Το 1816, ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους γράφει στον Κρίστιαν Λούντβιχ Γκέρλινγκ από το Γκέτινγκεν. Ο Γκέρλινγκ του είχε αποστείλει επιστολή τον Μάρτιο σχετικά με τη θεωρία των παραλλήλων του Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ, όπως αυτή παρουσιάζεται στο έργο *Στοιχεία Γεωμετρίας*. Ο Γκάους απαντά ότι η επιχειρηματολογία του Λεζάντρ δεν τον πείθει ως αυστηρή απόδειξη και προχωρεί σε σκέψεις για το τι θα συνέβαινε εάν η ευκλείδεια γεωμετρία δεν ήταν η ορθή περιγραφή του χώρου.
Είναι εύκολο να δειχθεί ότι, αν η γεωμετρία του Ευκλείδη δεν είναι η αληθινή, τότε δεν υπάρχουν όμοια σχήματα: οι γωνίες ενός ισοπλεύρου τριγώνου εξαρτώνται από το μήκος των πλευρών του — κάτι που δεν παρουσιάζει καμία λογική αντίφαση. Στην περίπτωση αυτή, η γωνία είναι συνάρτηση της πλευράς και η πλευρά συνάρτηση της γωνίας, με τη σχέση να περιλαμβάνει μία γραμμική σταθερά. Παρότι αυτό φαίνεται εκ πρώτης όψεως παράδοξο, δεν εμπεριέχει αντίφαση. Αντιθέτως, θα ήταν ίσως επιθυμητό να μην ισχύει η ευκλείδεια γεωμετρία, διότι τότε θα υπήρχε ένα καθολικό μέτρο μήκους εκ των προτέρων· για παράδειγμα, θα μπορούσε να θεωρηθεί ως μονάδα το μήκος της πλευράς ενός ισοπλεύρου τριγώνου με γωνία 59° 59′ 59″.99999…
Η θεωρία των παραλλήλων αφορά το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη, γνωστό ως αξίωμα των παραλλήλων. Σύμφωνα με αυτό, από ένα σημείο εκτός μιας ευθείας διέρχεται μία και μόνο μία ευθεία που δεν τέμνει την αρχική, δηλαδή είναι παράλληλη προς αυτήν.
Για πολλούς αιώνες, οι μαθηματικοί προσπάθησαν να αποδείξουν το αξίωμα αυτό ως θεώρημα. Ο Λεζάντρ υπήρξε ένας από εκείνους που επιχείρησαν να το θεμελιώσουν αυστηρά, χωρίς όμως πλήρη επιτυχία.
Όταν εξετάστηκε η άρνηση του αξιώματος, προέκυψαν νέες γεωμετρικές θεωρίες, οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Σε μία από αυτές, την υπερβολική γεωμετρία, από ένα σημείο εκτός μιας ευθείας διέρχονται περισσότερες από μία παράλληλες προς αυτήν. Αυτό οδηγεί σε ιδιότητες όπως ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο από 180°.
Ο Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ συνέγραψε τη *Θεωρία των Παραλλήλων* προσπαθώντας να αποδείξει το αξίωμα μέσω απαγωγής σε άτοπο. Αντί όμως να καταλήξει σε αντίφαση, οδηγήθηκε σε αξιοσημείωτα και συνεπή συμπεράσματα, τα οποία σήμερα θεωρούνται πρόδρομα της υπερβολικής γεωμετρίας. Το έργο του προηγήθηκε κατά περίπου πενήντα χρόνια των εξελίξεων που συνδέονται με τον Νικολάι Λομπατσέφσκι και τον Γιάνος Μπόλυαϊ.
Τα βασικά συμπεράσματά του είναι τα εξής:
1. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρότερο από 180°.
2. Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ανάλογο προς τη διαφορά του από τις 180°.(Εννοεί ότι σε έναν καμπύλο (υπερβολικό) χώρο, το μέγεθος ενός τριγώνου δεν εξαρτάται μόνο από τις πλευρές του, αλλά και από το πόσο “στραβός” είναι ο χώρος του.)
3. Υπάρχουν συνεπίπεδες ευθείες που δεν τέμνονται, έχουν κοινή κάθετο και απομακρύνονται μεταξύ τους και προς τις δύο κατευθύνσεις.
4. Υπό ορισμένες συνθήκες, μία κάθετη που υψώνεται από μία ευθεία δεν τέμνει μία άλλη ευθεία του ίδιου επιπέδου.
5. Κατά την κατασκευή κανονικών πολυγώνων με ίσες πλευρές και ίσες γωνίες, τα κορυφαία σημεία δεν βρίσκονται κατ’ ανάγκη πάνω σε κύκλο· ισοδύναμα, οι μεσοκάθετοι δεν συγκλίνουν υποχρεωτικά σε κοινό σημείο.
6. Υπάρχουν φυσικά, εγγενή μέτρα για το μήκος και το εμβαδόν.(Εννοεί ότι σε μια καμπυλωμένη επιφάνεια ,δεν χρειάζεσαι χάρακα. Το ίδιο το “λύγισμα” του χώρου σου λέει τι είναι μεγάλο και τι μικρό.)
Έτσι, μέσα από την αμφισβήτηση ενός φαινομενικά αυτονόητου αξιώματος, άνοιξε ο δρόμος για μια βαθύτερη κατανόηση της γεωμετρίας και της ίδιας της έννοιας του χώρου.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου