήματα Ευρετικής. Χαμένοι στην μετάφραση…

                                   

   
 "Όταν τα αλόγα θα πάψουν να τρέχουν θα γκρεμιστεί  ο ουρανός,επίπεδος
   ,απέραντος,ασήκωτος,καταστρέφοντας τα πάντα."
                                                                                               Τσαρλς Μπουκόφσκι

Ευρετική απο τον R.Feynman.....

   O νομπελίστας φυσικός περιγράφει, πως από μικρο παιδί είχε εμμονή με τις σπαζοκεφαλιές και τα προβλήματα, πως τα αντιμετώπιζε και τι σήμαινε για αυτόν όταν τελικά τα έλυνε.Ακούστε τον με τι θέρμη και ενθουσιασμό μιλάει για τα σχολικά του χρόνια και τα ερεθίσματα που λάμβανε από τους δάσκαλους του. Όπως ο ίδιος τονίζει "μπορεί να χρειαστεί να πάρεις τον εύκολο ή τον δύσκολο δρόμο αλλά αυτό που μετράει τελικά,είναι να το..λύσεις".

Μαθήματα ευρετικής με υλικά κουζίνας!! 'Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης με..αυγά.

                                                                          

• Η έμπνευση ..
Αναζητώντας στο διαδίκτυο μαθαίνουμε ότι:

  Το 1970, ο Appleton Douglas διευθυντής του δημοτικού σχολείου του Lancashire Carr Mill πραγματοποίησε το εξής πείραμα,έβαλε τους μαθητές του από το παράθυρο του δευτέρου ορόφου του σχολείου να αφήσουν αυγά να πέσουν  στο γρασίδι στο σχολικό προαύλιο , προς έκπληξη όλων τα περισσότερα αυγά δεν..έσπασαν. Στην ίδια πόλη ένας πυροσβέστης ανέβηκε σε μια σκάλα 70 ποδών και άφησε 10 αυγά να πέσουν στο γρασίδι.Το αποτέλεσμα ήταν 7 στα 10 να μην σπάσουν.Ένα αξιωματικός της RΑF πραγματοποίησε το ίδιο πείραμα  ρίχνοντας 18 αυγά  από ένα ελικόπτερο σε ύψος 150 ποδών.Τα 15 δεν έσπασαν.Στο διαδίκτυο διαβάζω ότι μια τοπική εφημερίδα η  Daily Express  μίσθωσε ένα μικρό αεροπλάνο από το οποίο ρίφθηκαν  60 αυγά  με ταχύτητα 150 μιλιών την ώρα.Το αποτέλεσμα;Το 60% των αυγών παρέμειναν άθικτα από την πτώση. 
Αλήθεια ή όχι τα παραπάνω πειράματα αποτέλεσαν την έμπνευση για ένα πολύ γνωστό προβληματάκι βελτιστοποίησης:

Μαθήματα Ευρετικής από τους υποψηφίους για πρόσληψη στην Google!

                                   k

                                  "Η φαντασία είναι σημαντικότερη από την γνώση" 
                                                                                          Άλμπερτ Αϊνστάιν  
                                  

Μαθήματα ευρετικής από τον Διόφαντο!!

Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς

                                                                                                             
   "Διαβάτη, σε αυτόν τον τάφο αναπαύεται ο Διόφαντος. Σε εσένα που είσαι σοφός, η επιστήμη θα δώσει το μέτρο της ζωής του. Άκουσε. Οι θεοί του επέτρεψε να είναι νέος για το ένα έκτο της ζωής του. Ακόμα ένα δωδέκατο και φύτρωσε το μαύρο γένι του. Μέτα από ένα έβδομο ακόμα, ήρθε του γάμου του η μέρα. Τον πέμπτο χρόνο αυτού του γάμου, γεννήθηκε ένα παιδί. Τι κρίμα, για το νεαρό του γιο. Αφού έζησε μονάχα τα μισά χρόνια από τον πάτερα του, γνώρισε την παγωνιά του θανάτου. Τέσσερα χρόνια αργότερα, ο Διόφαντος βρήκε παρηγοριά στη θλίψη του, φτάνοντας στο τέλος ζωής του."
     
                                                                    Επιγραμμα από την Παλατινή ανθολογία(500 μ.χ)

   Ο Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς ήταν Έλληνας μαθηματικός του τρίτου αιώνα ( 210 – 290), ο οποίος έζησε στην Αλεξάνδρεια της Ρωμαϊκής Αιγύπτου. Έχει αποκληθεί «πατέρας της άλγεβρας» εξαιτίας του έργου του «Αριθμητικά», όπου περιέχονται αλγεβρικά προβλήματα τα οποία λύνονται με εξισώσεις και συστήματα πρώτου και δευτέρου βαθμού. Τα «Αριθμητικά» του αποτελούνται από δεκατρία βιβλία  από τα οποία διατηρούνται έξι . Από την μετάφραση του  1963 στα Νέα Ελληνικά  από τον Ε. Σταμάτη σταχυολογώ  το πρόβλημα 32 του 2^ου βιβλίου :

Για να το λύσεις... ζωγράφισε το!

   Νομίζετε ότι μόνο  τα γεωμετρικά προβλήματα απαιτούν σχήμα;

Μαθήματα Ευρετικής. ΑΡΙΘΜΟΓΡΑΜΜΑΤΑ (ALPHAMETICS)

    Κρυπτάριθμος  ή Κρυπτόγραμμα ή Αριθμόγραμμα (Alphametic) είναι ένα είδος προβλήματος όπου τα αριθμητικά ψηφία σε μια  αλγεβρική  σχέση  έχουν αντικατασταθεί  από γράμματα ,κατά τέτοιο τρόπο, ώστε σε κάθε αριθμητικό ψηφίο να αντιστοιχίζεται αμφιμονοσήμαντα  ένα διαφορετικό γράμμα. Το ζητούμενο στο πρόβλημα η εύρεση των αριθμητικών ψηφίων. Αυτού του είδους τα προβλήματα σύμφωνα με τον J.A.H.Hunter (*) συγγραφέα βιβλίων με γρίφους προέρχονται από την Αρχαία Κίνα  και στην αρχή ,απλά αποτελούσαν αναδιατυπωμένες αριθμητικές πράξεις, με τα γράμματα  που αντικαθιστούν τα ψηφία να μην έχουν νόημα. Αργότερα εξελίχτηκαν έτσι ώστε να γίνουν  πιο ελκυστικά και να σχηματίζουν μια ή περισσότερες  λέξεις ή και ολόκληρες φράσεις.

  Αντιμετωπίζουμε συνήθως  τέτοια προβλήματα με παρατήρηση και αποκλεισμό περιπτώσεων. Ένα πολύ γνωστό αριθμόγραμμα από το βιβλίο του Α.Beiler  “Recreations in the Theory of Numbers” είναι το εξής:

Μαθήματα Ευρετικής :Μέρος έκτο (Δεν λύνονται όλα με εξισώσεις!!! )

 Έχουμε συνδυάσει τα μαθηματικά προβλήματα με εξισώσεις .Συνήθως«μεταγλωττίζουμε» τα δεδομένα με την χρήση μεταβλητών σε εξισώσεις και από εκεί και πέρα η λύση είναι τετριμμένη. Δεν οδηγούν όμως όλα τα προβλήματα σε εξισώσεις .

Μαθήματα Ευρετικής: Μεταπροβλήματα Ι

   Στα ψυχαγωγικά μαθηματικά  ,στην θεωρία παιγνίων ακόμα και σε πολλούς μαθηματικούς διαγωνισμούς  πολύ συχνά τίθενται μεταπροβλήματα. Τι συνιστά  ένα μεταπρόβλημα; Η επίλυση ενός τέτοιου προβλήματος βασίζεται στην πληροφορία αν ένα άλλο πρόβλημα λύνεται ή όχι.

Ένα τέτοιο παράδειγμα μεταπροβλήματος  δανείζομαι από το βιβλίο του Αλί Νταρ Νασάθ  «Προβλήματα για δύσκολες ώρες.».

Μαθήματα Ευρετικής.Προβλήματα λογικής

  Παρατηρώντας τα στατιστικά του ιστολογίου διαπιστώνω ότι οι πιο δημοφιλείς  σπαζοκεφαλιές είναι οι σπαζοκεφαλιές λογικής.Ίσως,γιατί δεν προϋποθέτουν  μαθηματικό υπόβαθρο και μπορεί οποιοσδήποτε να ασχοληθεί μαζί τους.Σπαζοκεφαλιές που εμπλέκουν ανθρώπους που λένε πάντα ψέματα (ψεύτες)και ανθρώπους που λένε πάντα την αλήθεια (ειλικρινείς).Στην παρούσα ανάρτηση θα αποκαλύψουμε  λίγη από την μαγεία αυτών των προβλημάτων  κάνοντας λόγο για το τέχνασμα της διπλής άρνησης . Ας δούμε δυο πολύ γνωστά προβλήματα λογικής και πως εμπλέκεται στο πρώτο η διπλή άρνηση.

Απλά μαθήματα Ευρετικής.Μέρος Τρίτο (Αναζητώντας μοτίβο)

 Σε παλαιότερη ανάρτηση  αναφέρθηκα σε ακολουθίες αριθμών που ζητείται να βρεθεί ο επόμενος όρος.Τέτοιου είδους προβλήματα εκφράζουν απόλυτα  μια μέθοδο επίλυσης  προβλημάτων η οποία ονομάζεται «αναγνώριση μοτίβων»(pattern recognition ).   Αναζήτηση κανονικοτήτων σε μια σειρά αριθμών  σημαίνει  πρακτικά ότι ψάχνουμε τον κανόνα που «κρατά» τους αριθμούς  «δεμένους» , το σχέδιο που ακολουθούν , για να  κατορθώσουμε να εντοπίσουμε τον επόμενο. Ας δούμε αναλυτικά  ένα παράδειγμα:

  Δίνεται το παρακάτω τρίγωνο από φυσικούς αριθμούς:

                                                        1

                                             2          3         4

                                  5           6           7         8         9

                         10    11      12   14    13      14        15       16

                  17       18        19      20     21     22         23      24    25

        26    27     28   29   30  ……….

Να βρεθεί σε ποια γραμμή  βρίσκεται ο αριθμός 2011;

Μαθήματα Ευρετικής..για αρχάριους.Μέρος δεύτερο.Κοιτώντας με άλλο μάτι!!

               

 ..Τους ζήτησε να πάρουν τον κόκκινο μαρκαδόρο και να γράψουν στο πίνακα  μπλε,η τάξη στην αρχή ήταν αμήχανη,πως στην ευχή,μπορείς με ένα κόκκινο μαρκαδόρο να γράψεις μπλε;;Πήρε τον μαρκαδόρο και έγραψε στον πίνακα  «μπλε»...

                                                                                       Αλι Νταρ Νασάθ, "Η σχολική τάξη"                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

  Πιστός στην άποψη ότι, αυτό που μετράει είναι το ταξίδι και όχι ο προορισμός  ανέκαθεν με ενδιέφερε η διαδικασία επίλυσης ενός μαθηματικού προβλήματος.Η ανάλυση βήμα- βήμα της λύσης μιας άσκησης ή ενός προβλήματος βοήθα τους μαθητές να «χαρτογραφούν»  την πορεία για την λύση αλλά παράλληλα και να αποσαφηνίσουν  την θεωρία.Οι περισσότεροι μαθητές για την επίλυση ασκήσεων ή προβλημάτων βασίζονται σε παλιότερα ανάλογα προβλήματα με αυτά που τους τίθενται ,μέθοδος εξαιρετικά χρήσιμη αλλά πολλές φορές ανεπαρκής.H κατηγοριοποίηση μεθοδολογιών   αποτελεί μοναδικό εργαλείο για την επίλυση ασκήσεων αλλά όσο αφορά τα μαθηματικά προβλήματα είναι τροχοπέδη. Ουσιαστικά πρόκειται για μονοδρόμηση της μαθηματικής σκέψης, κατάσταση όμως  που στερεί από τον μαθητή , την δυνατότητα αναπτύσσοντας πρωτοβουλίες να αντιμετωπίζει επιτυχώς μαθηματικές καταστάσεις που βλέπει για πρώτη φορά. Στην παρούσα ανάρτηση θα δούμε πως κάποιες φορές για τον επιτυχή χειρισμό ενός μαθηματικού προβλήματος αρκεί να υιοθετήσουμε  μια νέα οπτική.

Ευρετική...για αρχάριους

 -"Τώρα αυτό πως λύνεται;"

  Η πιο συνηθισμένη  ερώτηση μαθητή σε σχολική τάξη.  Όλοι οι καθηγητές  μαθηματικών μπορούν να σας  βεβαιώσουν την αμηχανία των μαθητών όταν  τους τεθεί ένα μαθηματικό  πρόβλημα. Η πλειοψηφία των μαθητών αδυνατεί όχι μόνο να τα λύσει αλλά ακόμα και να κατανοήσει ποια είναι τα δεδομένα και τα ζητούμενα.