Eureka

«…όπως συμβαίνει, υπάρχουν περισσότεροι από ένας τρόποι για να λυθεί ένα πρόβλημα. Υπάρχει αυτό που συνήθως αναφέρεται ως ο «χοντροκομμένος τρόπος», σε αντιδιαστολή με τον «εκλεπτυσμένο τρόπο», όπου με τον δεύτερο αναφερόμαστε στις κομψές μεθόδους επίλυσης.Για να κατανοήσουμε καλύτερα αυτήν την διάκριση,ας θεωρήσουμε το ακόλουθο πρόβλημα:

«Αν το άθροισμα δυο αριθμών είναι 2 και το γινόμενο τους είναι 3,να βρεθεί το άθροισμα των αντιστρόφων αυτών των δυο αριθμών.»

Οι προσπάθειες επίλυσης του ακολούθου συστήματος εξισώσεων x+y=2 και xy=3 συγκαταλέγονται στους «χοντροκομμένους» τρόπους επίλυσης του προβλήματος, με αντικατάσταση του y στη δεύτερη εξίσωση παίρνουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση x2-2x+3=0. Χρησιμοποιωντας τον τύπο των ριζών παίρνουμε ως λύσεις x=1+i√2, x=1-i√2 .Με πρόσθεση των αντιστρόφων αυτών των τιμών του εμφανίζεται ως απάντηση 2/3.Προκειται για μια μάλλον κοπιαστική διαδικασία και όχι ιδιαίτερα κομψή.

Ο «εκλεπτυσμένος τρόπος» λειτούργει ανάποδα. Θεωρώντας το επιθυμητό αποτέλεσμα και αναζητώντας μια παράσταση,η οποία να περιέχει το δεδομένο άθροισμα,παίρνουμε ως αποτέλεσμα το 2/3.Η απάντηση στο αρχικό πρόβλημα είναι τώρα προφανής.Αυτή είναι προφανώς η κομψότερη λύση από την προηγούμενη.

Ο «κομψότερος» τρόπος επίλυσης αυτού του προβλήματος μας υποδεικνύει μια πολύ χρήσιμη και συχνά παραμελημένη μέθοδο επίλυσης.Η αντίστροφη στρατηγική ασφαλώς δεν είναι κάτι νέο. Εξετάστηκε από τον Πάππο τον Αλεξανδρινό γύρω στο 330 μ.Χ. Στο 7ο βιβλίο από το έργο του συναγωγή υπάρχει μια αρκετά αναπτυγμένη περιγραφή των μεθόδων της «ανάλυσης» και της σύνθεσης.»

Challenging problems in Algebra and Geometry, A. Posamentier, C. Salkin