Το παράδοξο των φακέλων!!

«Φάκελος : Το φέρετρο ενός έγγραφου, η φαρέτρα ενός λογαριασμού, το καβούκι ενός εμβάσματος , το νυχτικό μιας ερωτικής επιστολής .»

                                                                                Αμβρόσιος Πηρς

  Φανταστείτε ότι βρίσκεστε σε ένα τηλεπαιχνίδι. Μπροστά σας είναι τοποθετημένοι δυο  κλειστοί φάκελοι με χρήματα .


Ο παρουσιαστής σας ενημερώνει  ο ένας φάκελος περιέχει διπλάσιο ποσό χρημάτων από τον άλλο αλλά δεν  γνωρίζετε  ποιος. Επιλέγετε έναν φάκελο στην τύχη τον ανοίγετε και διαπιστώνετε ότι περιέχει το ποσό των  100 ευρώ. Ο παρουσιαστής σας  δίνει την δυνατότητα η να κρατήσετε τον ανοικτό φάκελο και το ποσό των 100 ευρώ η να τον ανταλλάξετε με τον άλλο φάκελο.Ο άλλος φάκελος περιέχει με ισες πιθανότητες η το διπλάσιο ποσό  200 ευρώ η το μισό των χρημάτων που βρήκατε 50 ευρώ. Οι πιθανότητες να κερδίσετε η να χάσετε είναι ισες .Αλλά φυσικά το αναμενόμενο κέρδος είναι διαφορετικό στην πρώτη περίπτωση κερδίζετε 100 ευρώ επιπλέον στην δεύτερη χάνετε μόνο 50. Άρα σας συμφέρει να τον ανταλλάξετε.

   Σε αυτό σημείο όμως έχουμε θέμα. Προτού ανοίξετε τον φάκελο γνωρίζετε ότι οποιοδήποτε ποσό και αν βρείτε, το σκεπτικό θα παραμείνει το ίδιο, έτσι το πιο λογικό πράγμα που έχετε να κάνετε είναι να ανταλλάξετε  αμέσως το φάκελο με τον άλλο , δίχως να σας απασχολεί το άνοιγμα  του: Διότι, αν ο φάκελος που κρατάτε περιέχει χ ευρώ, τότε ο άλλος φάκελος θα περιέχει η χ/2 ή 2χ ευρώ , με ισες πιθανότητες .Όποτε θα έχετε ισες πιθανότητες να κερδίσετε χ ευρώ ή  να χάσετε χ/2  ευρώ. Άρα σας συμφέρει να κάνετε την ανταλλαγή. Αλλά αν αρχικά είχατε επιλέξει το δεύτερο φάκελο, τότε με το ίδιο σκεπτικό , θα σας συνέφερε να τον  ανταλλάξετε αυτόματα με τον πρώτο.Αδιέξοδο ,φτάνουμε σε παράδοξο!! Είναι σαφές ότι υπάρχει αντίφαση αλλά ποιο είναι το σφάλμα του παραπάνω συλλογισμού;

Ικανοποιητική ερμηνεία δεν έχει δοθεί μέχρι σήμερα.

  Το παράδοξο είναι γνωστό από την δεκαετία του 1930 αλλά με την μορφή των φακέλων παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από των καθηγητή μαθηματικών του Χάρβαρντ Sandy zabell.

Απαλλαγμένη από πιθανότητες μια άλλη εκδοχή του παράδοξου δίνει ο Ρέιμοντ  Σμούλιαν , Μαθηματικός με ειδίκευση στην Λογική και συγγραφέας βιβλίων με γρίφους.

Το θέτει ως εξής:

  Επιλέγουμε στην αρχή τον ένα από τους δυο φάκελους και αποφασίζουμε να τον ανταλλάξουμε με τον άλλο. Από την ανταλλαγή αυτή είναι σαφές ότι ή  θα κερδίσουμε ή  θα χάσουμε. Θα αποδείξουμε τώρα δυο αντιφατικές προτάσεις:

● Πρόταση 1: Το ποσό που θα κερδίσουμε, αν κερδίσουμε, είναι μεγαλύτερο από το ποσό που θα χάσουμε, αν χάσουμε.

● Πρόταση 2: Τα ποσά είναι ίσα.

Ευθύς έξαρχης είναι σαφές ότι δεν μπορούν να αληθεύουν και οι δυο προτάσεις .Θα αποδείξουμε και τις δυο.

Η πρόταση 1 αναδιατυπώνει όσα  αναφέραμε στην αρχή.

Αν χ ευρώ  περιέχει ο φάκελος που κρατάμε ο άλλος περιέχει  η χ/2 ή  2χ ευρώ. Α κερδίσουμε από την ανταλλαγή θα κερδίσουμε χ ευρώ ενώ αν χάσουμε θα χάσουμε χ/2 ευρώ. Αφού το χ είναι μεγαλύτερο από χ/2  , το ποσό που θα κερδίσουμε θα είναι μεγαλύτερο από αυτό που θα χάσουμε άρα ισχύει η πρόταση 1.

Όσο αφορά την πρόταση 2.  Αν   Δ είναι η διαφορά των ποσών στους 2 φάκελους, ή  , με άλλα λόγια, έστω Δ το μικρότερο από τα δυο ποσά. Αν κερδίσουμε από την ανταλλαγή θα κερδίσουμε  Δ ευρώ αν χάσουμε θα χάσουμε Δ ευρώ. Άρα τα δυο ποσά είναι ίσα. Για παράδειγμα αν υποθέσουμε ότι ο φάκελος με το μικρότερο ποσό  περιέχει 20 ευρώ. Οπότε αυτός με το μεγαλύτερο ποσό περιέχει  40 ευρώ. Αν κερδίσεις από την ανταλλαγή, σημαίνει ότι είχαμε στα χέρια μας το φάκελο με τα λιγότερα χρήματα, οπότε το κέρδος είναι 20 ευρώ. Αν όμως χάσουμε από την ανταλλαγή , αυτό σημαίνει ότι κρατούσαμε το φάκελο με τα  με τα 40 ευρώ και έτσι θα χάσουμε 20 ευρώ. Άρα 20 ευρώ είναι το ποσό που θα κερδίσουμε ,αλλά και  το ποσό που θα χάσουμε. Το ίδιο ισχύει και για κάθε Δ που είναι μικρότερο από τα δυο ποσά. Ο Αριθμός Δ είναι το ποσό που  κερδίσουμε η θα χάσουμε. Οπότε αποδεικνύεται και η πρόταση 2, και τα ποσά είναι τελικά ισα. Ισχύει τόσο η πρόταση 1 όσο και οι πρόταση 2!!!.Μπερδευτηκατε;

Δεν μπορούν να αληθεύουν και οι δυο προτάσεις.