Ιδιαιτερότητες του απείρου

 

Ιδιαιτερότητες του απείρου

  Ο Μάγος Κέρλιν διαθέτει άπειρα χρυσά κέρματα έχει στον κήπο του μια λίμνη, όπου ζει μια γοργόνα. Για διασκέδαση, παίζει μαζί της ένα αλλόκοτο παιχνίδι με χρυσά νομίσματα. Κάθε λεπτό ο μάγος ρίχνει στη λίμνη δύο νομίσματα· μισό λεπτό αργότερα, η γοργόνα τού επιστρέφει ένα. Το παιχνίδι συνεχίζεται αδιάκοπα, χωρίς τέλος. Για να μπορούμε να παρακολουθούμε τι συμβαίνει, αριθμούμε όλα τα νομίσματα: 1, 2, 3, 4, 5, …

Το ερώτημα είναι απλό μόνο φαινομενικά: όταν περάσει άπειρος χρόνος, ποιος θα έχει τελικά τα χρήματα;

Απάντηση 1

Ο μάγος δίνει στη γοργόνα τα νομίσματα 1 και 2· εκείνη του επιστρέφει το 1.

Στη συνέχεια, της δίνει τα 3 και 4· εκείνη του επιστρέφει το 2.

Έπειτα, τα 5 και 6· εκείνη επιστρέφει το 3.

Και έτσι συνεχίζεται επ’ άπειρον.

Συμπέρασμα: κάθε νόμισμα, αργά ή γρήγορα, επιστρέφει στον μάγο. Στο τέλος, εκείνος έχει όλα τα νομίσματα και η γοργόνα κανένα.

Απάντηση 2

Ο μάγος ρίχνει τα νομίσματα 1 και 2· η γοργόνα επιστρέφει το 2 και κρατά το 1.

Την επόμενη φορά, ρίχνει το 2 και το 3· εκείνη επιστρέφει το 3 και κρατά το 2.

Μετά, ρίχνει το 3 και το 4· εκείνη επιστρέφει το 4 και κρατά το 3.

Και ούτω καθεξής.

Συμπέρασμα: κάθε νόμισμα καταλήγει τελικά στη γοργόνα. Ο μάγος μένει με άδεια χέρια.

Απάντηση 3

Ο μάγος ρίχνει τα 1 και 2· η γοργόνα κρατά το 1 και επιστρέφει το 2.

Την επόμενη φορά, ρίχνει τα 3 και 4· η γοργόνα κρατά το 3 και επιστρέφει το 4.

Η διαδικασία συνεχίζεται με τον ίδιο ρυθμό.

Συμπέρασμα: η γοργόνα μαζεύει όλα τα περιττά νομίσματα, ενώ ο μάγος κρατά όλα τα άρτια. Και οι δύο είναι εξίσου πλούσιοι.

  Το παράδοξο δεν βρίσκεται στο παιχνίδι, αλλά στο άπειρο. Στον πεπερασμένο κόσμο, η αφαίρεση και η πρόσθεση υπακούουν στη συνηθισμένη αριθμητική λογική. Στον άπειρο κόσμο, όμως, η «τελική κατάσταση» εξαρτάται από τον τρόπο με τον οποίο εξελίσσεται η διαδικασία. Διαφορετικές ακολουθίες ενεργειών μπορούν να οδηγήσουν σε εντελώς διαφορετικά αποτελέσματα, χωρίς καμία αντίφαση.

Με άλλα λόγια, το άπειρο δεν παίζει με τους κανόνες της καθημερινής αριθμητικής· και γι’ αυτό τέτοιες ιστορίες μάς φαίνονται τόσο παράξενες όσο και γοητευτικές.

Το παράδοξο του Littlewood

Ο Βρετανός μαθηματικός J. E. Littlewood το ανέφερε στο βιβλίο του A Mathematician’s Miscellany (1953), το οποίο είναι διαθέσιμο διαδικτυακά. 

Στη σελίδα 5 του βιβλίου διαβάζουμε το ακόλουθο πείραμα σκέψης:

Έχουμε μπάλες αριθμημένες 1, 2, 3, … ( τους ίδιους τους φυσικούς αριθμούς) και ένα κουτί.

• Ένα λεπτό πριν από το μεσημέρι, βάζουμε στο κουτί τις μπάλες 1 έως 10 και αφαιρούμε την μπάλα 1.

• Στο επόμενο λεπτό, βάζουμε τις μπάλες 11 έως 20 και αφαιρούμε την μπάλα 2.

• Στο επόμενο, βάζουμε τις 21 έως 30 και αφαιρούμε την μπάλα 3.

• Και συνεχίζουμε έτσι επ’ άπειρον.

Το ερώτημα είναι: πόσες μπάλες υπάρχουν στο κουτί ακριβώς το μεσημέρι;

Η απάντηση του Littlewood είναι εντυπωσιακή: καμία.

Όποιον αριθμό κι αν διαλέξουμε —π.χ. το 100— αυτός έχει αφαιρεθεί στην 100ή πράξη. Άρα, κανένας συγκεκριμένος αριθμός δεν βρίσκεται μέσα στο κουτί.

Το παιχνίδι του μάγου με τη γοργόνα και το παράδοξο με τις μπάλες του Βρετανού μαθηματικού J. E. Littlewood είναι, στην ουσία, δύο διαφορετικές αφηγήσεις του ίδιου βαθύτερου φαινομένου: της παράξενης συμπεριφοράς του απείρου όταν το χειριζόμαστε ως διαδικασία που εξελίσσεται στον χρόνο.