Οι κύκλοι του Giuseppe Malfatti

 Σαν σήμερα, 26 Σεπτεμβρίου 1731, γεννήθηκε ο Giovanni Francesco Giuseppe Malfatti

Στις 26 Σεπτεμβρίου 1731 γεννήθηκε στην πόλη Ala του Τρεντίνο ο Ιταλός μαθηματικός Giovanni Francesco Giuseppe Malfatti (1731–1807), το όνομα του οποίου έμελλε να συνδεθεί με ένα από τα πιο γνωστά —και πιο παραπλανητικά— προβλήματα της γεωμετρίας.

 Ο Malfatti σπούδασε στην Μπολόνια, με δασκάλους σημαντικούς μαθηματικούς της εποχής, όπως ο Vincenzo Riccati, και αργότερα εγκαταστάθηκε στη Φεράρα. Όταν το Πανεπιστήμιο της Φεράρας επανιδρύθηκε το 1771, έγινε καθηγητής του. Το 1782 ήταν επίσης ένας από τους ιδρυτές της Società Italiana delle Scienze, μιας από τις σημαντικές επιστημονικές εταιρείες της Ιταλίας.

Η φήμη του, ωστόσο, συνδέθηκε κυρίως με ένα γεωμετρικό πρόβλημα που διατύπωσε το 1803.

Ο Malfatti φαντάστηκε ένα τριγωνικό κομμάτι μαρμάρου και έθεσε το ερώτημα:

Πώς μπορούμε να κόψουμε από αυτό τρεις κυκλικές κολόνες, έτσι ώστε να αξιοποιήσουμε όσο το δυνατόν περισσότερο μάρμαρο; (1ο σχολιο)

Η πρότασή του ήταν εξαιρετικά κομψή. Θεώρησε ότι η καλύτερη λύση θα προέκυπτε αν τοποθετούσαμε μέσα στο τρίγωνο τρεις κύκλους που εφάπτονται ανά δύο μεταξύ τους και ταυτόχρονα εφάπτονται στις πλευρές του τριγώνου.

Οι κύκλοι αυτοί έμειναν στην ιστορία ως κύκλοι του Malfatti.

Το εντυπωσιακό είναι ότι η γεωμετρική κατασκευή είναι τόσο όμορφη και τόσο συμμετρική, ώστε για πολλά χρόνια θεωρήθηκε φυσικό ότι θα έδινε και τη μέγιστη δυνατή συνολική επιφάνεια.

Όμως η ομορφιά δεν εγγυάται πάντοτε τη βελτιστοποίηση.

Αποδείχθηκε αργότερα ότι η εικασία του Malfatti ήταν λανθασμένη.

Για τα περισσότερα τρίγωνα μπορεί κανείς να καταλάβει μεγαλύτερο συνολικό εμβαδόν χρησιμοποιώντας μια διαφορετική στρατηγική: πρώτα τοποθετεί τον μεγαλύτερο δυνατό κύκλο μέσα στο τρίγωνο και στη συνέχεια τοποθετεί τους επόμενους δύο κύκλους στις μεγαλύτερες διαθέσιμες περιοχές που απομένουν.

Στο ισόπλευρο τρίγωνο η διαφορά είναι μικρή — λίγο πάνω από 1%. Σε άλλα τρίγωνα όμως μπορεί να είναι εντυπωσιακή.

Ο μαθηματικός Howard Eves επισήμανε το 1946 ότι σε ένα πολύ λεπτό ισοσκελές τρίγωνο, με εξαιρετικά οξεία κορυφή, μια διαφορετική διάταξη τριών κύκλων μπορεί να καλύπτει συνολική επιφάνεια σχεδόν διπλάσια από εκείνη των κύκλων του Malfatti.

Και το τελικό χτύπημα στην αρχική εικασία ήταν ακόμη πιο ισχυρό:

οι κύκλοι του Malfatti δεν αποτελούν τη βέλτιστη λύση σε κανένα τρίγωνο.

Υπάρχει μάλιστα και μια ακόμη ενδιαφέρουσα ιστορική ανατροπή. Παρότι οι κύκλοι φέρουν το όνομα του Malfatti, παρόμοιες κατασκευές είχαν μελετηθεί νωρίτερα από τον Ιάπωνα μαθηματικό Ajima Naonobu, αλλά και από τον Ιταλό Gilio di Cecco da Montepulciano.

Έτσι, το πρόβλημα του Malfatti αποτελεί ένα εξαιρετικό παράδειγμα μιας βαθύτερης μαθηματικής ιδέας:

μια λύση μπορεί να είναι κομψή, συμμετρική και εντυπωσιακή, χωρίς να είναι η καλύτερη δυνατή.

Και ίσως αυτή να είναι μία από τις πιο όμορφες υπενθυμίσεις που μας προσφέρουν τα μαθηματικά:

η αισθητική μπορεί να μας οδηγήσει σε μια εικασία· η απόδειξη είναι εκείνη που αποφασίζει αν η εικασία είναι σωστή.