Ανάμεσα στο n και στο 2n: Το Μαθηματικό Σύμπαν του Μπερτράν

 #Σανσημερα

Σαν σήμερα, γεννήθηκε ο Γαλλος μαθηματικος Joseph Louis François Bertrand.

 Ο Joseph Louis François Bertrand (11 Μαρτίου 1822 – 5 Απριλίου 1900) υπήρξε μία από τις πιο λαμπρές μορφές της γαλλικής μαθηματικής παράδοσης του 19ου αιώνα. Μαθηματικός μεγάλης κομψότητας, δάσκαλος με βαθιά επιρροή και συγγραφέας πολυάριθμων επιστημονικών έργων, διακρίθηκε κυρίως για τις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων στην αναλυτική μηχανική και ιδιαίτερα στη θερμοδυναμική, καθώς και για τη συμβολή του στη θεωρία πιθανοτήτων, στη στατιστική και στη μελέτη των καμπυλών και επιφανειών.

 Η ιδιοφυΐα του φάνηκε από πολύ νωρίς. Σε ηλικία μόλις έντεκα ετών άρχισε να παρακολουθεί μαθήματα στην περίφημη École Polytechnique, όπου δίδασκε μαθηματικά ο θείος του, ο διακεκριμένος καθηγητής Jean-Marie Duhamel. Το γεγονός ότι ένας τόσο νεαρός μαθητής βρισκόταν σε ένα από τα πιο απαιτητικά ανώτατα ιδρύματα της Γαλλίας προκάλεσε εντύπωση στους συγχρόνους του. Ακόμη πιο αξιοσημείωτο ήταν ότι σε ηλικία μόλις δεκαεπτά ετών έλαβε ήδη διδακτορικό στις επιστήμες, καθιστάμενος ένας από τους νεότερους διδάκτορες της εποχής.

  Το επιστημονικό του έργο υπήρξε εξαιρετικά πλούσιο. Το 1855 μετέφρασε στα γαλλικά το σημαντικό έργο του μεγάλου Γερμανού μαθηματικού Carl Friedrich Gauss σχετικά με τη θεωρία των σφαλμάτων και τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, συμβάλλοντας έτσι στη διάδοση αυτών των θεμελιωδών ιδεών στη γαλλική επιστημονική κοινότητα. Παράλληλα συνέγραψε πολλές πραγματείες για τη μείωση και επεξεργασία δεδομένων από παρατηρήσεις, συμβάλλοντας στη διαμόρφωση των μαθηματικών εργαλείων της στατιστικής.

Ιδιαίτερα γνωστός έγινε για μια εντυπωσιακή εικασία που διατύπωσε το 1845 σχετικά με τους πρώτους αριθμούς. 

Ο Μπερτράν πρότεινε ότι για κάθε ακέραιο αριθμό  n>3 υπάρχει πάντοτε τουλάχιστον ένας πρώτος αριθμός ανάμεσα στο n και στο  2n. Η εικασία αυτή αποδείχθηκε λίγα χρόνια αργότερα από τον Ρώσο μαθηματικό Pafnuty Chebyshev και έμεινε γνωστή ως αξίωμα (ή υπόθεση) του Μπερτράν. Η φήμη της ήταν τέτοια ώστε συνοψίστηκε ακόμη και σε ένα χαριτωμένο μαθηματικό δίστιχο

"Σου το ’πα μια φορά και θα στο πω ξανά,

πάντοτε υπάρχει ένας πρώτος ανάμεσα στο n και στο 2n.'

Στον χώρο της συνδυαστικής και της θεωρίας πιθανοτήτων, ο Μπερτράν διατύπωσε το περίφημο πρόβλημα της κάλπης. Το ερώτημα είναι απλό αλλά βαθύ: σε μια εκλογή όπου ο υποψήφιος Α λαμβάνει  p ψήφους και ο υποψήφιος Β λαμβάνει  q ψήφους με 

p>q, ποια είναι η πιθανότητα ο Α να προηγείται συνεχώς του Β σε όλη τη διάρκεια της καταμέτρησης; Ο ίδιος έδωσε την κομψή λύση το 1887 στα Πρακτικά της Académie des Sciences (Comptes Rendus), δείχνοντας ότι η πιθανότητα είναι

                       (p+q)/(p−q)

Η απλότητα αυτού του αποτελέσματος αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα της μαθηματικής κομψότητας που διέκρινε το έργο του.

Ο Μπερτράν έγινε επίσης γνωστός για ένα παράδοξο στη θεωρία πιθανοτήτων — το λεγόμενο παράδοξο του Μπερτράν — το οποίο έδειξε ότι διαφορετικοί τρόποι επιλογής μιας «τυχαίας» χορδής σε έναν κύκλο οδηγούν σε διαφορετικές πιθανότητες.(1ο σχόλιο) Το παράδειγμα αυτό προκάλεσε έντονες συζητήσεις σχετικά με την ίδια την έννοια του «τυχαίου» στα μαθηματικά.

Καθ’ όλη τη διάρκεια της ζωής του κατείχε εξέχουσες ακαδημαϊκές θέσεις και άσκησε σημαντική επιρροή στη γαλλική επιστημονική κοινότητα. Η διδασκαλία του ήταν διάσημη για τη σαφήνεια και την κομψότητά της, ενώ οι αποδείξεις του χαρακτηρίζονταν από απλότητα και βαθιά διορατικότητα.

 Έτσι, ο Ζοζέφ-Λουί-Φρανσουά Μπερτράν έμεινε στην ιστορία όχι μόνο ως ένας σημαντικός μαθηματικός του 19ου αιώνα, αλλά και ως ένας δάσκαλος που κατόρθωσε να αποκαλύψει την ομορφιά και την αρμονία των μαθηματικών μέσα από καθαρές ιδέες και κομψά αποτελέσματα.