Το 1979, ο Walter Trump, ένας καθηγητής μαθηματικών σε λύκειο, ανακάλυψε την πιο «σφιχτή» γνωστή διάταξη τοποθέτησης 11 ίσων τετραγώνων μέσα σε ένα μεγαλύτερο τετράγωνο.
Το εξωτερικό τετράγωνο πρέπει να έχει μήκος πλευράς περίπου L ≈ 3,877084. Ακόμη και σε αυτή τη βέλτιστη διάταξη, μόνο περίπου 73% της επιφάνειας του μεγάλου τετραγώνου καλύπτεται από τα μικρά τετράγωνα.
Τι σημαίνουν τα παραπανω;
Φαντάσου ότι έχεις 11 μικρά τετράγωνα ίδια μεταξύ τους και θέλεις να τα βάλεις μέσα σε ένα μεγαλύτερο τετράγωνο χωρίς να επικαλύπτονται. Ο στόχος είναι να είναι το μεγάλο τετράγωνο όσο γίνεται μικρότερο, ενώ χωράει και τα 11.
Αυτό είναι ένα πρόβλημα γεωμετρικής συσκευασίας (packing problem). Παρόμοια προβλήματα υπάρχουν παντού:
-πώς να βάλεις κουτιά σε μια αποθήκη
-πώς να βάλεις αντικείμενα σε μια βαλίτσα
-πώς να τοποθετηθούν κύτταρα ή μόρια στον χώρο
Στην περίπτωση των 11 τετραγώνων, το ενδιαφέρον είναι ότι:
Δεν γίνεται να γεμίσει ολόκληρος ο χώρος.
Ακόμα και στην καλύτερη δυνατή διάταξη, μένουν κενά.
Συγκεκριμένα:
Τα 11 μικρά τετράγωνα καλύπτουν μόνο περίπου 73% του μεγάλου τετραγώνου.
Το υπόλοιπο 27% είναι αναγκαστικά κενός χώρος.
Ο λόγος είναι ότι τα τετράγωνα δεν μπορούν να περιστραφούν και να κουμπώσουν τέλεια μεταξύ τους μέσα σε ένα τετράγωνο πλαίσιο όταν είναι τόσα πολλά.
Γι’ αυτό χρειάζονται έξυπνες γωνίες και μικρές περιστροφές για να χωρέσουν όσο γίνεται πιο «σφιχτά».
Αυτό το πρόβλημα είναι μέρος ενός μεγάλου κλάδου των μαθηματικών που λέγεται γεωμετρία συσκευασίας (packing problems), και πολλά παρόμοια προβλήματα παραμένουν άλυτα μέχρι σήμερα.
Erich Friedman – Packing Unit Squares in Squares: A Survey and New Results (Electronic Journal of Combinatorics)
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου