Ο καπετάν Μεμάς
όταν πέθανε, κληροδότησε στα επτά παιδιά του, το διόλου ευκαταφρόνητο ποσό των 2879
χρυσών λιρών, τις μοίρασε με τέτοιο
τρόπο έτσι ώστε ο λόγος του αριθμού των
λιρών που πήρε κάθε παιδί προς τον
αριθμό των λιρών που πήρε το αμέσως μεγαλύτερο είναι ακέραιος. Πόσες λίρες πήρε
το κάθε παιδί;
(Τα μερίδια είναι διαφορετικά)
Λύση στα σχόλια
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπάντηση
Έστω Α ο αριθμός των λιρών που πήρε το μεγαλύτερο παιδί τότε οι λίρες που πήραν τα επόμενα έξι είναι:
Α*Β , Α*Β*Γ, Α*Β*Γ*Δ , Α*Β*Γ*Δ*Ε , Α*Β*Γ*Δ*Ε*Ζ , Α*Β*Γ*Δ*Ε*Ζ*Η όπου
Α,Β,Δ,Ε,Ζ,Η φυσικοί αριθμοί.
Θα ισχύει:
Α+Α*Β+ Α*Β*Γ + Α*Β*Γ*Δ +Α*Β*Γ*Δ*Ε+ Α*Β*Γ*Δ*Ε*Ζ+ Α*Β*Γ*Δ*Ε*Ζ*Η=2879 (1)
Α* (1+Β+ Β*Γ + Β*Γ*Δ +Β*Γ*Δ*Ε+ Β*Γ*Δ*Ε*Ζ+ Β*Γ*Δ*Ε*Ζ*Η)=1*2879 ( 2879 πρώτος αριθμός )
Άρα Α=1 και η (1) γίνεται:
1+Β+ Β*Γ + Β*Γ*Δ +Β*Γ*Δ*Ε+ Β*Γ*Δ*Ε*Ζ+ Β*Γ*Δ*Ε*Ζ*Η=2879 ή
Β+ Β*Γ + Β*Γ*Δ +Β*Γ*Δ*Ε+ Β*Γ*Δ*Ε*Ζ+ Β*Γ*Δ*Ε*Ζ*Η=2878 (2) ή
Β(1+ Γ + Γ*Δ +Γ*Δ*Ε+ Γ*Δ*Ε*Ζ+ Γ*Δ*Ε*Ζ*Η)=2878 ( 2878=2*1439 ,1439 πρώτος αριθμός )
Άρα Β=2 και η (2) γίνεται:
2+ 2*Γ + 2*Γ*Δ +2*Γ*Δ*Ε+ 2*Γ*Δ*Ε*Ζ+ 2*Γ*Δ*Ε*Ζ*Η=2878 ή
2*Γ + 2*Γ*Δ +2*Γ*Δ*Ε+ 2*Γ*Δ*Ε*Ζ+ 2*Γ*Δ*Ε*Ζ*Η=2876 ή
Γ + Γ*Δ +Γ*Δ*Ε+ Γ*Δ*Ε*Ζ+ Γ*Δ*Ε*Ζ*Η=1438 (3) ή
Γ * (1+ Δ +Δ*Ε+ Δ*Ε*Ζ+ Δ*Ε*Ζ*Η)=1438 (1438=2*719,719 πρώτος αριθμός)
Άρα Γ=2 και συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε Δ=2,Ε=2,Ζ=2,Ζ=88
Υπολογίζουμε τα μερίδια
Α=1 ,Α*Β=1*2=2, Α*Β*Γ =1*2*2=4, Α*Β*Γ *Δ=1*2*2*2=8, Α*Β*Γ *Δ*Ε =16,
Α*Β*Γ *Δ*Ε* Ζ =32, Α*Β*Γ *Δ*Ε* Ζ* Η =32*88=2816
Άρα τα μερ΄1δια ειναι:1,2,4,8,16,32,2816