Κακοπαιδικά λήμματα: Πόσο δεινοί λύτες μαθηματικών προβλημάτων πρέπει να είστε για να μπορείτε να διδάξετε;

ll

.. τους ζήτησε να πάρουν τον κόκκινο μαρκαδόρο και να γράψουν στο πίνακα  μπλε,  η τάξη στην αρχή ήταν αμήχανη, πως στην ευχή, μπορείς με ένα κόκκινο μαρκαδόρο να γράψεις μπλε; Πήρε τον μαρκαδόρο και έγραψε στον πίνακα  «μπλε»... 

                                                                     Αλι Νταρ Νασάθ,  Η σχολική τάξη   

 

 Συχνό θέμα σε διαδικτυακά και μη πηγαδάκια μαθηματικών. Ο καθηγητής μαθηματικών οφείλει να είναι άριστος λύτης μαθηματικών προβλημάτων; Αρκεί  ένα ρεπερτόριο ασκήσεων για την διδασκαλία; Αν είναι δεινός λύτης και έχει αυτοματοποιήσει την επίλυση, πόση μεταδοτικότητα έχει στην τάξη; Ο μέτριος και ο κακός μαθητής  τι έχουν να κερδίσουν από ένα τέτοιο δάσκαλο; Από την άλλη,  ένας καθηγητής μαθηματικών που δεν μπορεί να λύσει ένα μαθηματικό πρόβλημα που απαιτεί κάτι παραπάνω από την  εφαρμογή ενός γνωστού κανόνα ή μιας απλής αλγοριθμικής προσέγγισης  τι είδους καθηγητής είναι; Ο καθένας έχει γνώμη από την οπτική του. Αφετηρία στην σκέψη μου, το γεγονός ότι πήρατε το πτυχίο του μαθηματικού, συνεπώς ακόμα και αν δεν είστε λύτης έχετε το υπόβαθρο να γίνετε και οφείλετε να το κάνετε. Αν θέλετε να είστε  επαρκής πρέπει να κατέχετε πολλαπλάσια από όσα θα κληθείτε να διδάξετε. Μην εγκλωβίζεστε στην σχολική ύλη. Μην «πατάτε»  για το μάθημα σας αποκλειστικά σε σημειώσεις ή σχολικά βοηθήματα. Ένα σχολικό βοήθημα όσο καλογραμμένο και αν είναι,  πάντα έχει βασικό άξονα την συνταγή-μεθοδολογία. Ας αναλογιστούμε τι είναι η μεθοδολογία στα μαθηματικά. Μια παροχή οδηγιών με στόχο την επίλυση τυποποιημένων κατηγοριών ασκήσεων,  άραγε σε τι διαφέρει από ένα βιβλίο με συνταγές μαγειρικής; Η μεθοδολογία στην καλύτερη μορφή της συνίσταται από τη διδασκαλία βασικών αρχών μαθηματικής ευρετικής σκέψης (αναλυτική ή συνθετική μέθοδος). Δεν θα τους μαθαίνετε συνταγές, βολικό δεν λέω και καμιά φορά μονόδρομος αλλά δεν τους βοηθάτε να «κάνουν» μαθηματικά. Κάποιες φορές θα έχετε την αίσθηση ότι ματαιοπονείτε,  θυμάμαι να βάζω σε διαγώνισμα στην Γ λυκείου στις πιθανότητες , τις ηρωικές εποχές που οι πιθανότητες εξετάζονταν πανελλαδικά, ερώτημα: Ποια η πιθανότητα να γράψετε διαγώνισμα σήμερα; Παραπάνω από τους μισούς να γράφουν άλλα αντ’ άλλων. Επιμείνετε, έχει συμβεί σε όλους μας!

  Πρέπει να αποκτήσετε μαθηματική κουλτούρα λύτη, φροντίστε να μάθετε από τους μεγάλους, μελετήστε βιβλία με ευρετική ματιά και οπτική που θα σας πηγαίνει παραπέρα (Polya, Zeitz, Engels, Liu, Posamentier, Wagon,..).  Θυμάμαι όταν έπεσε στα χέρια μου το βιβλίο του Εngels,  «Problem Solving Strategies»  ένιωσα ότι δεν γνώριζα τίποτα! Πάνω από μια δεκαετία,  «ρολλάριζα», αντιπαραγώγιζα,  ολοκλήρωνα και αναζητούσα μανιωδώς αυτά τα έρμα τα ξ. Νόμιζα ότι έκανα μαθηματικά, κατ’ουσιαν ανακύκλωνα τις ίδιες και ίδιες ασκήσεις, υπερβολικά τεχνικές,  υπερβολικά δύσκολες με ελάχιστη διδακτική στοχοθεσια.  Ο λόγος; Τα τελευταία χρόνια στην πανελλαδικές στα μαθηματικά είχαν μεγάλη ζήτηση ασκήσεις ανάλυσης στα βαριά υπαρξιακά θεωρήματα,  μια ολόκληρη γενιά καθηγητών έθισε σε αυτού του είδους τις ασκήσεις  τους μαθητές της τρίτης λυκείου. Αρκεί να σκεφτεί κανείς ότι τα θέματα στα μαθηματικά της τελευταίας εικοσαετίας σε ποσοστό 98% άρχιζαν με την έκφραση: «Δίνεται συνάρτηση f με  f(x)=…»

 Αν μια χρονιά τα θέματα τίθενται με ύλη γυμνασίου και άλλη δομή,  για παράδειγμα αυτήν των εισαγωγικών εξετάσεων στα πρότυπα. Προβλήματα, γεωμετρία,  τριγωνομετρία, άλγεβρα ακόμα και ποσοστά οι υποψήφιοι με το ζόρι θα περνούσαν τη βάση!

    Ο Πέτρος Τόγκας υπήρξε εξαίρετος μαθηματικός,  καθηγητής στην Βαρβάκειο με πλούσιο συγγραφικό έργο,  οι παλιότεροι μαθηματικοί  θυμούνται τα βιβλία του,  οι νεότεροι ίσως να μην τον ξέρουν αλλά σίγουρα έχουν λύσει  ασκήσεις του στις τάξεις τους.  Έλεγε λοιπόν,  ο Π. Τόγκας σε μια διάλεξη του,  το 1936, όταν το σύστημα των εισαγωγικών εξετάσεων μέτραγε ήδη 10 χρόνια εφαρμογής.  

  …τα ελαττώματα αυτά είναι βεβαίως σοβαρά. Μεταβάλουν τον χαρακτήρα και τον κυριώτερον σκοπό της διδασκαλίας των μαθηματικών,  ο οποίος είναι να μορφώσωμεν τον νουν των μαθητών,  σύμφωνα με τας αρετάς και τας αρχάς που έχουν τα μαθηματικά. 

Τα μαθηματικά δεν δύνανται πλέον να θεωρηθούν ως το μάθημα της ευθυκρισίας, της τάξεως,  αλλά ως μια μηχανή, όπως ανέφερον προηγουμένως. 

Που πρέπει να προσδώσουμε τα φαινόμενα αυτά;

Τα αίτια βεβαίως είναι πολλά,  μεταξύ αυτών αναφέρω το αναλυτικό πρόγραμμα της ύλης των μαθηματικών, την διάταξιν της ύλης αυτών, την διατύπωσιν αυτής εις τα διδακτικά βιβλία κ. λ. π. 

Άλλο αίτιο θεωρώ την ύπαρξιν των διαφόρων διαγωνισμών για την εισαγωγήν των μαθητών εις τας ανωτάτας σχολάς του κράτους. Η ύπαρξις των διαγωνισμών, το περιεχόμενον των θεμάτων τα οποία δίδονται εις τους υποψηφίους,περιεχόμενον το οποίο δεν ελέγχει την κρίσιν αλλά την απομνημόνευσιν επουσιωδών λεπτομερειών, η κατακραυγή των εφημερίδων και της κοινής γνώμης, η οποία επακολουθεί πάντοτε την έκδοσιν των αποτελεσμάτων, ότι οι μαθητές μας δεν γνωρίζουν ορθογραφίαν,  μαθηματικά,  όλα αυτά έχουν απορροφήσει το μεγαλύτερον μέρος της προσοχής,  όχι μόνον των μαθητών,  αλλά και των καθηγητών. Εάν θελήσωμεν να συμβουλεύσωμεν ένα μαθητή να προσέξη, να συγκεντρώση περισσότερον τα προσπάθειας του  εις τα δεσπόζοντα σημεία μιας επιστήμης, θα μας απαντήση:

«Δεν υπάρχουν εις την επιστήμην, δια τους μαθητές λεπτομέρειαι περισσότερον ενδιαφέρουσαι η μια της άλλης, ούτε δεσπόζοντες παράγοντες. Όσα αναγράφονται εις το πρόγραμμα, είναι πιθανόν να ζητηθούν  κατά τας εξετάσεις  και δια τούτο πρέπει να τα μάθωμε οπωσδήποτε.» Και πράγματι τα μανθάνουν μηχανικώς,  αδιαφορούντες δια την μόρφωσιν του πνεύματος. Αλλά το σπουδαιότερο και αναμφισβήτητον αίτιον του παρατηρουμένου κακού, είναι το διδακτικόν σύστημα που επεκράτει και επικρατεί μέχρι σήμερον εις τα σχολεία μας.   

 Το κλείνω με μια παραίνεση. Αν υπάρχει ένα αντικείμενο που συμπυκνώνει την πεμπτουσία των μαθηματικών ως τρόπο σκέψης και αντίληψης αυτό είναι η  γεωμετρία  (Ευκλείδεια, Αναλυτική,.. ) Εικοσιένα συναπτά έτη σε όλους τους χώρους που δούλευα, επιδίωκα να αναλάβω τις γεωμετρίες παρότι ήξερα ότι τα τελευταία χρόνια το μάθημα είναι πλήρως απαξιωμένο. Αδίκως, σκεφτείτε ότι από τις 65 Διεθνείς Ολυμπιάδες που έχουν πραγματοποιηθεί τίθενται κατά μέσο όρο κάθε φορά 2, 3 θέματα Ευκλείδειας γεωμετρίας στα 6. Περίπου το 37% των θεμάτων είναι γεωμετρία.  Αυτό συμβαίνει επειδή οι θεματοδότες γνωρίζουν πως είναι ο καλύτερος τρόπος για να επιλέξεις τον καλύτερο. Ο Ρουμάνος μαθηματικός-γεωμέτρης Day Barbilian, σημειώνει: 

«Η πόρτα για να εισέλθει κανείς στον Αρχαίο Ελληνικό κόσμο δεν είναι κατ’ ανάγκη ο Όμηρος. Η Ελληνική Γεωμετρία είναι μια πόρτα ανοικτή διάπλατα,  που προσφέρει στα μάτια ένα λιτό, αλλά ουσιώδες τοπίο. Ο Πλάτων μας έδωσε τη δυνατότητα να καταλάβουμε την ασυμμετρία του λόγου της διαγωνίου προς την πλευρά και ο Πλάτων επίσης μας βοήθησε να απαριθμήσουμε τα πέντε κανονικά πολύεδρα».