Πυθαγόρειες τετράδες, μπορούν να είναι του…κουτιού;

  Ο Διόφαντος (*) ήταν Έλληνας μαθηματικός που έζησε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου το 250 μ.Χ , ασχολήθηκε με την θεωρία αριθμών.

  Τι έκανε ο Διόφαντος για να υπολογίσει όλες τις πυθαγόρειες τριάδες; Αν τον ρωτούσατε, θα  σας έλεγε -δεν υπήρχε ο αλγεβρικός συμβολισμός που χρησιμοποιούμε σήμερα -τα εξής:

 Επιλέξτε δυο θετικούς ακέραιους αριθμούς

● Διπλασιάστε το γινόμενο τους.

● Υπολογίστε την διαφορά ανάμεσα στα τετράγωνα τους.

● Υπολογίστε το άθροισμα των τετραγώνων τους.

Οι τρεις αριθμοί που θα έχετε υπολογίσει θα αποτελούν τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Για παράδειγμα,αν πάρουμε τους αριθμούς  2 και 1.Τοτε:

                  2x2x1=4 , 2²-1²=3 , 2²+1²=5

  Όπου λαμβάνουμε την πυθαγόρεια τριάδα 3-4-5,αρα υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με  μήκη καθέτων πλευρών 3 και 4 ενώ η υποτείνουσα είναι 5.Ισχυει :5²=3²+4²

Αν είχαμε επιλέξει μεγαλύτερους αριθμούς,ας πούμε  τους 43 και 36 τότε

2x43x36=3096

43²-36²=1849-1296=553

43²+36²=3145

Πράγματι,ισχύει:3096^2+553^2=9585216+305809=9891025=3145^2

Τώρα, ποιο τρίγωνο θα έχει πλευρές 3096,553 και 3145 αυτό είναι άλλο ζήτημα.

Ο Διόφαντος επίσης γνώριζε ότι αν επιλέξουμε οποιαδήποτε πυθαγόρεια τριάδα και πολλαπλασιάσουμε κάθε αριθμό  της με  οποιοδήποτε θετικό ακέραιο προκύπτει επίσης πυθαγόρεια τριάδα.

Για παράδειγμα η πυθαγόρεια τριάδα 3-4-5 αν πολλαπλασιάσουμε το 6 τότε προκύπτει 18-24-30 που είναι επίσης πυθαγόρεια τριάδα .

   Με την παραπάνω μέθοδο είναι εύκολο να κατασκευάσουμε ορθογώνια παραλληλόγραμμα που έχουν ακέραιες πλευρές και διαγώνιες. 

  Επίσης, ανάλογα,μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο-ένα κουτί-με ακέραια μήκη ακμών και διαγωνίων των εδρών. Κάνεις, όμως μέχρι σήμερα δεν έχει κατορθώσει να κατασκευάσει  ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με ακέραια μήκη ακμών, διαγωνίων ακμών και ακέραια μήκη διαγωνίων που ενώνουν απέναντι κορυφές. Ένα τέλειο κυβοειδές, το τέλειο κουτί.Σχηματικά:

  Θα πρέπει να ισχύει: α²+β²=p² , α²+γ²=q², β²+γ²=ρ², α²+β²+γ²=s²

Δεν έχει αποδειχτεί η ύπαρξη η όχι των αριθμών α,β,γ,p,q,s,ρ ,λέμε ότι πρόκειται για εικασία η ανοικτό πρόβλημα. Έχουν βρεθεί κάποιες προσεγγίσεις:

● α=240  ,β=117,γ=44 ,p=267  ,q=244  , ρ= 125 αλλά ο s δεν είναι ακέραιος.

● α=672  ,β=153 ,γ=104  ,q=680  ,s=697  , ρ= 185 αλλά ο p δεν είναι ακέραιος.

● α=18720  , s=24961 , γ=7800 , p=23711  , q=20280  , ρ= 16511 αλλά ο β δεν είναι ακέραιος.

Αν υπάρχει το τέλειο κουτί είναι βέβαιο ότι θα εμπλέκει τεράστιους αριθμούς και σίγουρα η ακμή του θα είναι μεγαλύτερη από 2³²=4294967296   μονάδες μήκους.

  (*)Η Wikipedia μας πληροφορεί ότι ο  Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς ήταν Έλληνας μαθηματικός του τρίτου αιώνα (περίπου 210 – 290), ο οποίος έζησε στην Αλεξάνδρεια της ρωμαϊκής Αιγύπτου.

Έχει αποκληθεί από τους Έλληνες «πατέρας της άλγεβρας» εξαιτίας του εμβληματικού έργου του «Αριθμητικά», όπου περιέχονται προβλήματα αριθμητικής τα οποία λύνονται σήμερα με εξισώσεις και συστήματα πρώτου και δευτέρου βαθμού. Την τιμή αυτή την μοιράζεται με τον Πέρση μαθηματικό αλ-Χουαρίζμι, από τον οποίο προέρχεται και το όνομα «άλγεβρα».

Ο Διόφαντος συνεισέφερε πολύ στην ανάπτυξη της αριθμητικής, καθιέρωσε και τυποποίησε έναν τύπο σύντομου μαθηματικού συμβολισμού για τη γραφή προβλημάτων, για πρώτη φορά σε ευρεία κλίμακα άρχισε να χρησιμοποιεί τα κλάσματα ως πραγματικούς αριθμούς και ασχολήθηκε με την επίλυση εξισώσεων με πολλαπλούς αγνώστους όρους. Ωστόσο ακόμα και με τον Διόφαντο ο ελληνικός μαθηματικός συμβολισμός παρέμεινε βασισμένος στον καθημερινό λόγο και δύσχρηστος με τα σημερινά δεδομένα.

Από τα αρχικώς δεκατρία βιβλία των Αριθμητικών, μόνο έξι έχουν σωθεί έως σήμερα. Κατά τον Μεσαίωνα, η γνώση των ευρημάτων του Διόφαντου διατηρήθηκε στη Βυζαντινή Αυτοκρατορία και στον αραβικό κόσμο, μέσω μεταφράσεων από τα ελληνικά. Τελικά το 1570 ο Ιταλός μαθηματικός Ραφαήλ Μπομπέλι μετέφρασε στα λατινικά τα Αριθμητικά και χρησιμοποίησε τα προβλήματα που περιείχαν για τα δικά του συγγράμματα.

Τον επόμενο αιώνα τα γραπτά του Διόφαντου επηρέασαν τον εξέχοντα μαθηματικό Πιέρ ντε Φερμά. Σήμερα «διοφαντικές» καλούνται οι εξισώσεις ακέραιων συντελεστών των οποίων ζητούνται οι ακέραιες λύσεις.