Πώς γίνεται ένας αριθμός που σήμερα μαθαίνουμε στο Γυμνάσιο να έχει προκαλέσει επί αιώνες φιλοσοφικές διαμάχες, μαθηματικά αδιέξοδα και οργισμένες αντιδράσεις;
Το 2007, στη Μεγάλη Βρετανία, ένα ολόκληρο λαχείο αποσύρθηκε από την κυκλοφορία. Όχι επειδή υπήρξε κάποια απάτη, ούτε επειδή μοιράστηκαν περισσότερα χρήματα απ’ όσα έπρεπε. Ο λόγος ήταν πολύ πιο παράξενος: αρκετοί παίκτες δεν μπορούσαν να καταλάβουν ότι το −8 είναι μικρότερο από το −6!
Το ξυστό λεγόταν Cool Cash και είχε ως θέμα τις θερμοκρασίες κάτω από το μηδέν. Οι παίκτες έπρεπε να εντοπίσουν αριθμούς μικρότερους από μια δεδομένη θερμοκρασία. Όταν όμως κάποια παίκτρια είδε το −6 και το −7 ενώ έπρεπε να βρει αριθμούς μικρότερους από το −8, πίστεψε πως είχε κερδίσει.
Στο μυαλό της, το 6 και το 7 ήταν μικρότερα από το 8. Το μικρό σημαδάκι «−» μπροστά τους δεν φαινόταν να αλλάζει τίποτα!
Η εταιρεία Camelot δέχτηκε δεκάδες παράπονα και τελικά απέσυρε το παιχνίδι.
Χρειάστηκε, δηλαδή, να φτάσουμε στον 21ο αιώνα για να ανακαλύψουμε ότι οι αρνητικοί αριθμοί εξακολουθούν να προκαλούν σύγχυση.
Και, αν ρίξουμε μια ματιά στην ιστορία τους, ίσως πάψουμε να απορούμε.
Πώς μπορείς να έχεις λιγότερο από το τίποτα;
Φανταστείτε έναν έμπορο στην αρχαία Αθήνα. Έχει δύο καρβέλια ψωμί και πουλάει το ένα. Του μένει ένα. Τίποτα το μυστηριώδες.
Αν πουλήσει και το δεύτερο, του μένουν μηδέν καρβέλια.
Αλλά τι θα συμβεί αν κάποιος του ζητήσει να πουλήσει τρία, ενώ διαθέτει μόνο δύο;
Σήμερα θα γράφαμε χωρίς δεύτερη σκέψη:
2 − 3 = −1
Για έναν μαθηματικό της αρχαιότητας, όμως, αυτό το αποτέλεσμα θα μπορούσε να φαίνεται παράλογο.
Τι είναι, τέλος πάντων, το «μείον ένα καρβέλι»; Μπορείς να το κρατήσεις; Να το ζυγίσεις; Να το τοποθετήσεις στο τραπέζι;
Για μεγάλο μέρος της αρχαίας ελληνικής μαθηματικής παράδοσης, οι αριθμοί ήταν δεμένοι με την έννοια της ποσότητας και του μεγέθους. Το μηδέν αποτελούσε ένα φυσικό όριο: μπορούσες να έχεις κάτι ή τίποτα, αλλά πώς μπορούσες να έχεις λιγότερο από το τίποτα;
Αυτός ο τρόπος σκέψης έκανε την αποδοχή των αρνητικών αριθμών εξαιρετικά δύσκολη.
Κι όμως, χιλιάδες χιλιόμετρα μακριά, κάποιοι είχαν ήδη αρχίσει να σκέφτονται διαφορετικά.
Οι Κινέζοι που έβαψαν τους αριθμούς μαύρους
Στην αρχαία Κίνα, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν μικρές ράβδους υπολογισμού, τοποθετημένες πάνω σε ειδικές επιφάνειες.
Είχαν μάλιστα επινοήσει έναν ευφυέστατο τρόπο για να ξεχωρίζουν δύο κατηγορίες αριθμών: οι κόκκινες ράβδοι συμβόλιζαν τις θετικές ποσότητες και οι μαύρες τις αρνητικές.
Το εντυπωσιακό είναι ότι χρησιμοποιούσαν τις αρνητικές ποσότητες σε πραγματικούς υπολογισμούς, πολύ πριν καθιερωθούν στην ευρωπαϊκή μαθηματική σκέψη.
Μπορούσαν να χειριστούν κέρδη και ζημιές, να εκτελέσουν αφαιρέσεις και να επιλύσουν συστήματα εξισώσεων.
Για πρώτη φορά, το «λιγότερο από το μηδέν» δεν ήταν απλώς μια φιλοσοφική παραξενιά. Ήταν ένα χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο.
Δεν σήμαινε, βέβαια, ότι κάθε αρνητικό αποτέλεσμα γινόταν αποδεκτό ως απάντηση σε οποιοδήποτε πρακτικό πρόβλημα. Άλλο οι υπολογισμοί και άλλο η ερμηνεία τους.
Πάντως, οι Κινέζοι είχαν πετύχει κάτι σημαντικό: είχαν μάθει να υπολογίζουν με αριθμούς που δεν μπορούσες να μετρήσεις σαν καρβέλια στο τραπέζι.
Ο Ινδός που έκανε το χρέος μαθηματικά
Το επόμενο μεγάλο βήμα έγινε στην Ινδία.
Το 628 μ.Χ., ο σπουδαίος μαθηματικός και αστρονόμος Βραχμαγκούπτα (Brahmagupta) παρουσίασε στο έργο του Brāhmasphuṭasiddhānta κανόνες για το μηδέν και τους αρνητικούς αριθμούς.
Η ιδέα του ήταν απλούστατη και ιδιοφυής.
Γιατί να αναζητούμε αρνητικά καρβέλια, όταν υπάρχουν τα χρέη;
Αν έχεις 100 νομίσματα, η περιουσία σου είναι θετική. Αν χρωστάς 100 νομίσματα, η οικονομική σου κατάσταση μπορεί να εκφραστεί με έναν αρνητικό αριθμό.
Έτσι, ο Βραχμαγκούπτα μίλησε για «περιουσίες» και «χρέη».
Και διατύπωσε κανόνες που σήμερα διδάσκονται στα σχολεία:
Το άθροισμα δύο χρεών είναι χρέος.
Το άθροισμα δύο περιουσιών είναι περιουσία.
Μια περιουσία αφαιρούμενη από το μηδέν γίνεται χρέος.
Το γινόμενο δύο χρεών είναι περιουσία.
Ο τελευταίος κανόνας αντιστοιχεί στο γνώριμο:
(−) × (−) = (+)
Οι αρνητικοί αριθμοί είχαν πλέον αποκτήσει όχι μόνο πρακτική χρησιμότητα, αλλά και συστηματικούς κανόνες αριθμητικής.
Η Ευρώπη αντιστέκεται: «Αυτοί δεν είναι αριθμοί!»
Οι μαθηματικές γνώσεις της Ινδίας μεταδόθηκαν σταδιακά στον ισλαμικό κόσμο και από εκεί στην Ευρώπη.
Η διαδρομή, ωστόσο, δεν ήταν καθόλου ευθύγραμμη.
Οι Ευρωπαίοι μαθηματικοί μπορούσαν να χρησιμοποιούν αρνητικές ποσότητες σε υπολογισμούς, αλλά συχνά δυσκολεύονταν να τις αναγνωρίσουν ως κανονικούς αριθμούς ή ως αποδεκτές λύσεις εξισώσεων.
Η οικονομική ερμηνεία των χρεών δεν αρκούσε για να διαλύσει τις φιλοσοφικές αντιρρήσεις.
Ορισμένοι μαθηματικοί της Αναγέννησης αποκαλούσαν τις αρνητικές ποσότητες «άτοπες» ή «παράλογες», όχι με τη σημερινή τεχνική σημασία των άρρητων αριθμών, αλλά επειδή τους φαίνονταν ασυμβίβαστες με την ίδια την έννοια του αριθμού.
Το πρόβλημα ήταν βαθύτερο από μια απλή δυσκολία στους υπολογισμούς.
Οι μαθηματικοί έπρεπε να απαντήσουν σε ένα θεμελιώδες ερώτημα:
Πρέπει ένας αριθμός να αντιστοιχεί πάντοτε σε μια φυσική ποσότητα ή μπορεί να εκφράζει και κάτι πιο αφηρημένο;
Και τότε εμφανίστηκε ένα ακόμη παράδοξο.
Οι αριθμοί που ήταν... μεγαλύτεροι από το άπειρο!
Ας εξετάσουμε το κλάσμα:
10/x
Όσο μικραίνει ο θετικός παρονομαστής, τόσο μεγαλώνει το αποτέλεσμα:
10/2 = 5
10/1 = 10
10/0,1 = 100
10/0,01 = 1.000
Καθώς το x πλησιάζει το μηδέν από τη θετική πλευρά, το αποτέλεσμα μεγαλώνει χωρίς όριο.
Τι γίνεται όμως όταν το x περάσει στην αρνητική πλευρά;
Για παράδειγμα:
10/(−1) = −10
Αυτό, σήμερα, δεν προκαλεί κανένα πρόβλημα.
Παλαιότερα όμως, όταν η έννοια των αρνητικών αριθμών δεν είχε θεμελιωθεί ικανοποιητικά, η μετάβαση αυτή προκαλούσε μεγάλες δυσκολίες.
Ο Τζον Γουόλις (John Wallis) είχε οδηγηθεί στον παράδοξο συλλογισμό ότι ένας λόγος με αρνητικό παρονομαστή μπορούσε να θεωρηθεί μεγαλύτερος από το άπειρο. Ανάλογες δυσκολίες απασχόλησαν αργότερα και τον μεγάλο Λέοναρντ Όιλερ (Leonhard Euler).
Το πρόβλημα προέκυπτε από την προσπάθεια να συνεχιστεί η ίδια συλλογιστική πέρα από το μηδέν, σαν να μην άλλαζε τίποτα.
Σήμερα γνωρίζουμε τι συμβαίνει: καθώς το x πλησιάζει το μηδέν από τα θετικά, το 10/x τείνει στο +∞, ενώ από τα αρνητικά τείνει στο −∞. Στο ίδιο το μηδέν η διαίρεση δεν ορίζεται.
Κανένας αρνητικός αριθμός δεν είναι «μεγαλύτερος από το άπειρο».
Αλλά η ιστορία μάς θυμίζει κάτι διασκεδαστικό: ακόμη και μεγάλοι μαθηματικοί χρειάστηκε να παλέψουν με ιδέες που σήμερα θεωρούμε αυτονόητες.
Ο άνθρωπος που έβαλε το μηδέν στη μέση
Το 1685, ο Άγγλος μαθηματικός Τζον Γουόλις δημοσίευσε το έργο A Treatise of Algebra και αξιοποίησε μια ιδέα που αποδείχθηκε εξαιρετικά σημαντική για την κατανόηση των αρνητικών αριθμών: την αριθμογραμμή.
Φανταστείτε έναν άνθρωπο που στέκεται στο σημείο μηδέν.
Κάνει πέντε βήματα προς τα δεξιά. Βρίσκεται στο +5.
Στη συνέχεια κάνει οκτώ βήματα προς τα αριστερά.
Πού βρίσκεται;
Στο −3!
Δεν έχει «μείον τρία βήματα». Έχει μετακινηθεί τρία βήματα προς την αντίθετη κατεύθυνση από εκείνη που ορίσαμε ως θετική.
Ξαφνικά, οι αρνητικοί αριθμοί παύουν να είναι μυστηριώδεις ποσότητες μικρότερες από το τίποτα.
Γίνονται θέσεις, αποστάσεις με κατεύθυνση, μεταβολές.
Το μηδέν δεν είναι πλέον το τέλος του κόσμου των αριθμών. Είναι ένα σημείο αναφοράς!
Η αριθμογραμμή δεν έλυσε αυτομάτως όλες τις φιλοσοφικές αντιρρήσεις, αλλά πρόσφερε έναν από τους πιο κατανοητούς τρόπους ερμηνείας των αρνητικών ποσοτήτων.
Ο Καντ μπαίνει στη συζήτηση
Ακόμη και η φιλοσοφία είχε λόγο στην υπόθεση.
Το 1763, ο Ιμμάνουελ Καντ ασχολήθηκε με την έννοια των αρνητικών μεγεθών και τη διάκριση ανάμεσα στη λογική αντίφαση και την πραγματική αντίθεση.
Σκεφτείτε δύο ανθρώπους που σπρώχνουν ένα κιβώτιο με ίσες δυνάμεις προς αντίθετες κατευθύνσεις.
Το κιβώτιο παραμένει ακίνητο.
Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι οι δυνάμεις δεν υπάρχουν. Σημαίνει ότι αλληλοαναιρούνται ως προς το αποτέλεσμά τους.
Με αυτή τη συλλογιστική, ένα αρνητικό μέγεθος δεν χρειάζεται να σημαίνει την απουσία μιας πραγματικότητας. Μπορεί να εκφράζει μια πραγματική ποσότητα με αντίθετη κατεύθυνση ή δράση.
Ήταν μια φιλοσοφική ιδέα που ταίριαζε θαυμάσια με τη νέα μαθηματική αντίληψη.
1796: Ο μαθηματικός που είπε «ως εδώ!»
Θα περίμενε κανείς ότι, στα τέλη του 18ου αιώνα, η διαμάχη θα είχε τελειώσει.
Κι όμως!
Το 1796, ο Βρετανός μαθηματικός και κληρικός Γουίλιαμ Φρεντ (William Frend) δημοσίευσε το βιβλίο The Principles of Algebra, απορρίπτοντας την ίδια την έννοια των αρνητικών αριθμών.
Για τον Φρεντ, η ιδέα ενός αριθμού μικρότερου από το μηδέν ήταν απαράδεκτη. Το να αφαιρείς έναν μεγαλύτερο αριθμό από έναν μικρότερο ήταν, κατά τη γνώμη του, γελοίο.
Και τι έλεγε για τον κανόνα ότι το γινόμενο δύο αρνητικών είναι θετικό;
Τον αντιμετώπιζε ως μέρος μιας ακατανόητης μαθηματικής ορολογίας που προσέβαλλε την κοινή λογική!
Σκεφτείτε το λίγο.
Το 1796, σε μια εποχή που η μαθηματική επιστήμη είχε ήδη γνωρίσει τον Νεύτωνα και τον Λάιμπνιτς, εξακολουθούσαν να υπάρχουν μορφωμένοι άνθρωποι που θεωρούσαν το −2 μια μαθηματική ανοησία.
Η τελική νίκη του... μείον
Οι αρνητικοί αριθμοί δεν επικράτησαν επειδή κάποιος φιλόσοφος εκφώνησε έναν πειστικό λόγο υπέρ τους.
Επικράτησαν επειδή τα ίδια τα μαθηματικά τούς χρειάζονταν.
Πάρτε, για παράδειγμα, την εξίσωση:
x + 2 = 0
Αν επιτρέπουμε μόνο μη αρνητικούς αριθμούς, η εξίσωση δεν έχει λύση.
Αν όμως επεκτείνουμε το σύνολο των αριθμών, η απάντηση εμφανίζεται αμέσως:
x = −2
Και αυτή η επέκταση δεν είναι αυθαίρετη. Υπακούει σε συνεπείς κανόνες και μας επιτρέπει να πραγματοποιούμε αφαιρέσεις που διαφορετικά δεν θα είχαν αποτέλεσμα μέσα στο αρχικό σύνολο των φυσικών αριθμών.
Η σταδιακή αποδοχή των αρνητικών αριθμών συνδέθηκε έτσι με μια βαθύτερη μεταμόρφωση της μαθηματικής σκέψης: οι αριθμοί δεν χρειαζόταν πια να είναι απλώς μετρήσιμα αντικείμενα. Μπορούσαν να αποτελούν στοιχεία ενός αφηρημένου συστήματος.
Και κάπως έτσι, οι αριθμοί που κάποτε χαρακτηρίζονταν παράλογοι, αδύνατοι και ανύπαρκτοι κατέκτησαν μια μόνιμη θέση στα μαθηματικά.
Σήμερα τους συναντούμε παντού: στις θερμοκρασίες, στις οικονομικές συναλλαγές, στα υψόμετρα, στη φυσική, στους υπολογιστές.
Η ιστορία των αρνητικών αριθμών μάς διδάσκει κάτι πολύ περισσότερο από έναν κανόνα προσήμων. Μας δείχνει ότι η ανθρώπινη διαίσθηση δεν είναι πάντα αξιόπιστος κριτής της μαθηματικής αλήθειας.
Και ότι μερικές φορές, για να προχωρήσουν τα μαθηματικά, πρέπει πρώτα να τολμήσουμε να σκεφτούμε κάτι που φαίνεται αδύνατο.
Άλλωστε, ποιος θα το φανταζόταν;
Χρειάστηκαν αιώνες διαφωνιών για να δεχτούμε ότι υπάρχει κάτι μικρότερο από το μηδέν.
Και το 2007, ένα βρετανικό ξυστό απέδειξε ότι το μικρό σημάδι «−» εξακολουθεί να έχει τη δύναμη να προκαλεί μεγάλους μπελάδες!
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου