.png)
«Βλέπουμε ότι η θεωρία των πιθανοτήτων είναι κατά βάθος η κοινή λογική που έχει αναχθεί σε αριθμητικούς υπολογισμούς· μας βοηθάει να εκτιμήσουμε με ακρίβεια αυτά που ένας κοινός νους αισθάνεται ενστικτωδώς,χωρίς συχνά να μπορεί να αιτιολογήσει.{…}Είναι αξιοσημείωτο ότι αυτή η επιστήμη, που γεννήθηκε από τη μελέτη των τυχερών παιχνιδιών, θα γίνει ενδεχομένως το πιο σημαντικό πεδίο της ανθρώπινης γνώσης. {…}Τα σημαντικότερα ερωτήματα της ζωής είναι ουσιαστικά, σε μεγάλο βαθμό, προβλήματα πιθανοτήτων.»
Pierre-Simon Laplace
¨Ενα γνωστό γεωμετρικό παράδοξο πιθανοτήτων.
Το 1889, ο Γάλλος μαθηματικός Ζοζέφ Λουι Μπερτράν (http://mathhmagic.blogspot.com/2017/03/bertrand.html) δημοσίευσε μια συλλογή από γεωμετρικά παράδοξα. Στέκομαι στο παράδοξο της χορδής:
«Εγγράφουμε
ισόπλευρο τρίγωνο σε έναν κύκλο.Κατόπιν φέρουμε μια τυχαία χορδή αυτού του
κύκλου.Ποια είναι η πιθανότητα η χορδή αυτή να έχει μήκος μεγαλύτερο από την
πλευρά του τριγώνου.»
Ο Μπερτράν έδωσε τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις
για τη δημιουργία της τυχαίας χορδής και βρήκε τρία διαφορετικά αποτελέσματα
για τη ζητούμενη πιθανότητα.
Προσέγγιση 1
Επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο πάνω
στην περιφέρεια του κύκλου και περιστρέφουμε
το τρίγωνο ώστε η μία κορυφή του να ταυτιστεί με το σημείο αυτό. Επιλέγουμε στην συνέχεια ένα δεύτερο τυχαίο
σημείο πάνω στην περιφέρεια του κύκλου.Ενώνουμε αυτά τα δύο σημεία και
λαμβάνουμε μια τυχαία χορδή του κύκλου.Όλα εξαρτώνται από την θέση του δευτέρου σημείου της χορδής .Αν το δεύτερο
σημείο της χορδής βρίσκεται πάνω στο τόξο ανάμεσα στις άλλες δύο κορυφές του
τριγώνου, τότε η χορδή που φέραμε είναι μεγαλύτερη από την πλευρά του τριγώνου.
Σε αντίθετη περίπτωση ,είναι μικρότερη από την πλευρά του τριγώνου. Γνωρίζουμε
ότι οι τρεις κορυφές του ισόπλευρου τριγώνου χωρίζουν την περιφέρεια του κύκλου
σε τρία ίσα τόξα.
Συνεπώς, η πιθανότητα να είναι η χορδή μεγαλύτερη από την
πλευρά του τριγώνου είναι 1/3.
Οι χορδές ΑΒ,ΑΓ είναι
μεγαλύτερες της πλευράς και οι διακεκομμένες χορδές ΑΔ, ΑΓ μικρότερες
Προσέγγιση 2
Φέρνουμε μία ακτίνα του κύκλου
κάθετη σε μία από τις πλευρές του. Επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο πάνω στην ακτίνα και φέρνουμε
τη χορδή του κύκλου που περνάει από το σημείο αυτό και είναι κάθετη στην
ακτίνα.Η χορδή είναι μεγαλύτερη της πλευράς του τριγώνου αν βρίσκεται πλησιέστερα στο
κέντρο του κύκλου απ’ ότι η πλευρά. Η πλευρά του τριγώνου τέμνει την ακτίνα του
κύκλου ακριβώς στο μέσο της. Συνεπώς το τυχαίο σημείο που πήραμε πάνω στην
ακτίνα είναι το ίδιο πιθανό να βρίσκεται προς το κέντρο του κύκλου ή προς την
περιφέρειά του και έτσι η πιθανότητα να είναι η χορδή μεγαλύτερη από την πλευρά
του τριγώνου είναι 1/2.
Οι χορδές ΑΒ,ΓΔ είναι μεγαλύτερες
της πλευράς και οι χορδές ΕΖ,ΗΘ μικρότερες
Προσέγγιση 3
Επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του κύκλου.Φέρνουμε τη χορδή του κύκλου που έχει το
σημείο αυτό σαν μέσο της (υπάρχει μόνο μία τέτοια χορδή, εκτός και αν το σημείο
ταυτίζεται με το κέντρο του κύκλου).Σχεδιάζουμε έναν ομόκεντρο κύκλο με τον
αρχικό και τη μισή του ακτίνα.
Η χορδή είναι μεγαλύτερη της πλευράς του τριγώνου αν το τυχαίο σημείο που πήραμε βρίσκεται στο εσωτερικό του μικρότερου κύκλου.Το εμβαδόν του μικρότερου κύκλου ισούται με το ένα τέταρτο του εμβαδού του μεγαλύτερου κύκλου όποτε η πιθανότητα να είναι η χορδή μεγαλύτερη από την πλευρά του τριγώνου είναι 1/4.
Η χορδή είναι μεγαλύτερη της πλευράς του τριγώνου αν το τυχαίο σημείο που πήραμε βρίσκεται στο εσωτερικό του μικρότερου κύκλου.Το εμβαδόν του μικρότερου κύκλου ισούται με το ένα τέταρτο του εμβαδού του μεγαλύτερου κύκλου όποτε η πιθανότητα να είναι η χορδή μεγαλύτερη από την πλευρά του τριγώνου είναι 1/4.
Οι χορδές ΗΘ,ΕΖ είναι
μεγαλύτερες της πλευράς και οι ΔΓ,ΑΒ χορδές μικρότερες.
 |
| Joseph Louis François Bertrand (11822 –1900) |
Κάτι συμβαίνει εδώ. Ο Μπερτράν μας παρουσιάζει μια πληθώρα λύσεων. Το αστείο
είναι ότι κάθε απάντηση είναι αποδέκτη αυτοτελώς, τόσο ως προς την συλλογιστική
όσο και ως προς το συμπέρασμα.Ο ίδιος σημειώνει:«Από τις τρεις αυτές απαντήσεις,ποια είναι η ορθή; Καμία από τις τρεις
δεν είναι ανακριβής,καμία δεν είναι σωστή, η ερώτηση έχει τεθεί εσφαλμένα .»
Πραγματικά όταν
λέμε "τυχαία χορδή" τι εννοούμε; Στις προϋποθέσεις του προβλήματος
δεν καθορίζεται με ποιο τρόπο θα γίνει η επιλογή, δεν υπάρχει προφανής λόγος να
κρατήσουμε την μία μέθοδο και να αγνοήσουμε
τις άλλες. Έχει την σημασία του, να αναφέρω ότι ο Poincare αποφάνθηκε ότι απουσία περαιτέρω καθορισμών πρέπει να επιλέξουμε την δεύτερη προσέγγιση στην οποία οι περιοχές που μπορούν να χαραχθούν οι χορδές είναι δυο ,και έτσι οι πιθανότητες είναι ίσα μοιρασμένες.Υπήρξαν και οι οπαδοί του πειράματος, ο φυσικός E.t Janes με ένα συνάδερφο
του διεξήγαγαν ένα πείραμα . Σχεδίασαν ένα
κύκλο στο πάτωμα με διάμετρο 12 εκατοστά και
άρχισαν να ρίχνουν εντός του σκουπόχορτα.Το πείραμα «έδειξε» ως απάντηση 1/2 .( https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF00709116).Περαιτέρω σύνδεσμοι:
8.http://demonstrations.wolfram.com/RandomChordParadox/
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου