Πως με την γεωμετρία γλυτώνεις χρήματα…

   Μαζεύω λίγο τις σημειώσεις στην Γεωμετρία Α,B λυκείου.Εκεί,λοιπόν στις ασκήσεις στα εγγράψιμα έπεσα πάνω σε μια ωραία ιστορία που αφορούσε την Ευκλείδεια γεωμετρία,τον "ερασιτέχνη" Φερμά,τον Γ.Στάινερ και μια πολυεθνική υπηρεσιών τηλεπικοινωνίας.

Η ιστορία 

  Τη δεκαετία του 60,η αμερικανική εταιρεία τηλεπικοινωνιών δικτύων ΑΤ&Τ εγκαθιστούσε  ιδιωτικά τηλεφωνικά δίκτυα για εταιρείες πελάτες της που είχαν εγκαταστάσεις σε πολλές διαφορετικές τοποθεσίες.Οι τιμές της ΑΤ&Τ ήταν πολύ υψηλές,και η αμερικανική κυβέρνηση αποφάσισε ότι το κόστος ενός ιδιωτικού δικτύου θα έπρεπε να βασίζεται όχι στον τρόπο με τον οποίο διοχετεύονται οι κλήσεις μέσω των καλωδίων  της ΑΤ&Τ αλλά στο (θεωρητικά) ελάχιστο μήκος γραμμής που θα απαιτούνταν για να συνδέσει δυο διαφορετικές τοποθεσίες.Ένας πελάτης ήταν οι αεροπορικές γραμμές Delta.Η Delta είχε εγκαταστάσεις σε ίσες μεταξύ τους αποστάσεις,οι οποίες ας πούμε ότι απείχαν  μεταξύ τους 1000 χιλιόμετρα φανταστείτε τις  κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου.Η ΑΤ&Τ χρέωσε την Delta για 2000 χιλιόμετρα καλωδίου,αφού ο πιο σύντομος τρόπος σύνδεσης των τοποθεσιών έμοιαζε προφανής.

  Αλλά η Delta αμφισβήτησε το λογαριασμό,η λογική της ποια ήταν; Αν η Delta  άνοιγε ένα τέταρτο γραφείο  στο κέντρο του ισοπλεύρου τριγώνου που σχημάτιζαν τα αλλά τρία,το συνολικό μήκος των γραμμών  θα μειώνονταν κατά 13,4%, στα 1720 χιλιόμετρα.   

   Οι υπεύθυνοι για το έργο της Delta  δεν ανακάλυψαν τίποτα νέο.Κατέφυγαν σε  μαθηματικές παρατηρήσεις  που είχαν γίνει για πρώτη φορά  το 1640,από τους μαθηματικούς Φερμά -Τορικέλι και είχαν μελετηθεί περαιτέρω κατά τον 19^ο αιώνα  από τον Ελβετό μαθηματικό Γιάκομπ Στάινερ.

Πίσω στα χρόνια του Φερμά

   Το 1643,παρακινημένος από τον Καρτέσιο,ο Γάλλος «ερασιτέχνης» μαθηματικός Φερμά θέτει το ερώτημα: Δοθέντων 3 μη συνευθειακών σημείων  στο επίπεδο  να βρεθεί το σημείο  από το οποίο το άθροισμα των αποστάσεων  από τα 3 σημεία είναι ελάχιστο. Η λύση δόθηκε από τον Τορικέλι και δημοσιεύτηκε το 1659, από τον μαθητή του Viviani ,αλλά το σημείο ονομάστηκε σημείο Φερμά-Τορικέλι.

    Το Σημείο Φερμά-Τορικέλι είναι εσωτερικό σημείο ενός τρίγωνου ΑΒΓ με γωνίες μικρότερες από 120^ο από το οποίο  το άθροισμα των αποστάσεων από  τις κορυφές του τρίγωνου είναι ελάχιστο. Η κατασκευή του είναι απλή. Αρκεί να κατασκευάσουμε  τα ισόπλευρα τρίγωνα  ΒΓΑ’,ΑΓΒ’,ΑΒΓ’.Να φέρουμε τα τμήματα ΑΑ’,ΒΒ’,ΓΓ’. Το σημείο τομής είναι το ζητούμενο σημείο. Οι πλευρές του τριγώνου «φαίνονται» από το σημείο Φερμά-Τορικέλι υπό γωνία  120^ο.
Η απόδειξη  στο σύνδεσμο:https://app.box.com/s/c098nzl6jbe0qvhcwczlt7poaowqvcor

    Ο μαθηματικός Γ. Στάινερ-τον έχουμε συναντήσει ξανά στον οκνηρό τεμαχιστή  πίτσας- μελέτησε δένδρα που πήραν το όνομα του.Φανταστείτε ένα σύνολο από διακεκριμένα σημεία στο επίπεδο και  ευθύγραμμα τμήματα που τα  ενώνουν κατά τέτοιο τρόπο ώστε κάθε σημείο να ενώνεται με οποιοδήποτε άλλο είτε άμεσα είτε έμμεσα και να χρησιμοποιείται το ελάχιστο συνολικό μήκος τμημάτων.Τα δίκτυα στο επίπεδο με ελάχιστο μήκος ονομάστηκαν Ευκλείδεια δέντρα Στάινερ.Αντιλαμβάνεστε ότι  για δίκτυο με τρία σημεία  το σημείο Φερμά-Τορικέλι μας δίνει το δέντρο Στάινερ,αυτός είναι και ο λόγος που στην βιβλιογραφία το βρίσκουμε ως σημείο Στάινερ.

Τα λεφτά….

  Η διεύθυνση της AT&T μετά την πρακτική που ακολούθησε η Delta πανικοβλήθηκε.Κι αν η Delta απαιτούσε ένα πέμπτο γραφείο;Μήπως το μήκος των γραμμών θα μπορούσε να μειωθεί και άλλο; Και τι θα γινόταν αν όλοι οι πελάτες που προμηθεύονταν  ιδιωτικές γραμμές από την ΑΤ&Τ άρχιζαν να στήνουν  γραφεία φαντάσματα για να μειώσουν το μήκος των γραμμών;Πόσα χρήματα κινδυνεύετε να χάσει η ΑΤ&Τ;Η υπόθεση ανατέθηκε στον μαθηματικό Ρ. Γκράχαμ.Το 1968,δυο από τους συνεργάτες του,στα εργαστήρια της ΑΤ&Τ διατύπωσαν μια εικασία,την οποία αρχικά δεν ήταν σε θέση να αποδείξουν:ότι ανεξάρτητα  από το μέγεθος του δικτύου,η προσθήκη σημείων δεν θα μπορούσε  σε καμιά περίπτωση να μειώσει το κόστος  περισσότερo από 13,4%.Την απόδειξη ανακάλυψαν 32 χρόνια αργότερα ο μαθηματικοί Φρανκ Χουάγκ και Ντινγκ Ζου Ντου.

Ηθικό δίδαγμα.Η τέχνη του Ευκλείδη εξοικονομεί χρήματα τώρα  και σε παρόχους υπηρεσιών δικτύου τηλεφωνίας.