Σαν σήμερα, 9 Οκτωβρίου 1926
Ένα ερημονήσι, πέντε ναυαγοί, ένας πονηρός πίθηκος και μερικές χιλιάδες καρύδες. Τι θα μπορούσε να πάει στραβά; Σχεδόν τα πάντα!
Σαν σήμερα, στις 9 Οκτωβρίου 1926, το αμερικανικό περιοδικό The Saturday Evening Post δημοσιεύει ένα διήγημα του συγγραφέα Ben Ames Williams, με τον αθώότατο τίτλο «Coconuts» («Καρύδες»).
Κανείς δεν φαντάζεται τι πρόκειται να ακολουθήσει.
Στην ιστορία, ένας πανέξυπνος υπάλληλος θέλει να εμποδίσει έναν ανταγωνιστή του εργοδότη του να διεκδικήσει ένα σημαντικό συμβόλαιο. Γνωρίζοντας την αδυναμία του αντιπάλου στα μαθηματικά προβλήματα, του παρουσιάζει έναν γρίφο τόσο βασανιστικό, ώστε εκείνος απορροφάται από την προσπάθεια να τον λύσει και ξεχνά να καταθέσει εγκαίρως την προσφορά του!
Το τέχνασμα πετυχαίνει και στην πραγματικότητα — μόνο που τα θύματα δεν είναι οι ήρωες της ιστορίας, αλλά οι αναγνώστες του περιοδικού.
Μέσα στην επόμενη εβδομάδα, τα γραφεία του Saturday Evening Post κατακλύζονται από περίπου 2.000 επιστολές αναγνωστών που απαιτούν να μάθουν τη λύση.
Ο αρχισυντάκτης George Horace Lorimer, απελπισμένος από την κατάσταση, στέλνει στον Williams ένα τηλεγράφημα που έμελλε να μείνει στην ιστορία:
«ΓΙΑ ΟΝΟΜΑ ΤΟΥ ΘΕΟΥ, ΠΟΣΕΣ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΚΑΡΥΔΕΣ; ΕΔΩ ΕΧΕΙ ΓΙΝΕΙ Η ΚΟΛΑΣΗ!»
Τι ήταν, όμως, αυτό το διαβολικό πρόβλημα;
Το πρόβλημα που τρέλανε την Αμερική
Πέντε άνδρες και ένας πίθηκος ναυαγούν σε ένα ερημονήσι. Την πρώτη ημέρα συγκεντρώνουν καρύδες, τις στοιβάζουν σε έναν μεγάλο σωρό και πέφτουν για ύπνο, συμφωνώντας να τις μοιράσουν το επόμενο πρωί.
Μέσα στη νύχτα, όμως, ο πρώτος ναυαγός ξυπνά.
«Καλύτερα να εξασφαλίσω από τώρα το μερίδιό μου», σκέφτεται.
Σηκώνεται κρυφά και χωρίζει τις καρύδες σε πέντε ίσα μέρη. Περισσεύει μία καρύδα, την οποία δίνει στον πίθηκο. Κρύβει το ένα πέμπτο για τον εαυτό του, ενώνει ξανά τις υπόλοιπες καρύδες και επιστρέφει για ύπνο.
Λίγο αργότερα ξυπνά ο δεύτερος ναυαγός.
Έχει ακριβώς την ίδια πονηρή ιδέα! Χωρίζει τις καρύδες που βρίσκει σε πέντε ίσα μέρη, δίνει τη μία που περισσεύει στον πίθηκο, κρύβει το μερίδιό του και ξανακοιμάται.
Το ίδιο κάνουν, διαδοχικά, και οι υπόλοιποι τρεις.
Έτσι, μέσα στη νύχτα, πέντε διαφορετικοί άνθρωποι πραγματοποιούν πέντε κρυφές μοιρασιές. Και κάθε φορά περισσεύει ακριβώς μία καρύδα, που καταλήγει στον ολοένα και πιο καλοταϊσμένο πίθηκο!
Το επόμενο πρωί οι πέντε ναυαγοί συγκεντρώνονται για την επίσημη μοιρασιά.
Παραδόξως, οι καρύδες που έχουν απομείνει **χωρίζονται ακριβώς σε πέντε ίσα μέρη, χωρίς να περισσέψει ούτε μία!**
Όλοι αντιλαμβάνονται ότι κάτι δεν πάει καλά. Κανείς, όμως, δεν διαμαρτύρεται. Όποιος ανοίξει το στόμα του κινδυνεύει να αποκαλύψει τη δική του ζαβολιά!
Το ερώτημα: Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός καρύδων που είχαν συγκεντρώσει αρχικά;
Ο φυσικός που σκέφτηκε... αρνητικές καρύδες!
Το πρόβλημα απέκτησε τέτοια φήμη, ώστε απασχόλησε μαθηματικούς και ερασιτέχνες λύτες επί δεκαετίες.
Το 1958, ο σπουδαίος εκλαϊκευτής των μαθηματικών Martin Gardner το παρουσίασε στη διάσημη στήλη του Mathematical Games, στο περιοδικό Scientific American.
Ανάμεσα στις πιο ευφυείς μεθόδους λύσης ήταν ένα τέχνασμα που συνδέθηκε με τον νομπελίστα φυσικό Paul Dirac.
Η ιδέα του είναι σχεδόν εξωφρενική:
Ας υποθέσουμε ότι οι ναυαγοί είχαν αρχικά... −4 καρύδες!
Ναι, μείον τέσσερις.
Προφανώς, κανείς δεν μπορεί να μαζέψει αρνητικές καρύδες. Αλλά στα μαθηματικά επιτρέπεται να επιστρατεύσουμε τη φαντασία μας.
Ας δούμε τι συμβαίνει:
- Ο πρώτος ναυαγός ξεκινά με −4 καρύδες.
- Δίνει μία στον πίθηκο. Απομένουν −5.
- Τις χωρίζει σε πέντε ίσα μέρη: κάθε μερίδιο είναι −1.
- Παίρνει το δικό του μερίδιο, δηλαδή −1.
- Στον σωρό απομένουν πάλι −4 καρύδες!
Το εκπληκτικό είναι ότι ο αριθμός παραμένει αμετάβλητος!
Και αφού παραμένει αμετάβλητος για τον πρώτο, το ίδιο ακριβώς συμβαίνει με τον δεύτερο, τον τρίτο, τον τέταρτο και τον πέμπτο.
Το παράλογο σενάριο αποδεικνύεται μαθηματικά συνεπές.
Πώς, όμως, μετατρέπουμε τις αρνητικές καρύδες σε πραγματικές;
Από τις −4 στις 3.121 καρύδες
Αν συμβολίσουμε με x τις καρύδες που βρίσκει ένας ναυαγός, μετά τη μοιρασιά του απομένουν:
f(x) = 4(x − 1)/5
Αναζητούμε έναν αριθμό που δεν αλλάζει με αυτή τη διαδικασία:
4(x − 1)/5 = x
Λύνοντας την εξίσωση, βρίσκουμε:
x = −4
Τώρα έρχεται το αποφασιστικό βήμα.
Για να πραγματοποιηθούν και οι πέντε νυχτερινές μοιρασιές χωρίς κλασματικές καρύδες, ο αρχικός αριθμός πρέπει να έχει τη μορφή:
N = 5⁵k − 4, όπου k είναι θετικός ακέραιος.
Η μικρότερη δυνατή υποψήφια τιμή προκύπτει για k = 1:
N = 3.125 − 4 = 3.121 καρύδες!
Μένει να βεβαιωθούμε ότι ικανοποιείται και η πρωινή μοιρασιά.
Ας μετρήσουμε τις καρύδες!
| Ναυαγός | Κρατά για τον εαυτό του | Δίνει στον πίθηκο | Απομένουν |
| ------- | ----------------------- | ----------------- | --------- |
| 1ος | 624 | 1 | 2.496 |
| 2ος | 499 | 1 | 1.996 |
| 3ος | 399 | 1 | 1.596 |
| 4ος | 319 | 1 | 1.276 |
| 5ος | 255 | 1 | 1.020 |
Το επόμενο πρωί απομένουν 1.020 καρύδες.
Και πράγματι:
1.020 ÷ 5 = 204
Καθένας παίρνει 204 καρύδες, χωρίς να περισσέψει καμία.
Άρα η απάντηση είναι:
3.121 καρύδες!
Και κάπως έτσι, ένα πρόβλημα που προκάλεσε χιλιάδες επιστολές και αμέτρητους πονοκεφάλους λύνεται με τη βοήθεια τεσσάρων... ανύπαρκτων καρύδων!
Ήταν πράγματι ιδέα του Dirac;
Εδώ η ιστορία γίνεται ακόμη πιο ενδιαφέρουσα.
Ο Martin Gardner, αναζητώντας την προέλευση της ευφυούς μεθόδου, επικοινώνησε με τον Paul Dirac.
Ο διάσημος φυσικός, όμως, δεν διεκδίκησε την πατρότητά της. Εξήγησε ότι την είχε μάθει από τον μαθηματικό J. H. C. Whitehead, καθηγητή στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης.
Ο Gardner επικοινώνησε και με τον Whitehead.
Η απάντηση; Ούτε εκείνος είχε επινοήσει τη μέθοδο! Την είχε ακούσει από κάποιον άλλον.
Η αναζήτηση σταμάτησε εκεί. Ο πραγματικός εμπνευστής του τεχνάσματος παραμένει άγνωστος.
Ένας γρίφος με ιστορία μεγαλύτερη από χίλια χρόνια
Το αξιοπερίεργο είναι ότι η βασική ιδέα του προβλήματος είναι πολύ παλαιότερη από το αμερικανικό περιοδικό.
Ο ιστορικός των μαθηματικών προβλημάτων David Singmaster εντοπίζει συγγενικές μορφές τέτοιων διαδοχικών μοιρασιών ήδη γύρω στο 850 μ.Χ., στο έργο Ganita-sara-sangraha του Ινδού μαθηματικού Mahavira (Μαχαβίρα)**.
Στο περίφημο αυτό σύγγραμμα παρουσιάζονται ποικίλα αριθμητικά προβλήματα, πολλά από τα οποία οδηγούν σε εξισώσεις με ακέραιες λύσεις.
Έτσι, πίσω από μια φαινομενικά αστεία ιστορία με ναυαγούς και καρύδες, κρύβεται μια μαθηματική παράδοση που διατρέχει περισσότερους από δέκα αιώνες.
Και μια τελευταία λεπτομέρεια: αν στην πρωινή μοιρασιά περίσσευε επίσης μία καρύδα για τον πίθηκο, όπως συμβαίνει σε μια παλαιότερη παραλλαγή, η μικρότερη λύση θα ήταν 15.621 καρύδες.
Τελικά, ίσως το μεγαλύτερο δίδαγμα της ιστορίας να μην αφορά τις καρύδες. Αφορά τον τρόπο που σκεφτόμαστε.
Εκεί που χιλιάδες άνθρωποι αναζητούσαν έναν μεγάλο θετικό αριθμό, κάποιος τόλμησε να ξεκινήσει από έναν αρνητικό.
Και πολλές φορές, στα μαθηματικά, η πιο σύντομη διαδρομή προς τη λύση περνά από κάτι που αρχικά μοιάζει εντελώς παράλογο!
Πηγές: Martin Gardner, «The Monkey and the Coconuts», Scientific American, Απρίλιος 1958· The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions· David Singmaster, Chronology of Recreational Mathematics.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου