Δύο πορτοφόλια, ένας γρίφος και ο Μορίς Κράιτσικ

Σαν σήμερα, το 1957  πέθανε ο  Μορίς Κράιτσικ (Maurice Kraitchik)

(21 Απριλίου 1882, Μινσκ – 19 Αυγούστου 1957, Βρυξέλλες)

Ο Μορίς Κράιτσικ ήταν Βέλγος μαθηματικός, συγγραφέας και δημιουργός παιχνιδιών. Τα κύρια ενδιαφέροντά του ήταν η θεωρία αριθμών και τα ψυχαγωγικά μαθηματικά.

Έγινε ιδιαίτερα γνωστός επειδή, το 1953, παρουσίασε ένα πρόβλημα που θεωρείται πρόδρομος του περίφημου προβλήματος των δύο φακέλων (Two Envelopes Problem). Στο βιβλίο του La mathématique des jeux («Τα μαθηματικά των παιχνιδιών») διατύπωσε το ακόλουθο παράδοξο:

  Δύο άνθρωποι, εξίσου πλούσιοι, συναντιούνται για να συγκρίνουν τα χρήματα που έχουν στα πορτοφόλια τους. Κανένας από τους δύο δεν γνωρίζει πόσα χρήματα περιέχει ούτε το δικό του ούτε το πορτοφόλι του άλλου.

 Το παιχνίδι έχει ως εξής: εκείνος που έχει τα λιγότερα χρήματα παίρνει ολόκληρο το περιεχόμενο του πορτοφολιού του άλλου. Αν τα ποσά είναι ίσα, δεν συμβαίνει τίποτε.

Ο ένας από τους δύο μπορεί να συλλογιστεί:

 «Ας υποθέσουμε ότι έχω στο πορτοφόλι μου ένα ποσό A. Αυτό είναι το μέγιστο ποσό που μπορώ να χάσω. Αν κερδίσω —με πιθανότητα 0,5— τότε το ποσό που θα έχω στην κατοχή μου στο τέλος του παιχνιδιού θα είναι μεγαλύτερο από 2A. Επομένως, το παιχνίδι είναι συμφέρον για μένα».

 Όμως και ο άλλος μπορεί να κάνει ακριβώς τον ίδιο συλλογισμό.

Στην πραγματικότητα, εξαιτίας της συμμετρίας, το παιχνίδι είναι δίκαιο. 

Πού βρίσκεται λοιπόν το λάθος στον συλλογισμό του καθενός;

Ο Κράιτσικ έγραψε αρκετά βιβλία σχετικά με τη θεωρία αριθμών κατά την περίοδο 1922–1930, καθώς και μετά τον Β΄ Παγκόσμιο Πόλεμο. Από το 1931 έως το 1939 υπήρξε επίσης εκδότης του περιοδικού Sphinx, το οποίο ήταν αφιερωμένο στα ψυχαγωγικά μαθηματικά.

Ο Κράιτσικ εισήγαγε τον όρο αυτομορφικοί αριθμοί (automorphic numbers) για αριθμούς που εμφανίζονται ξανά ως τα τελευταία ψηφία του τετραγώνου τους. Για παράδειγμα:

                                  25^2=625 και 376^2=141376.

Παρατηρούμε ότι το (625) τελειώνει σε 25, ενώ το 141376 τελειώνει σε 376.

Το 1942 εισήγαγε επίσης τον όρο κρυπταριθμητική (cryptarithmetic) για προβλήματα στα οποία τα ψηφία αντικαθίστανται από γράμματα, όπως το πασίγνωστο:

   SEND

+MORE

==========

MONEY

Κατά τη διάρκεια του Β΄ Παγκοσμίου Πολέμου, ο Κράιτσικ μετανάστευσε στις Ηνωμένες Πολιτείες. Εκεί δίδαξε στη New School for Social Research της Νέας Υόρκης ένα μάθημα με γενικό αντικείμενο τα «μαθηματικά παιχνίδια και ψυχαγωγίες» (mathematical recreations).