Τρία προβλήματα,ένα παραλλαγμένο πρόβλημα του Μάρτιν Γκάρντνερ,ένα για παιδιά Α Λυκείου από Ρώσικο μαθηματικό διαγωνισμό και ένα ευκολότερο για τους μικρότερους φίλους του ιστολογίου.
1) Χθες,η γυναίκα μου και
εγώ χρησιμοποιήσαμε την κυλιόμενη σκάλα στο πολυκατάστημα Χ για να ανεβούμε
στο δεύτερο όροφο.Παράλληλα
με την κυλιόμενη ανάβαση της σκάλας ανεβαίναμε τα σκαλιά περπατώντας.Εγώ χρειάστηκε να ανεβώ 20 σκαλιά
για να φτάσω στην κορυφή της σκάλας και μου πήρε 60
δευτερόλεπτα,η γυναίκα μου ανέβηκε 16 σκαλιά
για να φτάσει στην κορυφή και έκανε 72 δευτερόλεπτα.
Σήμερα το πρωί, πήγαμε ξανά στο πολυκατάστημα Χ και η κυλιόμενη
σκάλα ήταν χαλασμένη και δεν λειτουργούσε,εξυπηρετούσε το κοινό ως μια απλή σκάλα.
Πόσα σκαλιά θα έπρεπε να ανεβούμε η γυναίκα μου και εγώ και για να φτάσουμε στον δεύτερο όροφο του εμπορικού Χ ;
Πόσα σκαλιά θα έπρεπε να ανεβούμε η γυναίκα μου και εγώ και για να φτάσουμε στον δεύτερο όροφο του εμπορικού Χ ;
2)Μια αριθμητική πρόοδος έχει μόνο ακεραίους όρους.Το άθροισμα των πρώτων ν όρων
είναι δύναμη του 2.Να δείξετε ότι και ο ν είναι επίσης δύναμη του 2.
Οι λύσεις στα σχόλια
3)Δυο παιδιά θέλουν να περάσουν ένα ποτάμι.Ο μόνος τρόπος για να περάσουν απέναντι είναι με βάρκα.Η βάρκα παίρνει μόνο ένα άτομο την φορά.Δεν υπάρχει τρόπος η βάρκα να κινηθεί χωρίς επιβάτη και δεν υπάρχουν σκοινιά ή κάτι άλλο παρόμοιο.
Παρόλα αυτά τα δυο παιδιά μπορούν να να διασχίσουν το ποτάμι; Πως γίνεται αυτό;
Παρόλα αυτά τα δυο παιδιά μπορούν να να διασχίσουν το ποτάμι; Πως γίνεται αυτό;
Οι λύσεις στα σχόλια
ΑπάντησηΔιαγραφήΛύσεις
1) Έστω x είναι ο αριθμός των σκαλιών που είναι ορατά όταν η κυλιόμενη σκάλα είναι ακινητοποιημένη. Aνέβηκα 20 σκαλιά σε 60 δευτερόλεπτα οπότε ο αριθμός σκαλιών που "ανεβαίνει" η κυλιόμενη σκάλα είναι x - 20 σκαλιά σε 60 δευτερόλεπτα, ανάλογα η γυναίκα μου ανέβηκε 16 σκαλιά σε 72 δευτερόλεπτα ,σε αυτήν την περίπτωση η σκάλα "ανέβηκε" x - 16 σκαλιά σε 72 δευτερόλεπτα. O ρυθμός ανάβασης της κυλιόμενης σκάλας στην μονάδα του χρόνου είναι σταθερός άρα, 60/(χ-20) = 72/ (χ-16) ή χ=40.Το ζητούμενο πλήθος σκαλιών είναι 40.
2)Αν α1 και αν, ο πρώτος και ο νιοστός όρος της προόδου τότε το άθροισμα των ν πρώτων όρων είναι
S=α1+α2+…+αν=(α1+ αν)ν/2 ή S = (α1+ αν)ν/2 ή 2S =( α1+ αν) ν (1)
Από την (1) όμως αν το S είναι δύναμη του 2 τότε και το 2S είναι δύναμη του 2 και κατ επέκταση και το ( α1+ αν)ν είναι δύναμη του 2,άρα και το ν είναι δύναμη του 2.
3)Τα παιδιά βρίσκονται σε αντίθετες όχθες του ποταμού.