Η οδύσσεια ενός μυρμηγκιού και ο George Polya

    Αν υποθέσουμε ότι έχουμε ένα μυρμήγκι μέσα σε ένα στριφτό σωλήνα.Το μυρμήγκι κάνει ένα τυχαίο άπειρο περίπατο,περπατώντας επ’ αόριστον,κινούμενο τυχαία ένα βήμα μπροστά ή ένα βήμα πίσω  στον σωλήνα.Θεωρούμε ότι ο σωλήνας είναι απείρως μακρύς.Ποια είναι η πιθανότητα ο τυχαίος περίπατος να φέρει το μυρμήγκι τελικά πίσω στο σημείο εκκίνησης;

  Το 1921,ο Ούγγρος μαθηματικός George Polya (*) απέδειξε ότι η πιθανότητα είναι ένα.Είναι βέβαιο ότι το μυρμύγκι θα επιστρέψει στην αφετηρία.Αν το μυρμήγκι τοποθετούνταν στην αρχή ενός δισδιάστατου σύμπαντος (επίπεδο) και στην συνέχεια το μυρμήγκι έκανε ένα άπειρο τυχαίο περίπατο κάνοντας ένα τυχαίο βήμα βόρεια,νότια, δυτικά ή ανατολικά,η πιθανότητα ο τυχαίος περίπατος να φέρει τελικά το μυρμήγκι πίσω στην αφετηρία του  είναι επίσης ένα.

   Ο Polya έδειξε επίσης, ότι  ο τρισδιάστατος κόσμος μας αλλάζει το σκηνικό στο πρόβλημα.Ο τρισδιάστατος χώρος είναι ο πρώτος ευκλείδειος χώρος  στον οποίο είναι πιθανόν το μυρμήγκι να χαθεί τελείως.Το μυρμήγκι  κάνοντας έναν άπειρο περίπατο σε ένα τρισδιάστατο συμπάν,θα επιστρέψει τελικά στο σημείο εκκίνησης  με πιθανότητα 17/50.Σε μεγαλύτερες διαστάσεις η πιθανότητα να επιστρέψει είναι ακόμα πιο μικρή,περίπου 1/(2ν) για μεγάλες διαστάσεις ν.Αυτή η 1/(2ν)  πιθανότητα είναι η ίδια με την  πιθανότητα  το μυρμήγκι  να επιστρέψει στην αφετηρία με το δεύτερο του  βήμα.Αν το μυρμήγκι δεν επιστρέψει στην αφετηρία με τα πρώτα του βήματα,τότε μάλλον θα χαθεί στο χώρο για..πάντα. 

 (*) Ο  Ούγγρος G.Polya υπηρξε καθηγητής μαθηματικών στο πανεπιστήμιο του Στανφορντ. Πολυσχιδής και ενδιαφέρουσα προσωπικότητα.Νέος ξεκίνησε πανεπιστημιακές σπουδές στα νομικά,αλλά σύντομα στράφηκε στις γλώσσες και στην φιλολογία.Στην συνέχεια προκειμένου να κατανοήσει  την φιλοσοφία,αποφάσισε να σπουδάσει μαθηματικά. Έκανε το διδακτορικό του  στο πανεπιστήμιο της Βουδαπέστης.Δημοσίευσε εργασίες στην θεωρία αριθμών,την γεωμετρία,την ανάλυση,τις πιθανότητες,την συνδυαστική.Εξαιτίας της πολιτικής κατάστασης στην Ευρώπη μετανάστευσε στην Αμερική και κατέληξε στον Στάνφορντ.Πάνω και πέρα από όλα όμως ήταν δάσκαλος των μαθηματικών.Οι μαθηματικοί και όσοι διδάσκουν μαθηματικά  τον γνωρίζουν από το διαμάντι ευρετικης που έγραψε το 1945  με τίτλο Πώς να το λύσω.Το συγκεκριμένο βιβλίο μεταφράστηκε σε δεκαεπτά  γλώσσες και πούλησε πάνω από ένα  εκατομμύριο αντίτυπα.Αν δεν το έχετε και ενδιαφέρεστε για τα μαθηματικά ή την διδασκαλία τους πρέπει να το αποκτήσετε ….

 http://www.math.ucsd.edu/~jinovak/d.papers/amer.math.monthly.121.08.711.pdf