 |
Αν θεωρήσουμε ένα κανονικό πολύγωνο.
Ένα πολύγωνο δηλαδή με όλες τις πλευρές και όλες τις γωνίες ισες. Αν φέρουμε όλες τις διαγώνιους ενός κανονικού πολυγώνου σε πόσα τμήματα(τα τμήματα έχουν την έννοια του επίπεδου χωρίου) το χωρίζει ; Αν ξεκινήσουμε από το τετράγωνο και φέρουμε τις δυο διαγώνιους του τότε έχουμε 4 τμήματα. Αν στην συνέχεια κάνουμε το ίδιο με το πεντάγωνο τότε λαμβάνουμε 11 τμήματα. ( βλέπε σχήμα)
Επαναλαμβάνοντας για περισσότερα κανονικά πολύγωνα κατασκευάζουμε τον παρακάτω πινάκα .Όπου n είναι τι πλήθος των πλευρών του πολυγώνου και R(n) το πλήθος των τμημάτων.
n R(n)
Τρίγωνο
|
3
|
1
|
Τετράγωνο
|
4
|
4
|
Πεντάγωνο
|
5
|
11
|
Εξάγωνο
|
6
|
24
|
Επτάγωνο
|
7
|
50
|
Οκτάγωνο
|
8
|
80
|
Εννεάγωνο
|
9
|
154
|
Δεκάγωνο
|
10
|
220
|
Μπορούμε να γενικεύσουμε και να βρούμε τύπο που να δίνει το πλήθος των τμημάτων αν γνωρίζουμε το n; Αυτό ήταν το αντικείμενο με το οποίο ασχολήθηκαν οι μαθηματικοί Bjorn Poonen και Michael Rubinstein το 1990.Οι δυο μαθηματικοί κατέληξαν σε μια πολύπλοκη σχέση με την οποία μπορούμε υπολογίσουμε το πλήθος των τμημάτων στα οποία χωρίζεται ένα κανονικό ν-γωνο για κάθε τιμή του n.
Ο τύπος είναι :
όπου
 | Ένα πολύγωνο με 30 πλευρές τεμαχισμένο σε 21.480 μικράτμήματα από τις διαγώνιους του με 16.801 σημεία τομής των διαγωνίων του. |
Περισσότερες πληροφορίες στην εργασία των Bjorn Poonen και Michael Rubinstein στον παρακάτω σύνδεσμο: http://math.mit.edu/~poonen/papers/ngon.pdf
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου