Στις 28 Οκτωβρίου 1752, ο σπουδαίος μαθηματικός Λέοναρντ Όιλερ (Leonhard Euler) γράφει μια επιστολή στον Κρίστιαν Γκόλντμπαχ (Christian Goldbach), στην οποία αναφέρει ότι γνωρίζει μόλις επτά τέλειους αριθμούς.
Οι αριθμοί αυτοί προκύπτουν από τον τύπο:
N=2^(p-1)(2^p-1)
για τις τιμές: p=2,3,5,7,13,17,19.
Στην ίδια επιστολή, ο Όιλερ παραδέχεται ότι δεν είναι βέβαιος αν ο αριθμός
2^31-1=2.147.483.647
είναι πρώτος. Σήμερα γνωρίζουμε ότι πράγματι είναι.
Προσθέτει, επίσης, ότι αν ο αριθμός αυτός έχει κάποιον μη τετριμμένο διαιρέτη, τότε αυτός θα πρέπει να είναι της μορφής:
64n+1.
Οι πρώτοι αριθμοί της μορφής 2^p-1 ονομάζονται πρώτοι αριθμοί του Μερσέν (Mersenne primes).
Μέχρι τον Ιανουάριο του 2020 είχαν ανακαλυφθεί μόλις 51 τέτοιοι πρώτοι αριθμοί.
Στις 21 Οκτωβρίου 2024, ανακοινώθηκε η ανακάλυψη ενός ακόμη, ανεβάζοντας τον συνολικό αριθμό των γνωστών πρώτων του Μερσέν στους 52.
Ο νέος μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός του Μερσέν ήταν:
2^136.279.841-1
Ένας ασύλληπτα μεγάλος αριθμός, με περισσότερα από 41 εκατομμύρια ψηφία!
Να θυμίσω ότι ένας φυσικός αριθμός ονομάζεται τέλειος όταν ισούται με το άθροισμα των θετικών διαιρετών του, εξαιρουμένου του ίδιου. Για παράδειγμα, ο αριθμός 6 είναι τέλειος επειδή 1+2+3=6.
Ο τύπος του Όιλερ παράγει άρτιους τέλειους αριθμούς όταν ο 2^p-1είναι πρώτος.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου