#ΜαθηΜαγικόΗμερολόγιο
Το 1904, ο Γερμανός μαθηματικός Ερνστ Τσέρμελο (Ernst Zermelo) διατύπωσε μια αρχή που έμελλε να εξελιχθεί σε μία από τις πιο πολυσυζητημένες παραδοχές των σύγχρονων Μαθηματικών: το αξίωμα της επιλογής (Axiom of Choice).
Με απλά λόγια, το αξίωμα δηλώνει ότι, αν έχουμε οποιαδήποτε συλλογή μη κενών συνόλων, μπορούμε να επιλέξουμε ένα στοιχείο από καθένα από αυτά, ακόμη κι αν απαιτούνται άπειρες επιλογές και δεν διαθέτουμε κάποιον συγκεκριμένο κανόνα που να μας υποδεικνύει πώς να τις πραγματοποιήσουμε.
Η φαινομενικά αθώα αυτή αρχή επιτρέπει την απόδειξη ιδιαίτερα ισχυρών μαθηματικών αποτελεσμάτων, όπως το θεώρημα της καλής διάταξης.
Ωστόσο, οδηγεί και σε εντυπωσιακά, σχεδόν αδιανόητα συμπεράσματα. Ένα από τα διασημότερα είναι το παράδοξο Μπάναχ–Τάρσκι (Banach–Tarski), σύμφωνα με το οποίο μια συμπαγής μαθηματική σφαίρα μπορεί να χωριστεί σε πεπερασμένο αριθμό εξαιρετικά περίπλοκων κομματιών, τα οποία, με κατάλληλες μετατοπίσεις και περιστροφές, μπορούν να ανασυντεθούν σε δύο σφαίρες, καθεμία με ακριβώς το ίδιο μέγεθος με την αρχική!
Αυτό, βέβαια, δεν σημαίνει ότι μπορούμε να πάρουμε μια πραγματική μπάλα, να την κόψουμε σε κομμάτια και να δημιουργήσουμε δύο πανομοιότυπες μπάλες. Τα μαθηματικά «κομμάτια» του παραδόξου είναι εξαιρετικά αφηρημένα σύνολα, που δεν αντιστοιχούν σε συνηθισμένα φυσικά αντικείμενα.
Και εδώ βρίσκεται η γοητεία του αξιώματος της επιλογής: μια αρχή που ακούγεται αυτονόητη μπορεί να οδηγήσει σε συμπεράσματα που μοιάζουν να αντιφάσκουν με την κοινή λογική.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου