Από τον Διαγωνισμό Πόλεων 1989 :
"Δεκαπέντε ελέφαντες βρίσκονται σε ευθεία γραμμή. Τα βάρη τους εκφράζονται με ακέραιο αριθμό τόνων.
Το άθροισμα του βάρους κάθε ελέφαντα ( εκτός αυτού που βρίσκεται στο δεξιό άκρο της σειράς )
και του διπλάσιου βάρους του δεξιού γείτονα του είναι ακριβώς δεκαπέντε τόνοι. Να προσδιοριστεί το βάρος του κάθε ελέφαντα."
Η λύση στα
σχόλια .
ΑπάντησηΔιαγραφήΛύση
Συμβολίζουμε με α1 το βάρος του πρώτου ελέφαντα που βρίσκεται στην αριστερή άκρη και με α2,α3,…,α15 τα βάρη των ελεφάντων που βρίσκονται διαδοχικά δεξιότερα από αυτόν. Σύμφωνα με τα δεδομένα ισχύει:
α1+2*α2=15, α2+2*α3=15,..,α14+2*α15=15
Από τις εξισώσεις αυτές συμπεραίνουμε ότι τα βάρη των ελεφάντων α1 έως και α14 είναι περιττοί αριθμοί. Διακρίνουμε περιπτώσεις για το α1:
-Για α1=1 προκύπτει ότι α2=7 και α3=4.Η τιμή όμως α3=4 είναι άρτια. Συνεπώς η λύση α1=1 απορρίπτεται.
-Για α1=3 προκύπτει ότι α2=6 λύση η οποία απορρίπτεται.
-Για α1=5 προκύπτει ότι α2=5 , α3=5 και γενικά όλα τα βάρη των ελεφάντων είναι ίσα με 5 τόνους .
-Για α1=7 προκύπτει α2=4 λύση που απορρίπτεται.
-Για α1=9 προκύπτει α2=3 και α3=6 λύση που απορρίπτεται.
-Για α1=11 προκύπτει α2=2 λύση που απορρίπτεται.
-Για α1=13 προκύπτει α2=1,α3=7 και α4=4 λύση που απορρίπτεται. Η μόνη λύση είναι α1=α2=α3=…=α14=α15=5