Μαθη...μαγικά : Xαρτοδιπλωτική, μαθηματικά και τα αξιώματα των Huzita-Hatori

Κυριακή 5 Μαρτίου 2017

Xαρτοδιπλωτική, μαθηματικά και τα αξιώματα των Huzita-Hatori

"Η τέχνη είναι μια μεταδοτική δραστηριότητα. Όσο πιο μεταδοτική τόσο καλύτερη γίνεται."
                                                                                              Λέων Τολστόι

   Η τέχνη της αναπαράστασης σχημάτων από χαρτί εμφανίστηκε στην Κίνα στις αρχές του πρώτου αιώνα, όμως η συγκεκριμένη μορφή τέχνης γνώρισε το απόγειο της στην Ιαπωνία μετά τον έκτο αιώνα. Η ονομασία οριγκάμι προέρχεται από το ιαπωνικό ρήμα ori (διπλώνω) και το ουσιαστικό kami(χαρτί).Εκείνη την εποχή το χαρτί ήταν ακριβό και δυσεύρετο υλικό οπότε η παραδοσιακή τέχνη του οριγκάμι (origami) ξεκινά στα υψηλά στρωματά της Ιαπωνικής Μπουρζουαζίας. Πολύ αργότερα εισχώρησε σε κάθε στρώμα της Ιαπωνικής κοινωνίας και παράλληλα πέρασε τα σύνορα για να γίνει παγκόσμια πρακτική. Χρησιμοποιούνταν χρωματιστά χαρτιά, συνήθως, με διαστάσεις 10x10 εκατοστών για την δημιουργία και την αναπαράσταση λουλουδιών, παπύρων, ζωών, βαρκών και ότι άλλο μπορεί να βάλει το μυαλό του ανθρώπου.
Το πρώτο βιβλίο για την τέχνη του οριγκαμι (χαρτοδιπλωτική ελληνιστί),αφορά στην κατασκευή πουλιών με οριγκαμι και εκδόθηκε στην Ιαπωνία το 1797.Η τεχνική επεκτάθηκε μέχρι τις Αραβικές χώρες συμβάλλοντας αναπόφευκτα στην διάδοση αυτής της μορφής ψυχαγωγίας στην Δύση. Το Οριγκαμι χρησιμοποιείται γύρω στα 1000 μ.χ στην Ιταλία και στην Ισπανία.

Το πρώτο βιβλίο origami με τίτλο Hiden senbazuru orikata εκδόθηκε στην Ιαπωνία το 1797

Στην ιαπωνική παράδοση το σύνολο αποτελείται από τετράγωνα κομμάτια χρωματιστού χαρτιού και δομείται αρθρωτά, για να δώσει κομμάτια που μπορούν να προκύψουν από τον "εγκιβωτισμό" πολλών στοιχείων.
Το οριγκαμι, έχει πολλούς λάτρεις. Υπάρχουν σχετικές λέσχες και διοργανώνονται διαγωνισμοί ενώ ειδικοί διαδικτυακοί ιστοτοποι παρουσιάζουν μεθόδους κατασκευής απλών μοντέλων αλλά και πολύπλοκων συναρμολογήσεων. Σημειώνουμε την κατασκευή πολυγώνων από χαρτί, και στην συνέχεια συνόλων πολυγώνων για την δημιουργία πολυέδρων. Δείτε την κατασκευή ενός ρομβοκυβοκτάεδρου.

Στα τέλη της δεκαετίας του 1980, ο Ιταλοϊάπωνας μαθηματικός Humiaki Huzita συνέβαλε στη συστηματική διατύπωση έξι βασικών αξιωμάτων της γεωμετρίας του οριγκάμι. Στις αρχές της δεκαετίας του 2000, ο Koshiro Hatori ανέδειξε ένα έβδομο αξίωμα, το οποίο συμπλήρωνε το σύστημα. Αργότερα αναγνωρίστηκε ότι ο Γάλλος Jacques Justin είχε ήδη περιγράψει και τις επτά περιπτώσεις. Τα αξιώματα αυτά αποτελούν τη μαθηματική θεμελίωση των γεωμετρικών κατασκευών με διαδοχικές απλές διπλώσεις χαρτιού.

Τα επτά αξιώματα του Οριγκαμι

1)Δεδομένων δυο σημείων A και B ,υπάρχει μόνο μια πτύχωση που περνάει από τα δυο αυτά σημεία.
2)Δεδομένων δυο σημείων Α και Β , υπάρχει μια μόνο πτύχωση που τα φέρνει το ένα πάνω στο άλλο .
3)Δεδομένων δυο ευθειών Λ και Μ, υπάρχει μια πτύχωση που υπερθέτει την Λ στην Μ.
4)Δεδομένου ενός σημείου Α και μιας ευθείας Λ , υπάρχει μια μόνο κάθετη πτύχωση στην ευθεία που περνά από το Α.
5)Δεδομένων δυο σημείων Α και Β μιας ευθείας Λ,υπάρχει μια πτύχωση που διέρχεται από το Β και τοποθετεί το Α στην Λ.
6)Δεδομένων δυο σημείων Α και Β και δυο ευθειών Λ και Μ υπάρχει μια πτύχωση που φέρνει ταυτόχρονα το Α στην ευθεία Λ και το Β στην ευθεία Μ.
7) Δεδομένου ενός σημείου Α και δυο ευθειών Λ και Μ , υπάρχει μια πτύχωση που φέρνει το Α στην ευθεία Λ και είναι κάθετη στην ευθεία Μ.

Όταν ένα φύλλο χαρτιού νικά τον κανόνα και τον διαβήτη

Ποιος θα φανταζόταν ότι ένα απλό φύλλο χαρτιού θα μπορούσε να πετύχει εκεί όπου αποτυγχάνουν δύο από τα σπουδαιότερα εργαλεία της κλασικής γεωμετρίας;

Η απάντηση κρύβεται στο έκτο αξίωμα του οριγκάμι. Χάρη σε αυτό, μπορούμε να επιλύσουμε γεωμετρικά εξισώσεις τρίτου βαθμού και, μεταξύ άλλων, να κατασκευάσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους ισου με την κυβική ριζα του 2, ξεκινώντας από ένα μοναδιαίο τμήμα.

Έτσι μπορούμε να κατασκευάσουμε την ακμή ενός κύβου με διπλάσιο όγκο από έναν δεδομένο μοναδιαίο κύβο, λύνοντας το περίφημο Δήλιο πρόβλημα της αρχαιότητας.

Η μαθηματική δυνατότητα αυτή αναγνωρίστηκε ήδη το 1936 από την Ιταλίδα μαθηματικό Margherita Piazzolla Beloch.

Η χαρτοδιπλωτική αποδεικνύεται, λοιπόν, κάτι πολύ περισσότερο από μια διακοσμητική τέχνη: είναι ένα γεωμετρικό εργαλείο ικανό να διευρύνει τα όρια των κλασικών κατασκευών.

Δείτε και ένα άρθρο με την γεωμετρική επίλυση κυβικών εξισώσεων από τον Thomas C. Hull στο περιοδικό American Mathematical Monthly στον ηλεκτρονικό σύνδεσμο:

http://mars.wne.edu/~thull/papers/amer.math.monthly.118.04.307-hull.pdf

Ο Ρόμπερτ Λανγκ είναι πρωτοπόρος στο νεότερο είδος του οριγκάμι ,χρησιμοποιώντας μαθηματικά και αρχές μηχανικής διπλώνει συναρπαστικά και περίπλοκα σχέδια που είναι όμορφα και, μερικές φορές, πολύ χρήσιμα.

Παρακολουθήστε την ενδιαφέρουσα ομιλία του στο TED.(Έχει ελληνικούς υπότιτλους)