.png)
"Μάθετε το απέξω και χρησιμοποιήστε το, και εγώ δεν ξέρω γιατί λειτουργεί η καφετιέρα αλλά την χρησιμοποιώ κάθε πρωί!"
Μήτσος 52, καθηγητής μαθηματικών
Τώρα θα διηγηθώ τη ιστορία της ζωής σας. Έχετε βρεθεί σε μια κοινωνική συνάθροιση και γνωρίζετε ένα άνθρωπο, δεν έχει σημασία το φύλο, η ηλικία, η οικογενειακή του κατάσταση. Αν του έχετε πει τι δουλειά κάνετε και αισθανθεί άνετα μαζί σας, θα σκύψει συνωμοτικά και θα σας ξεφουρνίσει φάτσα κάρτα: «Μεταξύ μας, πάντα αντιπαθούσα τα μαθηματικά !» ή «Στο σχολείο δεν τα κατάφερνα στην Γεωμετρία!» ή «Την ώρα των μαθηματικών βαριόμουν αφόρητα!» ή «Δεν τα καταλάβαινα!» ή «Ο κιαρατάς, ο καθηγητής δεν τα έλεγε καλά!»
Σε αυτό ακριβώς το σημείο, αντιδράτε με ψυχραιμία, γελάτε με συγκατάβαση και απομακρύνεστε με τα χέρια στις τσέπες για να μην αρχίσετε τα φάσκελα. Αντιλαμβάνομαι ότι τα μαθηματικά σαν αντικείμενο απαιτούν απόλυτη σαφήνεια και περισσή ακρίβεια όταν ελπίζεις να την σκαπουλάρεις με τσιτάτα και θράσος. Ο Μαλκολμ X(*) ήταν ξεκάθαρος:" Λυπάμαι που το λέω αλλά μισώ τα μαθηματικά. Το έχω σκεφτεί. Νομίζω ότι οφείλεται στο γεγονός ότι τα μαθηματικά δεν αφήνουν περιθώριο για αντίλογο. Αν κάνεις λάθος, έκανες λάθος και αυτό είναι!"
Εντάξει, υπάρχουν αντικείμενα που δεν ενθουσιάζουν τους πάντες, αλλά αυτοί τους οποίους δεν ενθουσιάζουν τείνουν να κατανοούν απόλυτα ότι κάποιους άλλους τους συνεπαίρνουν. Αντιθέτως, τα μαθηματικά, και κάθε γνωστικό αντικείμενο που απαιτεί στιβαρό μαθηματικό υπόβαθρο, όπως η φυσική, φαίνεται να προκαλούν όχι απλά αδιαφορία αλλά πραγματική αντιπάθεια. Σε τι οφείλεται το γεγονός ότι πολλοί άνθρωποι εγκαταλείπουν μαθηματικά γνωστικά αντικείμενα αμέσως μόλις μπορέσουν και τα θυμούνται με τρόμο και δυσφορία σε όλη την υπόλοιπη ζωή τους. Ίσως αυτό που βρίσκουν οι άνθρωποι μη ελκυστικό δεν είναι τόσο τα μαθηματικά αυτά καθαυτά όσο η εμπειρία των μαθημάτων τους. Διδάσκω μαθηματικά κοντά μια εικοσαπενταετία και το κατανοώ σε ένα βαθμό. Επειδή κάθε νέα μαθηματική γνώση στηρίζεται πάνω σε προηγούμενες, είναι σημαντικό να μην αφήνονται κενά κατά την εκμάθηση τους. Για παράδειγμα, αν κάποιος δεν έχει εξοικειωθεί αρκετά με την κατασκευή γεωμετρικών σχημάτων και δεν μπορεί να αντιληφθεί ας πούμε την έκφραση «προεκτείνω την ΑΒ κατά τμήμα ΒΕ ίσο με το ΓΔ…» είναι πολύ πιθανό κάθε άσκηση –πρόβλημα στην Ευκλείδεια γεωμετρία που γίνεται αναφορά σε προέκταση να κάνει λάθος και να μην καταφέρνει στην συνέχεια να κατανοήσει οτιδήποτε.
Υπάρχουν πολλές παρόμοιες αλυσίδες, αλλά για να μην αφήνουν οι μαθητές κενά στα μαθηματικά δεν αρκεί να διατηρούν κάποια τεχνική ευχέρεια. Κάθε τόσο εισάγεται μια νέα έννοια που είναι πολύ σημαντική και αισθητά πολυπλοκότερη από την προηγούμενη, και με κάθε τέτοια έννοια υπάρχει το ενδεχόμενο να μείνει κάποιος πίσω. Ένα προφανές παράδειγμα, είναι η χρήση γραμμάτων στη θέση των αριθμών, που μπερδεύει πολλούς αλλά είναι και απολύτως προαπαιτούμενη για όλα τα μαθηματικά από κάποιο επίπεδο και πάνω. Επί παραδείγματι, οι αρνητικοί αριθμοί, οι μιγαδικοί αριθμοί, οι λογάριθμοι, η τριγωνομετρία, και ο απειροστικός λογισμός. Όσοι μαθητές δεν είναι ώριμοι να κάνουν το απαραίτητο εννοιολογικό άλμα όταν συναντούν κάποια από αυτές τις έννοιες θα αισθάνονται στην συνέχεια ανασφάλεια με όλα τα μαθηματικά που βασίζονται σε αυτή. Σταδιακά, θα συνηθίσουν να μισοκαταλαβαίνουν όσα λένε οι καθηγητές των μαθηματικών τους, και ύστερα από μερικά ακόμα άλματα που δεν θα καταφέρουν να ακολουθήσουν θα διαπιστώσουν ότι καταλαβαίνουν πολύ λιγότερα ακόμα και από τα μισά. Το κερασάκι στην τούρτα είναι τα μαθήματα να παραδίδονται από εριστικούς ή είρωνες καθηγητές την ίδια στιγμή που οι υπόλοιποι διδασκόμενοι παρακολουθούν την ύλη χωρίς καμία δυσκολία. Δεν είναι λοιπόν περίεργο που τα μαθήματα μαθηματικών γίνονται, για πολλούς ανθρώπους, ένα είδος κάτεργου.
Είναι όμως αυτή η κατάσταση αναπόφευκτη; Είναι απλώς κάποιοι άνθρωποι καταδικασμένοι να αντιπαθούν τα μαθηματικά στο σχολείο; Ή θα ήταν δυνατόν να διδάσκεται το μάθημα διαφορετικά, με τέτοιο τρόπο ώστε να αποκλείονται τελικά από αυτό πολύ λιγότεροι άνθρωποι; Παρότι θα ακουστεί αιρετικό και ίσως λίγο προβοκατόρικο έχω την πεποίθηση ότι αν κάποιο παιδί λάβει από μικρή ηλικία ιδιαίτερα μαθήματα μαθηματικών από κάποιον καλό και παθιασμένο δάσκαλο, θα μεγαλώσει με αγάπη για τα μαθηματικά. Δεν ανακαλύψαμε την Αμερική αλλά από αυτό, βέβαια, δεν προκύπτει αμέσως κάποια εφαρμόσιμη πολιτική διδασκαλίας, τουλάχιστον δείχνει ότι πιθανόν να υπάρχει περιθώριο βελτίωσης στον τρόπο διδασκαλίας των μαθηματικών. Τι προτείνω;
Είναι πολύ διαφορετικό πράγμα η τεχνική επάρκεια και ο αλγεβρικός χειρισμός από την κατανόηση δύσκολων εννοιών, αλλά στην πλειοψηφία τους μαθητές που είναι καλοί στο ένα είναι καλοί και στο άλλο. Και πράγματι, αν η κατανόηση ενός μαθηματικού αντικείμενου είναι σε μεγάλο βαθμό ζήτημα εκμάθησης των κανόνων στους οποίους υπάκουει και όχι κατανόησης της ουσίας του, τότε αυτό ακριβώς θα περίμενε κανείς- η διάκριση μεταξύ τεχνικής επάρκειας και μαθηματικής κατανόησης είναι λιγότερο ξεκάθαρη από όσο θα φανταζόταν κανείς. Μπορεί να λύνω μια εκθετική εξίσωση επειδή ακολουθώ κάποιους κανόνες, μια αλγοριθμική διαδικασία βημάτων χωρίς να αντιλαμβάνομαι το βαθύτερο μηχανισμό τους, πλην όμως, έχω επιτύχει το σκοπό μου. Έχω λύσει την εξίσωση!
Πως θα μπορούσε να επηρεάσει αύτη η παρατήρηση τον τρόπο παράδοσης των μαθηματικών στις σχολικές αίθουσες; Τι μας ωφελεί η συγκεκριμένη παρατήρηση; Υπάρχει αντίκρισμα στην σχολική αίθουσα την ώρα της παράδοσης; Όταν αποτύχει η εμβάθυνση στις έννοιες, ως εναλλακτική αναπτύσσουμε στους μαθητές αυτοματισμούς. Για παράδειγμα, αν υποθέσουμε ότι ένας μαθητής κάνει το συνηθισμένο λάθος να νομίζει ότι x^(μ+ν)=x^μ+x^ν. Ένας δάσκαλος που τονίζει το νόημα εκφράσεων όπως η xα θα επισημάνει ότι ο όρος x^(μ+ν) σημαίνει πολλαπλασιασμό μ+ν το πλήθος x μεταξύ τους, το οποίο είναι προφανώς το ίδιο με μ το πλήθος x πολλαπλασιασμένα μεταξύ τους. Δυστυχώς, για πολλά παιδιά αυτός ο συλλογισμός είναι πολύ σύνθετος για να τον εμπεδώσουν, και μεταξύ μας παύει να ισχύει αν τα μ και ν δεν είναι θετικοί ακέραιοι.
Σε αυτά τα παιδιά μπορεί να φανεί χρήσιμη μια πιο αφηρημένη προσέγγιση. Όλα όσα χρειάζεται να γνωρίζει κανείς για τις δυνάμεις μπορούν να συναχθούν από μερικούς πολύ απλούς κανόνες, ο σημαντικότερος από τους οποίους είναι ο x^(μ+ν)=x^μ *x^ν. Αν αυτός ο κανόνας έχει τονιστεί, όχι μόνο είναι λιγότερο πιθανό να συμβεί το παραπάνω λάθος, αλλά είναι και ευκολότερο να διορθώσουμε το μαθητή λέγοντας ότι :«Δεν εφάρμοσες το σωστό κανόνα!». Βέβαια, είναι σημαντικό να είναι εξοικειωμένος με κάποια βασικά πράγματα όπως ότι x3 σημαίνει x επί x επί x, αλλά αυτά μπορούν να παρουσιαστούν ως αποτελέσματα των κανόνων παρά ως αιτιολογήσεις τους.
Αυτό που προτείνω δεν είναι ότι δεν πρέπει κανείς να προσπαθήσει να εξηγήσει στα παιδιά τι είναι η αφηρημένη προσέγγιση, αλλά απλά ότι οι δάσκαλοι θα πρέπει να γνωρίζουν ότι ανοίγουν τον ασκό του Αιόλου. Το βασικότερο είναι ότι μπορεί κάποιος κάλλιστα να μάθει να χρησιμοποιεί σωστά τις μαθηματικές έννοιες χωρίς να μπορεί να πει τι ακριβώς σημαίνουν. Επιμείνετε λοιπόν σε αυτοματισμούς. Μπορεί κανείς να χρησιμοποιεί το ποντίκι του υπολογιστή και να το κατευθύνει στην οθόνη χωρίς να είναι σε θέση να εξηγήσει το μηχανισμό με τον οποίο επιτυγχάνεται η χρήση του. Αν και αυτή η προσέγγιση μπορεί να φαίνεται στρεβλή, ωστόσο η χρήση της είναι συχνά ευκολότερο να διδαχτεί, και η βαθύτερη κατανόηση του νοήματος, αν υπάρχει κάποιο νόημα πάνω και πέρα από την χρήση, πολλές φορές ακολουθεί από μόνη της. Αλλά το έχω ξαναπεί: Μπορεί να είναι έτσι αλλά μπορεί να είναι και αλλιώς…
(* )O Μάλκολμ Χ (Malcolm X 1925 - 1965), γεννημένος ως Μάλκολμ Λιτλ (Malcolm Little) ήταν Αμερικανός μουσουλμάνος ιερέας και ακτιβιστής πολιτικών δικαιωμάτων.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου