Το περπάτημα του μεθυσμένου και το μυρμήγκι του Πόλια

 

"Ένας μεθυσμένος άντρας θα βρει τον δρόμο για το σπίτι του.

Ένα μεθυσμένο πουλί, όμως, μπορεί να χαθεί για πάντα."

  Σε παλιές αμερικανικές ταινίες –αυτές με τους τροχονόμους, τα καπέλα και τα αυστηρά βλέμματα– υπάρχει ένα κλασικό τεστ για τον εντοπισμό των μεθυσμένων οδηγών: ο ύποπτος καλείται να περπατήσει σε ευθεία γραμμή. Μια δοκιμασία απλή, σχεδόν προσβλητική για έναν νηφάλιο άνθρωπο. Για έναν άνθρωπο όμως που έχει έρθει σε στενή επαφή με το ουίσκι, η «ευθεία» μετατρέπεται σε αφηρημένη μαθηματική έννοια.

Αυτό ακριβώς είναι το λεγόμενο «βάδισμα του μεθυσμένου». Κάθε βήμα γίνεται με καλή πρόθεση, αλλά χωρίς σαφή κατεύθυνση: ένα μπροστά, ένα πίσω, ένα στο πλάι, κι αν είμαστε τυχεροί… ξανά στο σημείο απ’ όπου ξεκινήσαμε. Πρόοδος μηδέν, εμπειρίες πολλές.

Αν περπατάμε κανονικά σε ευθεία γραμμή και κάθε βήμα έχει μήκος ένα μέτρο, τότε μετά από Ν βήματα βρισκόμαστε Ν μέτρα μακριά από την αρχή. Απλό. Αν όμως περπατάμε όπως ο μεθυσμένος, τότε τα πράγματα μπερδεύουν. Πόσα βήματα χρειάζονται για να απομακρυνθούμε Ν μέτρα; Ή, αλλιώς, μετά από Ν βήματα τέτοιου είδους, πόσο μακριά έχουμε πραγματικά φτάσει;

Το πρόβλημα αυτό δεν είναι απλώς διασκεδαστικό –αν και είναι– αλλά εξαιρετικά χρήσιμο. Με τέτοιου τύπου «μεθυσμένα» μοντέλα περιγράφεται, για παράδειγμα, η διάχυση της θερμότητας. Να γιατί, όταν ανάβουμε το καλο-ριφέρ, δίπλα του λιώνουμε και στην άλλη άκρη του δωματίου φοράμε ακόμα μπουφάν. Τα μόρια του αέρα, μόλις ζεσταθούν, αρχίζουν να κινούνται γρηγορότερα, αλλά όχι οργανωμένα. Κινούνται χαοτικά, όπως ακριβώς ο μεθυσμένος στον δρόμο για το σπίτι.

  Για να το δούμε απλά, ας φανταστούμε ότι ρίχνουμε ένα νόμισμα. Κορώνα: ένα βήμα μπροστά. Γράμματα: ένα βήμα πίσω. Αν επαναλάβουμε αυτή τη διαδικασία πολλές φορές, προκύπτει ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα: κατά μέσο όρο, για να απομακρυνθεί κανείς Ν μέτρα από την αρχή, χρειάζεται περί-που Ν² βήματα. Θέλουμε να πάμε 10 μέτρα μακριά; Χρειαζόμαστε γύρω στα 100 βήματα. Για 50 μέτρα; Περίπου 2.500 βήματα. Με τέτοιο ρυθμό, δεν είναι περίεργο που το δωμάτιο αργεί να ζεσταθεί.

Και σαν να μην έφτανε αυτό, τα μόρια, όσο απομακρύνονται από την πηγή θερμότητας, χάνουν και ενέργεια. Με άλλα λόγια: όχι μόνο περπατούν σαν μεθυσμένα, αλλά κρυώνουν κιόλας.

Ας αφήσουμε τώρα τον μεθυσμένο και ας γνωρίσουμε ένα μυρμήγκι. Φανταστείτε ένα μυρμήγκι μέσα σε έναν άπειρο, στριφτό σωλήνα. Το μυρμήγκι αυτό δεν έχει σχέδιο ζωής. Κάνει έναν τυχαίο περίπατο: ένα βήμα μπροστά ή ένα πίσω, για πάντα. Ο σωλήνας είναι άπειρος. Καμία έξοδος, καμία ταμπέλα «προς αφετηρία». Ποια είναι η πιθανότητα, αν περπατήσει επ’ άπειρον, να επιστρέψει τελικά στο σημείο απ’ όπου ξεκίνησε;

Το 1921, ο Ούγγρος μαθηματικός Τζώρτζ Πόλια απέδειξε κάτι που ακούγεται απίστευτο: η πιθανότητα είναι 1. Δηλαδή, είναι βέβαιο ότι το μυρμήγκι θα επιστρέψει. Όχι γρήγορα, όχι κομψά, αλλά σίγουρα. Αν το μυρμήγκι ζούσε σε έναν δισδιάστατο κόσμο –ένα επίπεδο– και μπορούσε να κινείται βόρεια, νότια, ανατολικά ή δυτικά, το αποτέλεσμα παραμένει το ίδιο: αργά ή γρήγο-ρα, θα γυρίσει σπίτι.

Όμως ο κόσμος μας είναι τρισδιάστατος, και εδώ τα πράγματα αλλάζουν δραματικά. Στον τρισδιάστατο χώρο, το μυρμήγκι μπορεί πραγματικά να χαθεί. Η πιθανότητα να επιστρέψει στην αφετηρία του πέφτει στο περίπου 34%. Όχι τραγικά μικρή, αλλά σίγουρα όχι καθησυχαστική. Σε ακόμα περισσότερες διαστάσεις, η πιθανότητα μειώνεται κι άλλο, περίπου όσο η πιθανότητα να γυρίσει πίσω ακριβώς στο δεύτερο βήμα.

Με άλλα λόγια, αν το μυρμήγκι δεν σταθεί τυχερό από νωρίς, τότε το μέλλον του είναι ένα ατελείωτο περπάτημα στο άγνωστο. Χωρίς σπίτι. Χωρίς αφετηρία. Και χωρίς καμία ελπίδα ότι «κάποια στιγμή θα ισορροπήσει η κατάσταση».  Όπως και με τον μεθυσμένο.

Τελικά, η τυχαιότητα δεν υπόσχεται δικαιοσύνη ούτε ισορροπία.

Δεν ενδιαφέρεται αν περπατήσαμε πολύ, αν κουραστήκαμε ή αν «μας χρωστάει» μια επιστροφή. Άλλοτε μας φέρνει ξανά στην αφετηρία και άλλοτε μας αφήνει να περιπλανιόμαστε για πάντα. Το μόνο βέβαιο είναι ότι δεν θυμάται τα προηγούμενα βήματά μας — κι ίσως αυτός να είναι ο πιο ειλικρινής κανόνας του κόσμου.