Πινακίδες Sangaku, γεωμετρικά προβλήματα των τέμπλων !

                       
  Τι κοινό μπορεί να έχει μια θρησκευτική προσφορά, ένα έργο τέχνης και ένα γεωμετρικό πρόβλημα;
   Η απάντηση είναι οι πινακίδες Sangaku.Για περισσότερα από 250 χρόνια,η Ιαπωνία ήταν απομονωμένη από τον δυτικό κόσμο. Φανταστείτε ότι ο μοναδικός σύνδεσμος της χώρας με τον δυτικό κόσμο ήταν μια φορά το χρόνο ένα ολλανδικό πλοίο που αγκυροβολούσε στο λιμάνι του Ναγκασάκι.Αυτό είχε σαν αποτέλεσμα η μαθηματική της κουλτούρα να αναπτυχτεί ανεξάρτητα από τις εξελίξεις στην Ευρώπη. Όταν ο Νεύτωνας και ο Λάιμπνιτς ανέπτυσσαν  τον απειροστικό λογισμό και μετέτρεπαν την επίλυση πολύπλοκων γεωμετρικών προβλημάτων σε παιχνίδι οι Ιάπωνες συνάδελφοι τους χειρίζονταν τα ίδια προβλήματα με τον ίδιο τρόπο που το έκαναν οι αρχαίοι Έλληνες με επίπονη  δουλειά και ευρηματικά τεχνάσματα.Προβλήματα γεωμετρίας  που  με το πανίσχυρο εργαλείο της ανάλυσης λύνονταν  σε μερικές γραμμές,οι Ιάπωνες θεράποντες των μαθηματικών έδιναν λύσεις μακροσκελείς και επίπονες,σαν τα σημερινά προβλήματα μαθηματικών διαγωνισμών.Τα γεωμετρικά αυτά προβλήματα τα σκάλιζαν περίτεχνα σε ξύλινες πινακίδες και τα αναρτούσαν σε ναούς και  θρησκευτικούς βωμούς,Οι πινακίδες αυτές  ονομάζονται πινακίδες Sangaku  και γράφονταν στη κινεζική διάλεκτο Kanbun  που θεωρούνταν η γλώσσα των λόγιων στην Άπω ανατολή , όπως αντίστοιχα χρησιμοποιούνταν τα λατινικά  στην Δύση. Το εκπληκτικό ήταν ότι δεν ασχολούνταν μόνο οι μαθηματικοί με την ιδιότυπη αυτή γεωμετρία των τέμπλων αλλά κάθε ιάπωνας από όποια κάστα  και  αν προερχόταν.Ο  συνταξιούχος μαθηματικός  Fukagawa,αυθεντία στην γεωμετρία Sangaku αναφέρει χαρακτηριστικά ότι τα γεωμετρικά αυτά προβλήματα ήταν  έργο αγροτών,κτηνοτροφών,σαμουράι,φεουδαρχών,τις λύσεις των οποίων μετέγραφαν σε πινακίδες Sangaku.

Περίπου 900 πινακίδες Sangaku έχουν διασωθεί και αποτελούν μοναδικά μνημεία μαθηματικής ,αισθητικής και θρησκευτικής  κουλτούρας.

Ένα πολύ γνωστό πρόβλημα  που χρονολογείται από το 1844,στο Τόκυο  είναι το εξής :

 ''Το παρακάτω σχήμα αποτελείται από 5 τετράγωνα να δείξετε ότι το εμβαδό του τριγώνου Τ είναι ίσο με το εμβαδό του τετραγώνου  S.''

                         

Λύση

 Ονομάζουμε  την πλευρές  των τετραγώνων HC =b και ΕΑ=α .  Από τα σημείο  Κ φέρνουμε ευθεία παράλληλη  στην AC ,στην συνέχεια φέρνουμε κάθετες  MJ ,NL στην παράλληλη  , ομοίως φέρνουμε DF κάθετη στην  KG  και GH  κάθετη στην  KG .

Τα τρίγωνα ΕΑΒ,BCH,GHK,EFK   είναι ίσα ( έχουν από μια πλευρά ίση ,είναι ορθογώνια και έχουν αντίστοιχα ισα ζεύγη γωνιών με τις πλευρές κάθετες )  άρα

AB=HC=GH=KF=b και EA=EF=KG=BC=a.

                 

Τα  τρίγωνα DFK και JKM  είναι ισα καθώς και τα τρίγωνα GIK ,ΚLΝ  άρα ισχύουν οι ισότητες   JM=DF=2α , JK=FK=b ,KL=GK=α  , LN=GI=2b.

Υπολογίζουμε τώρα τα ζητούμενα εμβαδά :

Εμβαδό(Τ)= Εμβαδό (JLNM)- Εμβαδό (JKM)- Εμβαδό (KLN)=((α+b)(2α+2b)/2)-αb-αb=α²+b²=EB²= Εμβαδό (S)

Περισσότερα στο σύνδεσμο:
http://www.its.caltech.edu/~ilian/ma1c/temple.pdf

Ένα πρόβλημα από το κανάλι μου