Έστω: • N, ο συνολικός αριθμός σκαλιών της κυλιόμενης σκάλας (αν ήταν ακίνητη). • κ, η ταχύτητα της σκάλας (σε σκαλιά ανά μονάδα χρόνου). • υ, η ταχύτητα της συζύγου. • 2υ, η ταχύτητα του μαθηματικού. Ο μαθηματικός Η σκάλα έχει συνολικά 42 σκαλιά όταν είναι ακίνητη. Ανέβηκε 28 σκαλιά, άρα ο χρόνος που χρειάστηκε είναι t1=28/2υ=14/υ Στο διάστημα αυτό η σκάλα τον ανέβασε επιπλέον κ*(14/υ) σκαλιά. Επομένως: N=28+14κ/υ (1) Η σύζυγος Ανέβηκε 21 σκαλιά, άρα ο χρόνος της είναι t2=21/υ Η σκάλα την ανέβασε κ*(21/υ) σκαλιά Επομένως: N=21+21κ/υ (2) Εξισώνοντας τις (1) και (2) έχουμε: 28+14κ/υ=21+21κ/υ === 28-21=21κ/υ-14κ/υ === 7=7κ/υ === κ/υ=7/7 === κ/υ=1 (3) Αντικαθιστούμε τη τιμή της (3) στην (1) κι΄’εχουμε: N=28+14κ/υ === Ν=28+14*1 === Ν=28+14 === Ν=42 σκαλιά Ή Έστω ότι η ταχύτητα της συζύγου είναι μια μονάδα χρόνου και του μαθηματικού 2 μονάδες χρόνου. Ο μαθηματικός ανέβηκε τα 28 σκαλιά με ταχύτητα 2 μονάδες, άρα χρειάστηκε 28/2=14 μονάδες χρόνου. Η σύζυγος ανέβηκε 21 σκαλιά με ταχύτητα μια μονάδα, άρα χρειάστηκε 21 μονάδες χρόνου. Η σύζυγος χρειάστηκε 7 μονάδες χρόνου παραπάνω. Σ' αυτές τις 7 μονάδες χρόνου η σκάλα την ανέβασε ακριβώς τα επιπλέον 7 σκαλιά που δεν ανέβηκε με τα πόδια (αφού ο μαθηματικός ανέβηκε 7 περισσότερα σκαλιά: 28−21=7). Άρα η σκάλα κινείται με ταχύτητα 1 σκαλί ανά μονάδα χρόνου, δηλαδή όσο και η σύζυγος. Επομένως, όσο ο μαθηματικός ανεβαίνει με τα πόδια τα 28 σκαλιά, η σκάλα τον ανεβάζει άλλα 14 σκαλιά (14 μονάδες χρόνου × 1 σκαλί/μονάδα χρόνου). Συνολικά: 28+14=42 σκαλιά
Λοιπόν! Για να βρούμε τον αριθμό σκαλιών που θα βλέπαμε αν η σκάλα ήταν ακίνητη, αρκεί να βρούμε την ταχύτητα της σκάλας στην μονάδα του χρόνου για να δούμε πόσα σκαλιά "δωρίζει" στον μαθηματικό και την σύζυγό του. Η ταχύτητα του μαθηματικού είναι είναι 2Υκαι της συζύγου του Υ.Αρχικά θα πρέπει να βρούμε πόσες φορές μεγαλύτερος είναι ο χρόνος της συζύγου από τον χρόνο του μαθηματικού.Εστω tΜ ο χρόνος του μαθηματικού και tΣ ο χρόνος της συζύγου. Ο μαθηματικός έκανε 28 βήματα με διπλάσια ταχύτητα (2Υ) ενώ η σύζυγος 21 βήματα με απλή ταχύτητα (Υ). Οι χρόνοι τους είναι: tM=28/2Υ=14/Υ και tΣ=21/Υ Διαιρούμε τους δύο χρόνους για να βρούμε την μεταξύ τους σχέση: tΣ/tM= (21/Υ)/(14/Υ) =21/14 =1,5 Άρα,ο χρόνος της συζύγου είναι ακριβώς 1,5 φορές μεγαλύτερος από τον χρόνο του μαθηματικού (tΣ=1,5tM). Πάμε τώρα στην κίνηση της σκάλας. Έστω Υe η ταχύτητα της σκάλας. Τα σκαλιά που "χάρισε" η σκάλα στον καθένα προκύπτουν από την ταχύτητά της επί των χρόνο του καθενός. Στων μαθηματικό "χάρισε": SM=Ye*tM Στην σύζυγο "χάρισε": SΣ=Ye*tΣ=Υe*(1,5*tM)=1,5*SM Το συνολικό ύψος της σκάλας (Ν) είναι το ίδιο και στις δύο περιπτώσεις: Ν=28+ SM (για τον μαθηματικό) και Ν=21+1,5 SM ( για την σύζυγο) Εξισώσουμε τις δύο εκφράσεις: 28 + SM=21 +1,5 SM 7=0,5 SM=> SM = 14 σκαλιά. Τελική σύνδεση ταχυτήτων Ξέρουμε ότι ο μαθηματικός στα tm δευτερόλεπτα ανέβηκε 28 σκαλιά, άρα η ταχύτητα του είναι 2Υ=28/tm Στον ίδιο χρόνο tm η σκάλα ανέβηκε SM= 14 σκαλιά ρος άρα η ταχύτητα της είναι Ye=14/tm. Συγκρίνοντας τις δύο ταχύτητες: 2Υ/Υe= 28/14 = 2=>Ye=Y. Συμπέρασμα. Αφού ταχύτητα της σκάλας (Ye) ισούται με Η και εξ ορισμού είχαμε θέσει την ταχύτητα της συζύγου ως Υ, αποδεικνύεται μαθηματικά ότι η σκάλα και η σύζυγος κινούνται με την ίδια ακριβώς ταχύτητα (ένα σκαλί στην μονάδα του χρόνου). Οπότε αφού βρήκαμε την ταχύτητα της σκάλας, εύκολα μπορούμε να βρούμε σκαλοπάτια χάρισε στον μαθηματικό και στη σύζυγό του. Στον μαθηματικό καθότι η σκάλα τρέχει με τη μισή ταχύτητα του ,του "χάρισε" 14 σκαλοπάτια. Οπότε τα σκαλοπάτια που θα βλέπαμε είναι 28 + 14 = 42. Στην σύζυγο ,καθότι έχει την ίδια ταχύτητα με την σκάλα, της χάρισε ακριβώς όσο σκαλοπάτια περπάτησε, άρα 21 και 21 = 42. Συνεπώς αν η σκάλα ήταν ακινήτη θα βλέπαμε 42 σκαλιά!!!
Έστω:
ΑπάντησηΔιαγραφή• N, ο συνολικός αριθμός σκαλιών της κυλιόμενης σκάλας (αν ήταν ακίνητη).
• κ, η ταχύτητα της σκάλας (σε σκαλιά ανά μονάδα χρόνου).
• υ, η ταχύτητα της συζύγου.
• 2υ, η ταχύτητα του μαθηματικού.
Ο μαθηματικός
Η σκάλα έχει συνολικά 42 σκαλιά όταν είναι ακίνητη.
Ανέβηκε 28 σκαλιά, άρα ο χρόνος που χρειάστηκε είναι
t1=28/2υ=14/υ
Στο διάστημα αυτό η σκάλα τον ανέβασε επιπλέον
κ*(14/υ) σκαλιά.
Επομένως:
N=28+14κ/υ (1)
Η σύζυγος
Ανέβηκε 21 σκαλιά, άρα ο χρόνος της είναι
t2=21/υ
Η σκάλα την ανέβασε
κ*(21/υ) σκαλιά
Επομένως:
N=21+21κ/υ (2)
Εξισώνοντας τις (1) και (2) έχουμε:
28+14κ/υ=21+21κ/υ === 28-21=21κ/υ-14κ/υ === 7=7κ/υ ===
κ/υ=7/7 === κ/υ=1 (3)
Αντικαθιστούμε τη τιμή της (3) στην (1) κι΄’εχουμε:
N=28+14κ/υ === Ν=28+14*1 === Ν=28+14 === Ν=42 σκαλιά
Ή
Έστω ότι η ταχύτητα της συζύγου είναι μια μονάδα χρόνου και του μαθηματικού 2 μονάδες χρόνου.
Ο μαθηματικός ανέβηκε τα 28 σκαλιά με ταχύτητα 2 μονάδες, άρα χρειάστηκε 28/2=14 μονάδες χρόνου.
Η σύζυγος ανέβηκε 21 σκαλιά με ταχύτητα μια μονάδα, άρα χρειάστηκε 21 μονάδες χρόνου.
Η σύζυγος χρειάστηκε 7 μονάδες χρόνου παραπάνω. Σ' αυτές τις 7 μονάδες χρόνου η σκάλα την ανέβασε ακριβώς τα επιπλέον 7 σκαλιά που δεν ανέβηκε με τα πόδια (αφού ο μαθηματικός ανέβηκε 7 περισσότερα σκαλιά: 28−21=7).
Άρα η σκάλα κινείται με ταχύτητα 1 σκαλί ανά μονάδα χρόνου, δηλαδή όσο και η σύζυγος.
Επομένως, όσο ο μαθηματικός ανεβαίνει με τα πόδια τα 28 σκαλιά, η σκάλα τον ανεβάζει άλλα 14 σκαλιά (14 μονάδες χρόνου × 1 σκαλί/μονάδα χρόνου).
Συνολικά: 28+14=42 σκαλιά
Λοιπόν! Για να βρούμε τον αριθμό σκαλιών που θα βλέπαμε αν η σκάλα ήταν ακίνητη, αρκεί να βρούμε την ταχύτητα της σκάλας στην μονάδα του χρόνου για να δούμε πόσα σκαλιά "δωρίζει" στον μαθηματικό και την σύζυγό του.
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ ταχύτητα του μαθηματικού είναι είναι 2Υκαι της συζύγου του Υ.Αρχικά θα πρέπει να βρούμε πόσες φορές μεγαλύτερος είναι ο χρόνος της συζύγου από τον χρόνο του μαθηματικού.Εστω tΜ ο χρόνος του μαθηματικού και tΣ ο χρόνος της συζύγου.
Ο μαθηματικός έκανε 28 βήματα με διπλάσια ταχύτητα (2Υ) ενώ η σύζυγος 21 βήματα με απλή ταχύτητα (Υ).
Οι χρόνοι τους είναι:
tM=28/2Υ=14/Υ και
tΣ=21/Υ
Διαιρούμε τους δύο χρόνους για να βρούμε την μεταξύ τους σχέση:
tΣ/tM= (21/Υ)/(14/Υ) =21/14 =1,5
Άρα,ο χρόνος της συζύγου είναι ακριβώς 1,5 φορές μεγαλύτερος από τον χρόνο του μαθηματικού (tΣ=1,5tM).
Πάμε τώρα στην κίνηση της σκάλας. Έστω Υe η ταχύτητα της σκάλας.
Τα σκαλιά που "χάρισε" η σκάλα στον καθένα προκύπτουν από την ταχύτητά της επί των χρόνο του καθενός.
Στων μαθηματικό "χάρισε":
SM=Ye*tM
Στην σύζυγο "χάρισε":
SΣ=Ye*tΣ=Υe*(1,5*tM)=1,5*SM
Το συνολικό ύψος της σκάλας (Ν) είναι το ίδιο και στις δύο περιπτώσεις:
Ν=28+ SM (για τον μαθηματικό) και
Ν=21+1,5 SM ( για την σύζυγο)
Εξισώσουμε τις δύο εκφράσεις:
28 + SM=21 +1,5 SM
7=0,5 SM=> SM = 14 σκαλιά.
Τελική σύνδεση ταχυτήτων
Ξέρουμε ότι ο μαθηματικός στα tm δευτερόλεπτα ανέβηκε 28 σκαλιά, άρα η ταχύτητα του είναι
2Υ=28/tm
Στον ίδιο χρόνο tm η σκάλα ανέβηκε SM= 14 σκαλιά ρος άρα η ταχύτητα της είναι Ye=14/tm.
Συγκρίνοντας τις δύο ταχύτητες:
2Υ/Υe= 28/14 = 2=>Ye=Y.
Συμπέρασμα.
Αφού ταχύτητα της σκάλας (Ye) ισούται με Η και εξ ορισμού είχαμε θέσει την ταχύτητα της συζύγου ως Υ, αποδεικνύεται μαθηματικά ότι η σκάλα και η σύζυγος κινούνται με την ίδια ακριβώς ταχύτητα (ένα σκαλί στην μονάδα του χρόνου).
Οπότε αφού βρήκαμε την ταχύτητα της σκάλας, εύκολα μπορούμε να βρούμε σκαλοπάτια χάρισε στον μαθηματικό και στη σύζυγό του. Στον μαθηματικό καθότι η σκάλα τρέχει με τη μισή ταχύτητα του ,του "χάρισε" 14 σκαλοπάτια. Οπότε τα σκαλοπάτια που θα βλέπαμε είναι 28 + 14 = 42.
Στην σύζυγο ,καθότι έχει την ίδια ταχύτητα με την σκάλα, της χάρισε ακριβώς όσο σκαλοπάτια περπάτησε, άρα 21 και 21 = 42.
Συνεπώς αν η σκάλα ήταν ακινήτη θα βλέπαμε 42 σκαλιά!!!