Το παράδοξο των τριών κουτιών του Bertrand

                                                  Joseph Louis François Bertrand (1822–1900)

Το παράδοξο της Ζωής.

Είναι αδιανόητο και πέρα από την αντίληψη

αλλά,μερικές φορές πιστεύω

ότι δυο κλειδωμένα κουτιά είναι η ζωή,

που το καθένα του άλλου περιέχει το κλειδί.

                                      Piet Hein (1905-1996)

   O J.L. Bertrand,ένας  Γάλλος μαθηματικός που έζησε τον 19^ο αιώνα διατύπωσε  ένα παράδοξο το όποιο δημοσίευσε τo 1889  στο έργο του Calculus des Probabilites.Το παράδοξο των κουτιών (Bertrand’s box paradox).      

       

    Έχετε στην διάθεση σας, τρία κουτιά  από τα οποία επιλέγετε τυχαία το ένα. Το ένα περιέχει δυο χρυσά νομίσματα (ΧΧ),το δεύτερο περιέχει  δυο ασημένια (ΑΑ) και το τρίτο ένα ασημένιο και ένα χρυσό νόμισμα (ΧΑ).

Το κάθε κουτί είναι  χωρισμένο σε δυο μέρη, το καθένα από τα οποία  ανοίγει ξεχωριστά και περιέχει ένα νόμισμα.

 Ποιες είναι η πιθανότητα να επιλέξετε το κουτί με τα διαφορετικά νομίσματα;

  Μια στις τρεις προφανώς. Ας υποθέσουμε όμως ότι επιλέγετε ένα κουτί  και το πρώτο μισό  που ανοίγετε  περιέχει ένα χρυσό νόμισμα. Άρα αυτό το κουτί  είναι είτε ΧΧ είτε ΧΑ, και έτσι έχετε 50%  πιθανότητα  να  επιλέξατε το ΧΑ. Παρομοίως ,αν το πρώτο νόμισμα είναι ασημένιο, έχετε διαλέξει είτε ΑΑ είτε ΧΑ , όποτε έχετε πάλι 50% πιθανότητες να πετύχατε το ΧΑ. Σε οποιαδήποτε περίπτωση , το πρώτο  νόμισμα  που θα δείτε θα είναι είτε χρυσό είτε αργυρό ,άρα έχετε 50% πιθανότητα να έχετε επιλέξει το ΧΑ.

   

   Κάτι δεν πάει καλά ε; Είναι 1/2 η 1/3 η πιθανότητα επιλογής του κουτιού με τα διαφορετικά νομίσματα; Η αρχική εκτίμηση ότι είναι μόνο μια στις τρεις είναι η σωστή ,πως όμως οδηγηθήκαμε στην εσφαλμένη εκτίμηση του 1/2.

 Όπως επισήμανε ο ίδιος ο Bertrand, η πλάνη έγκειται στην υπόθεση ότι αν το πρώτο από τα νομίσματα είναι χρυσό, είναι μοιρασμένες οι πιθανότητες  για το αν το δεύτερο  θα είναι χρυσό η αργυρό. Κάτι που όμως δεν ισχύει: είναι λιγότερες οι πιθανότητες  το δεύτερο νόμισμα να είναι ασημένιο. Είναι διπλάσιες οι πιθανότητες  σας να δείτε πρώτα  ένα χρυσό νόμισμα αν το κουτί σας είναι ΧΧ ,παρά αν είναι ΧΑ βλέποντας δηλαδή ότι το πρώτο νόμισμα είναι χρυσό, πρέπει να γνωρίζετε ότι είναι διπλάσιες οι πιθανότητες σας να έχετε ένα κουτί ΧΧ παρά  ένα ΧΑ .Παρομοίως, βλέποντας  ότι ένα από τα νομίσματα σας είναι αργυρό, πρέπει να γνωρίζετε ότι είναι διπλάσιες οι πιθανότητες να έχετε ένα κουτί ΑΑ, παρά ένα ΧΑ.

 Φανταστείτε ότι επαναλαμβάνετε την διαδικασία της επιλογής 3000 φορές, ενώ μεταξύ των επιλογών σας τα νομίσματα  ανακατεύονται και τοποθετούνται  σε θέσεις που δεν γνωρίζετε. Κάθε φορά που επιλέγετε ένα κουτί και βλέπετε το πρώτο νόμισμα, διαπιστώνετε αναπόφευκτα ότι είναι είτε χρυσό είτε ασημένιο. Αν αποδεχτείτε την εσφαλμένη επιχειρηματολογία για κάθε επιλογή σας, θα περιμένετε να επιλέξετε ένα ΧΑ γύρω  στις 1500 φορές, αλλά κάνετε λάθος. Η αλήθεια είναι γύρω στις 2000 από τις επιλογές σας θα είναι ΧΧ η ΑΑ, και μόνο γύρω στις 1000 θα είναι ΧΑ.

  Άρα η πιθανότητα να επιλέξετε το κουτί με τα διαφορετικά νομίσματα είναι 1/3.

  Το παράδοξο του Bertrand παρουσιάζει ομοιότητες με το «παράδοξο του Monty hall» ή «το δίλλημα του φυλακισμένου».

   Σε ένα άρθρο του 1950, ο Αμερικανός μαθηματικός Warren Weaver εισήγαγε έναν απλό τρόπο για τη διεξαγωγή του πειράματος στους ανθρώπους: τα κουτιά αντικαθίστανται από κάρτες, και τα χρυσά και ασημένια νομίσματα αντικαθίστανται από κόκκινο και μαύρο  χρώμα, μια σήμανση που διατίθενται σε κάθε μία από τις δύο όψεις κάθε κάρτας.

Δείτε και αυτά:

1.http://mathhmagic.blogspot.gr/2016/02/blog-post_28.html
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_box_paradox

3. http://www.daviddarling.info/encyclopedia/B/Bertrands_box_paradox.html