Ο ισχυρός νόμος των μικρών αριθμών και γιατί δεν πρέπει να πιστεύουμε στα μάτια μας!

 

 «Τόσο πολύ μου αρέσουν τα μαθηματικά που  αγαπώ οποιονδήποτε τα κατέχει, γι' αυτό μου αρέσει να  τον παρακολουθώ και να προσπαθώ να τον μιμηθώ όσο καλύτερα μπορώ, παρόλο που δεν είμαι πραγματικά  στη κατηγορία του.»

                                                                                                                  R. K. Guy

   Ο Richard Kenneth Guy (1916 –2020) (*) ήταν Άγγλος μαθηματικός. Το 1988, ο Guy έκανε μια δημοσίευση [1] στην οποία με πολύ χιούμορ-την αποκαλεί do it yourself operation- εξέφρασε τον ισχυρό νόμο των μικρών αριθμών. Για τη συγκεκριμένη δημοσίευση ο Guy έλαβε από την Αμερικανική Μαθηματική εταιρεία (ΜΑΑ) το βραβείο Lester R. Ford Award.

 Σύμφωνα με τον Ισχυρό Νόμο των Μικρών Αριθμών: 

«Δεν υπάρχουν μικροί αριθμοί αρκετοί για να ανταποκριθούν στις πολλές απαιτήσεις που τίθενται σε αυτούς».

Τι σημαίνει αυτό;

  Οι μικροί αριθμοί  παρουσιάζουν κομψά μοτίβα που παύουν να ισχύουν όταν οι αριθμοί μεγαλώσουν. Ενώ κατά βάση, τα μαθηματικά αφορούν συχνά την αναζήτηση προτύπων, είναι εξίσου σημαντικό (και δύσκολο) να αποφεύγονται  πρότυπα-μοτίβο που είναι παραπλανητικά.

 Να το κάνουμε φραγκοδίφραγκα. Πάρτε οποιονδήποτε θετικό ακέραιο μεγαλύτερο ή ίσο του 2. Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής είναι ξεκάθαρο, αυτός ο αριθμός έχει μια μοναδική παραγοντοποίηση πρώτων παραγόντων.

 Για παράδειγμα, 180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5, και όλοι οι παράγοντες του γινομένου είναι πρώτοι. O Ούγγρος μαθηματικός G.Pólya, το 1919, διατύπωσε την εικασία ότι τουλάχιστον οι μισοί από τους αριθμούς μεταξύ του 1 και του αριθμού μας θα έχουν περιττό αριθμό πρώτων παραγόντων στην ανάλυση τους σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Ας το δοκιμάσουμε με ένα μικρό παράδειγμα: επιλέξτε τον αριθμό 7, ας πούμε.

 Το 2, το 3, το 5 και το 7 είναι πρώτοι, οπότε το καθένα έχει έναν πρώτο παράγοντα (τον εαυτό του!), άρα έναν μονό αριθμό από αυτούς.

 4 = 2 x 2 και 6 = 2 x 3: έχουν άρτιο  αριθμό πρώτων παραγόντων.

 Το 1 είναι ειδική περίπτωση: δεν διαιρείται με κανέναν πρώτο, επομένως έχει 0 πρώτους παράγοντες – έναν άρτιο πλήθος από αυτούς.

  Αυτό κάνει τέσσερις αριθμούς μεταξύ 1 και 7 που έχουν περιττό αριθμό πρώτων παραγόντων, που είναι περισσότερο από το μισό  των επτά αριθμών μεταξύ 1 και 7. Άρα η  εικασία Pólya ισχύει για τον αριθμό 7.

  Ομολογουμένως ο υπολογισμός είναι μάλλον κουραστικός, αλλά αν δοκιμάζατε ένα εύλογο σύνολο αριθμών, θα είχατε πειστεί ότι η εικασία Pólya είναι αληθινή. Σε τελική ανάλυση, ο εγκέφαλός μας είναι  κατασκευασμένος να δημιουργεί μοτίβα κυρίως  εμπειρικά και από μεμονωμένα παραδείγματα.Πλην όμως αν είστε αρκετά διορατικοί και τεστάρετε  τον αριθμό 906150257, τα όνειρά σας θα καταρρεύσουν καθώς η εικασία Pólya δεν ισχύει!

Και το παραπάνω φαινόμενο-παραπλάνηση συμβαίνει συχνά στα μαθηματικά, για παράδειγμα,

● Οι αριθμοί  31,331,3331,33331,333331,3333331,33333331 είναι όλοι πρώτοι αριθμοί όμως ο επόμενος 333333331 δεν είναι καθώς 333333331 =17*19607843.

● Η ακολουθία με τύπο αν=[ e^((ν-1)/2)],όπου [x] η συνάρτηση ακέραιο μέρος δίνει 10 διαδοχικούς όρους της ακολουθίες Fibonnaci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ,μοτίβο που γεννά την  υποψία ότι παράγει όλους τους όρους της Fibonacci προτού εμφανιστεί  ο 11ος όρος (91) και το διαψεύσει πανηγυρικά.

 ● Ο  Γάλλος μαθηματικός Fermat, αφού παρατήρησε ότι οι αριθµοί:

 2^(2^0)+ 1=3

 2^(2^1)+1=5

2^(2^2))+1=17

2^(2^3))+1=257

2^2^4))+1=65537
είναι πρώτοι,  ισχυρίστηκε ότι συµβαίνει το ίδιο για όλους τους αριθµούς της µορφής 2^(2^ν))+1 , όπου ν φυσικός αριθµός. Αυτό τελικά αποδείχθηκε ψευδές, και το μικρότερο αντιπαράδειγμα βρέθηκε από τον Euler ο οποίος βρήκε ότι  2^(2^5))+1=641*6700417=4294967297.

  Ο κίνδυνος εξαγωγής ψευδών συμπερασμάτων από παραδείγματα μικρών αριθμών αναφέρεται χιουμοριστικά ως ο ισχυρός νόμος των μικρών αριθμών, μια φράση που όπως προαναφέρθηκε την επινόησε ο Richard K. Guy.

Ο  Guy παρουσίασε πολυάριθμες περιπτώσεις μοτίβων που εμφανίζονται για μικρούς αριθμούς και σε κάθε περίπτωση ο αναγνώστης καλείται να προτείνει εάν το μοτίβο ισχύει γενικά. Ο Guy υπερθεματίζει:

"Δεν μπορείς να συμπεράνεις μόνο κοιτώντας", μια παράφραση του «τα φαινόμενα απατούν» αλλά στο βασίλειο των μαθηματικών.

  Αυτό δεν σημαίνει ότι τα παραδείγματα με μικρούς αριθμούς δεν είναι χρήσιμα, αντιθέτως έχουν τεράστια αξία. Συχνά στα μαθηματικά, ένα μοτίβο εμφανίζεται για μικρές περιπτώσεις, οδηγώντας σε μια εικασία ότι το μοτίβο ισχύει γενικά. Κάποια στιγμή, ίσως πολλά χρόνια αργότερα, μια επόμενη απόδειξη επιβεβαιώσει την αλήθεια της. Ο κίνδυνος γενίκευσης έγκειται στην περιστασιακή περίπτωση όπου το μοτίβο είναι απλώς μια συγκυρία των περιπτώσεων δοκιμής μας.

  Ποιος νοιάζεται αν ένα μοτίβο χαλάει μόνο για  πολύ μεγάλες τιμές; Λοιπόν, κάποιοι θα μπορούσαν να αναφερθούν στο πώς και τα πιο μικροσκοπικά μαθηματικά λάθη θα μπορούσαν να οδηγήσουν σε καταστροφή του πραγματικού κόσμου, και πράγματι η ιστορία χαρακτηρίζεται από περιστατικά αυτής της φύσης.   

   Για να είμαστε δίκαιοι, ωστόσο, τα περισσότερα προβλήματα αυτού του τύπου θα βρουν ελάχιστη έως καθόλου εφαρμογή στο εγγύς μέλλον. Οι μαθηματικοί απλώς τα μελετούν ικανοποιώντας την  ιδιορρυθμία του σιναφιού, είναι το ίρτζι τους κατά το  φιλόσοφο Θρασύβουλο.(**) Μερικοί μαθηματικοί επίσης παρηγορούνται στην ιδέα ότι μια μαθηματική αλήθεια είναι το πιο κοντινό πράγμα σε μια αδιαμφισβήτητη αλήθεια.

  Τελειώνοντας, θα ήθελα να αναφερθώ στην εικασία του Collatz, αναμφισβήτητα το πιο διαβόητο άλυτο πρόβλημα που αντιμετωπίζει η πρόκληση του Ισχυρού Νόμου των Μικρών Αριθμών.Τα έχουμε ξαναπεί,η εικασία είναι απίστευτα απλή στη διατύπωση: πάρτε τον αγαπημένο σας θετικό ακέραιο n. Εάν είναι περιττός, αλλάξτε το σε 3n+1. αν είναι άρτιος, μείωσε το στο μισό. Επαναλάβετε ξανά και ξανά. Θα φτάσουμε τελικά στον αριθμό 1 ανεξάρτητα από τον αρχικό μας αριθμό;

  Τη στιγμή που γράφονται αυτές οι γραμμές, η μαθηματική κοινότητα δεν είναι καν κοντά στην επίλυση του προβλήματος. Αυτό που έχουμε είναι ένα τεράστιο πλήθος επαληθεύσεων: οι υπολογιστές έχουν ελέγξει την ισχύ της εικασίας για αριθμούς μέχρι 2^68, οπού τελικά καταλήγουμε  στον αριθμό 1. Αλλά σε σύγκριση με την  απειρία των αριθμών  που υπάρχουν στο μαθηματικό σύμπαν, οι επαληθεύσεις δεν είναι παρά ενδείξεις και τίποτα άλλο.

(*)Ο Richard Kenneth Guy ( 1916 –2020) ήταν Άγγλος μαθηματικός. Διατέλεσε καθηγητής μαθηματικών στο τμήμα μαθηματικών του πανεπιστήμιου του Calgary στον Καναδά. Οι εργασίες του αφορούν την Θεωρία αριθμών, την Γεωμετρία,  την Συνδυαστική, τη θεωρία γράφων αλλά και τα ψυχαγωγικά μαθηματικά. Γνωστός στο ευρύ κοινό από τη συνεργασία του με τους  John Conway  και  Elwyn Berlekamp  για τα συγγραφή  του εξαιρετικού Winning Ways for your Mathematical Plays  που αφορά τη μαθηματική ανάλυση μιας σειράς από γνωστά παίγνια καθώς  και για τη συγγραφή του κλασικού Unsolved Problems in Number Theory.

Περαιτέρω παραπομπές

(1)https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Guy697-712.pdf

(2)https://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=LawOfSmall

(3) https://mathworld.wolfram.com/StrongLawofSmallNumbers.html