Τρεις υποψήφιοι γαμπροί, τρεις υποψήφιοι ηθοποιοί και τρία ζάρια. Το παράδοξο της μετάβασης!

  Άλλωστε τι είναι ένα παράδοξο;Απαντώ, μια αλήθεια που διαμαρτύρεται εντόνως !!                                                                                        

                                                                    Βάρδος Σλόγκαν (1720 -  )

  Έχω μια αδυναμία στις ποδοσφαιρικές-πολιτικές αντιπαραθέσεις, γίνονται επί ματαίω και είναι πολύ εύκολο εκ των υστέρων για τον καθένα να επισημαίνει λάθη και παραλείψεις. Οποιοσδήποτε έχει βρεθεί σε ποδοσφαιρικό ή πολιτικό πηγαδάκι γνωρίζει καλά ότι οι αναλύσεις και τα επιχειρήματα που προτάσσονται είναι επιπέδου γυμνασιακού σχολικού προαύλιου ,η επιτομή των στέρεων επιχειρημάτων. Ακλόνητα επιχειρήματα του τύπου: «Ο Ολυμπιακός είχε κερδίσει την ΑΕΚ ,η ΑΕΚ είχε κερδίσει τον Παναθηναϊκό άρα είναι λογικό και επόμενο αν παίξει ο Ολυμπιακός με τον Παναθηναϊκό να τον κερδίσει».

   Είναι έτσι; Τώρα, για να πούμε την αλήθεια, μοιάζει απολύτως εύλογο και συνάδει με την διαίσθηση μας, η άποψη  ότι οι προτιμήσεις ενός ορθολογικού ατόμου είναι πάντα μεταβατικές. Δηλαδή , αν ένα άτομο προτιμά το Α από το Β και επίσης προτιμά το Β από το Γ, και είναι πλήρως ορθολογικό, τότε προτιμά το Α από το Γ. Ας υποθέσουμε ότι η Μαρία σκέπτεται τον γάμο (εξαιρετικά πρωτότυπο). Προτιμά να παντρευτεί το Σταύρο από τον Γρηγόρη, καθώς είναι βέβαιο ότι βρίσκει τον Σταύρο πιο ενδιαφέροντα από τον Γρηγόρη. Επίσης προτιμά να παντρευτεί τον Σταύρο  από τον Γρηγόρη , καθώς τον βρίσκει πιο ενδιαφέροντα από τον Γρήγορη. Επίσης, η Μαρία  προτιμά να παντρευτεί τον Γρήγορη από τον Γιώργο, γιατί ο Γρήγορης είναι πολύ πιο ενδιαφέρων από τον Γιώργο. Ωστόσο, στην πραγματικότητα, σε μια επιλογή μεταξύ του Σταύρου και του Γιώργου, η Μαρία θα επέλεγε τον Γιώργο, που είναι πολύ λιγότερο  ενδιαφέρων, αλλά και πολύ πλουσιότερος. Η Μαρία είναι ιδιοτελής είναι όμως ανορθολογική;

Ας υποθέσουμε ότι ο Μπρους Τατσίνο, ο Μάρλον Μπενίρο και ο Κλιντ Ίπογουντ είναι υποψήφιοι για το όσκαρ Μακιγιάζ.

  Η καταμέτρηση των ψήφων έδειξε ότι τα 2/3 των ψηφισάντων κριτικών προτιμούν τον Αλ Τατσίνο από τον Ρόμπερτ Μπενίρο και τα 2/3 προτίμησαν τον Ρόμπερτ Μπενίρο από τον Κλιντ Ιπογουντ. Άρα οι περισσότεροι ψηφοφόροι προτιμούν τον Αλ Τατσίνο από τον Κλιντ Ίπογουντ; Όχι κατ΄ ανάγκην.                 

   Αν οι κριτικοί που ψήφισαν κατέταξαν με την ψήφο τους υποψηφίους όπως φαίνεται παρακάτω , τότε έχουμε ένα καταπληκτικό παράδοξο.

                    1/3 : Α  Β  Γ

                    1/3 : Β  Γ  Α

                    1/3 : Γ  Α  Β

(Α: Τατσίνο, Β:  Μπενίρο Γ: Ίπογουντ)

Οι τρεις υποψήφιοι δηλώνουν:

Αλ Τατσίνο : Τα 2/3 των ψηφοφόρων προτιμούν εμένα από τον Ρόμπερτ Μπενίρο.

Ρόμπερτ Μπενίρο : Τα 2/3 των ψηφοφόρων προτιμούν εμένα από τον Κλιντ Ίπογουντ.

Κλιντ Ίπογουντ.: Τα 2/3 των ψηφοφόρων προτιμούν εμένα από τον Αλ Τατσίνο.

Ένα ακόμα παράδειγμα που η μεταβατική σχέση δεν ισχύει…..

Μη μεταβατικά ζάρια

Δίνονται τρία ζάρια με έδρες :

                       Ζάρι Α : 3, 3, 3, 3, 3, 6

                       Ζάρι Β : 2, 2, 2, 5, 5, 5

                       Ζάρι Γ : 1, 4, 4, 4, 4, 4

  Το σετ των τριών ζαριών παρουσιάζει την εξής περίεργη ιδιότητα.Μακροπρόθεσμα, σε μια σειρά πολλών ρίψεων ανά ζεύγη, το ζάρι Α φέρνει μεγαλύτερο αποτέλεσμα από το ζάρι Β , το ζάρι Β φέρνει μεγαλύτερο αποτέλεσμα από το ζάρι Γ και το ζάρι Γ φέρνει μεγαλύτερο αποτέλεσμα από το ζάρι Α. Αν κατασκευάσουμε πίνακα διπλής εισόδου για να καταγράψουμε όλα τα δυνατά αποτελέσματα από την ρίψη των ζαριών Α και Β τότε:

Πίνακας διπλής εισόδου 
α :ένδειξη ζαριού Α μεγαλύτερη από την ένδειξη του ζαριού Β
β :ένδειξη ζαριού Β μεγαλύτερη από την ένδειξη του ζαριού Α        

Άρα P(A >B)=21/36, P(Β >Α)=15/36 έτσι           P(A >B)>P(Β >Α) 
Ανάλογα προκύπτει: 

Για την ρίψη των ζαριών Β και Γ :P(B >Γ)=21/36 , P(Γ >Β)=15/36 έτσι  P(B >Γ)>P(Γ >Β)

Για την ρίψη των ζαριών Γ και Α:P(Γ >A)=25/36 ,P(Α>Γ)=11/36 έτσι  P(Γ >Α)>P(Α >Γ)  
  Σε ένα παιχνίδι δυο παικτών με επιλογή ενός ζαριού από τον καθένα δεν έχει σημασία ποιο ζάρι θα επιλέξει ο πρώτος παίκτης, ο δεύτερος μπορεί να επιλέξει κάποιο από τα άλλα δυο που θα του δίνει πλεονέκτημα. Ένα τέτοιο σετ από ζάρια καλείται μη μεταβατικό (Nontransitive dice). Καθώς δεν ισχύει η μεταβατική ιδιότητα στις πιθανότητες για τα αποτελέσματα των ρίψεων.