Δρούγας Θανάσης
«Ο Αρχιμήδης θα μνημονευθεί όταν ο Αισχύλος θα έχει λησμονηθεί, διότι οι γλώσσες πεθαίνουν, μα οι μαθηματικές ιδέες όχι.» G.Hardy
Λύση Έστω x ο μικρότερος από τους 8 αριθμούς (με x ≥ 1) τότε το γινόμενο Γ είναι:Γ = [x(x + 7)][(x + 1)(x + 6)][x + 2)(x + 5)][(x + 3)(x + 4)] == (x2 + 7x)(x2 + 7x + 6)(x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12).Θέτουμε x2 + 7x + 6 = y και έχουμε :Γ = (y – 6)(y)(y+ 4)(y + 6) = (y2 – 36)(y2 + 4y) = y4 + 4y(y+ 3)(y – 12).Αν y = x2 + 7x + 6 και x ≥ 1 τότε προκύπτει y – 12 >0. Έτσι Γ > y4. (1)Όμως, Γ = y4 + 4y3 – 36y2 – 144y και (y + 1)4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + 1.Οπότε Γ< (y+ 1)4 (2)Από (1),(2) έπεται ότι: y4 < Γ < (y + 1)4Τελικά για κάθε φυσικό αριθμό x ≥ 1 το γινόμενο Γ πάντα θα είναι ανάμεσα σε δυο τέταρτες δυνάμεις διαδοχικών φυσικών.
ΑπάντησηΔιαγραφήΛύση
Έστω x ο μικρότερος από τους 8 αριθμούς (με x ≥ 1) τότε το γινόμενο Γ είναι:
Γ = [x(x + 7)][(x + 1)(x + 6)][x + 2)(x + 5)][(x + 3)(x + 4)] =
= (x2 + 7x)(x2 + 7x + 6)(x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12).
Θέτουμε x2 + 7x + 6 = y και έχουμε :
Γ = (y – 6)(y)(y+ 4)(y + 6) = (y2 – 36)(y2 + 4y) = y4 + 4y(y+ 3)(y – 12).
Αν y = x2 + 7x + 6 και x ≥ 1 τότε προκύπτει y – 12 >0.
Έτσι Γ > y4. (1)
Όμως, Γ = y4 + 4y3 – 36y2 – 144y και (y + 1)4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + 1.
Οπότε Γ< (y+ 1)4 (2)
Από (1),(2) έπεται ότι: y4 < Γ < (y + 1)4
Τελικά για κάθε φυσικό αριθμό x ≥ 1 το γινόμενο Γ πάντα θα είναι ανάμεσα σε δυο τέταρτες δυνάμεις διαδοχικών φυσικών.