Μαθηματικές μονομαχίες και τετραγωνικές ρίζες που δεν υπάρχουν!

  

 

«Αυτό το αναγνωρίζω ως μοναδικό και εξαιρετικό ανάμεσα στα ελαττώματα μου-την συνήθεια,στην όποια εμμένω,να προτιμώ να λέω πρώτα από όλα πράγματα που ξέρω ότι θα δυσαρεστήσουν τους ακροατές μου.Αυτό το γνωρίζω,ωστόσο το διατηρώ σκόπιμα,και σε καμία περίπτωση δεν αγνοώ πόσους εχθρούς δημιουργεί αυτή η συνήθεια  μου.»

                                                                                      Τζερόλαμο Καρντάνο

  Από το γυμνάσιο όλοι θυμόμαστε τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού,λέγαμε  λοιπόν τότε ότι τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού α είναι  ο αριθμός που όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του  μας δίνει το α.Για παράδειγμα, τετραγωνική ρίζα του 9 είναι ο αριθμός 3 διότι  3Χ3=9. Γεωμετρικά το ερμηνεύουμε ως εξής: για τετράγωνο με εμβαδό 9 τετραγωνικές μονάδες το μήκος της πλευράς του τετραγώνου ισούται με 3 τετραγωνικές  μονάδες. Μέχρι την δεύτερη τάξη του λυκείου μαθαίνουμε να  υπολογίζουμε  αποκλειστικά την τετραγωνική ρίζα θετικών αριθμών . Άλλωστε ποιο θα ήταν το νόημα του ερωτήματος «Να βρεθεί η τετραγωνική ριζα του -1;». Ηχεί αλλοπρόσαλλα αλλά ανέκυψε πριν πολλούς αιώνες.Από το 50 μ.Χ  ο Έλληνας μαθηματικός Ήρων ο Αλεξάνδρεας έπεσε πάνω του προσπαθώντας  να υπολογίσει  τον όγκο ενός τμήματος πυραμίδας.Ο πρώτος όμως που χρησιμοποίησε την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού ήταν ο Νικολο Φοντάνα.

   Ο Φοντάνα,ένας Ιταλός που γεννήθηκε το 1500 στην Μπρεσκια, κοντά στην  Βενετία. Ήταν γιος ενός ταχυδρόμου.Σε μικρή ηλικία έχασε τον πατέρα του,  τον δολοφόνησαν  και η οικογένεια του βυθίστηκε στην φτώχεια. Τα πράγματα όμως χειροτέρεψαν. Όταν ήταν 13 ετών, ο Γαλλικός στρατός εισέβαλλε στην πολη του και σκότωσε χιλιάδες κατοίκους της Μπρεσκια.   Ο Φοντάνα κρύφτηκε στον κοντινό καθεδρικό ναό με την αδελφή του, αλλά  οι στρατιώτες τους βρήκαν και τον χτύπησαν στο πρόσωπο με ένα σπαθί,τραυματίζοντας τον φρικτά.Τον άφησαν περνώντας τον για πεθαμένο, αλλά με την προσεκτική φροντίδα της μητέρας του ανέρρωσε. Για το υπόλοιπο της ζωής του είχε τρομακτικές ουλές στο πρόσωπο και δεν μπορούσε να μιλήσει φυσιολογικά, πράγμα που οδήγησε στο παρατσούκλι του Ταρταλια, δηλαδή ο «τραυλός» στα Λατινικά.Ως ενήλικος έκρυψε τις ουλές του με μια πλούσια  γενειάδα.Ο Φοντάνα διδάχτηκε μονός του μαθηματικά και παρόλο που φαινόταν πολλά υποσχόμενος,ήταν δύσκολος χαρακτήρας,εγωπαθής και μισαλλόδοξος γεγονός που του   στοίχισε  στην εύρεση εργασίας.

  Μέχρι την ηλικία των 18 ετών είχε παντρευτεί και είχε αποκτήσει οικογένεια,ενώ ταυτόχρονα δίδασκε σε ένα σχολείο.Σε ηλικία 35 ετών μετακόμισε στην Βενετία όπου είχε βρει μια θέση καθηγητή με καλό μισθό.

  Φανταστείτε τώρα ότι ο Φοντάνα ήταν τραυλός και παράλληλα καθηγητής σε σχολείο  , πρέπει να ήταν ικανός διότι απέκτησε την φήμη επιφανούς μαθηματικού, ο όποιος διέπρεπε στις μαθηματικές μονομαχίες.Ήταν ένα είδος "αθλήματος" συνήθως ανοιχτό στο κοινό, όπου δυο  μαθηματικοί προκαλούσαν ο ένας τον άλλο με τα τελευταία και πιο δύσκολα προβλήματα μαθηματικών.Νικητής αυτό που θα έλυνε τα περισσότερα. Ο Φοντάνα έγραψε πολλά σημαντικά βιβλία ενώ μετέφρασε για πρώτη φορά τα Στοιχεία  του Ευκλείδη στα Ιταλικά και τα έργα του Αρχιμήδη στα Λατινικά. Ωστόσο, στην ιστορία έμεινε για το έργο του πάνω στις πολυωνυμικές εξισώσεις τρίτου βαθμού, το οποίο υπήρξε και η νέμεση του.

   Ένας άλλος μαθηματικός Ιταλός,ο Σκιπιόνε ντελ Φέρο είχε ανακαλύψει μια μερική λύση για πολυωνυμικές εξισώσεις τρίτου βαθμού-μπορούσε να λύσει μόνο όσες ήταν σχετικά άπλες της μορφής  χ^3+αχ=β .Κράτησε όμως την ανακάλυψη του μυστική και την αποκάλυψε μόνο στο βοηθό του, τον Φιορ, στο νεκροκρέβατο του.Πολλά χρόνια αργότερα, ο Φιορ άρχισε να κομπάζει  σε άλλους μαθηματικούς ότι μπορούσε να λύσει οποιαδήποτε εξίσωση τρίτου βαθμού.Επειδή ο Φοντάνα είχε ήδη βρει την λύση για τις εξισώσεις της μορφής χ³+αχ=β,προκάλεσε τον Φιορ να συναγωνιστούν.Οι δυο μαθηματικοί θα έστελναν  ο ένας στον άλλο  τα πιο δύσκολα προβλήματα τους και νικητής ήταν αυτός που θα έλυνε τα περισσότερα στο μικρότερο χρονικό διάστημα.

   Ο Φοντάνα ενέργησε έξυπνα και έστειλε στον Φιορ,ένα εύρος διαφορετικών προβλημάτων, Ο Φιορ  όμως, μάλλον  μέτριος μαθηματικός,πίστευε πως ήταν  ο μόνος που μπορούσε να λύσει εξισώσεις τρίτου βαθμού, έστειλε τριάντα τέτοιες  εξισώσεις.Ο Φοντάνα τις έλυσε όλες μέσα σε δυο ώρες, αποδεικνύοντας  τις ανώτερες  μαθηματικές του ικανότητες.

Σύντομα πολλοί έμαθαν για την επιτυχία του Φοντάνα και ήθελαν να μάθουν ποια ήταν η γενική λύση του Φοντάνα για την εξίσωση τρίτου βαθμού. Αρχικά ο Φοντάνα δίσταζε να αποκαλύψει  σε οποιοδήποτε το μυστικό του, αλλά σκέφτηκε ότι η ανακοίνωση της μεθόδου θα τον έκανε διάσημο και θα του εξασφάλιζε μια καλύτερη δουλειά. Έτσι αποκάλυψε την μέθοδο του σε ένα διάσημο γιατρό και μαθηματικό ονόματι Τζερόλαμο Καρντανο. Ο Καρντάνο ήταν εξαιρετικά αμφιλεγόμενη προσωπικότητα, δύστροπος χαρακτήρας,είχε κατηγορηθεί από την εκκλησία ως αιρετικός  διότι συνέταξε το ωροσκόπιο του Ιησού Χριστού  και επαίνεσε δημόσια τον αυτοκράτορα της Ρώμης Νέρωνα.Σε όλη του την ζωή διακατεχόταν από το πάθος της χαρτοπαιξίας και όπως ο ίδιος ομολογεί δεν υπήρξε μέρα στην ενήλικη του ζωή που να μην έπαιξε κάποιο από τα αγαπημένα του τυχερά παιχνίδια.Ο Φοντάνα λοιπόν αυτόν τον αινιγματικό άνθρωπο επέλεξε να αποκαλύψει  την μέθοδο του.Την έγραψε υπό μορφή ποιήματος, ώστε να την καταστήσει πιο δύσκολη μια ενδεχόμενη κλοπή της από κάποιον άλλο αντίπαλο μαθηματικό.Ο Καρντάνο υποσχέθηκε να μην  δημοσιεύσει  ποτέ το μυστικό του.

                                      Το ποίημα επίλυσης του Φοντάνα

   Σχεδόν αμέσως, ο Καρντανο παρατήρησε ότι η μέθοδος του Φοντάνα οδηγούσε σε πολύ μερικούς παράξενους αριθμητικούς χειρισμούς.  Αναρωτήθηκε «Μπορούμε να χωρίσουμε το 10 σε δυο μέρη με γινόμενο 40»

Με τον σημερινό συμβολισμό το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με την λύση της εξίσωσης:            

              Χ²-10Χ+40=0                                                                                                                    Μια εξίσωση  τετριμμένη, όπου κάθε  μαθητής  Γ Λυκείου μπορεί να χειριστεί με ευκολία.              
 Όμως ο Καρντάνο το χειρίζεται ως εξής :

«είναι προφανές  ότι το πρόβλημα είναι  αδύνατο. Παρ όλα αυτά μπορούμε να εργαστούμε ως εξής: Χωρίζουμε αρχικά το 10 σε δυο ισα μέρη που το καθένα ισούται με 5. Τετραγωνίζοντας βρίσκουμε 25. Αφαιρούμε από το 25 το 40 και βρίσκουμε -15.Η τετραγωνική ρίζα του 15, αν προστεθεί ή  αφαιρεθεί από το 5 , μας δίνει μέρη με γινόμενο 40. Αυτα τα μέρη θα είναι το 5+√-15  και το 5-√-15  .                 
 Αν  πολλαπλασιάσουμε  το5+√-15  και το 5-√-15   τότε :  

            ( 5+√-15  )(5-√-15)=  52-(√-15)2=25-(-15)=40

 Έτσι προχωρεί η αριθμητική ανάλυση, το τέλος της οποίας  είναι τόσο ραφιναρισμένο όσο και άχρηστο!»                                                                                                                             

     Ανακάλυψε έτσι  ότι όταν επιχειρούσε να βρει την λύση μερικών κυβικών πολυώνυμων, τα αποτελέσματα περιλάμβαναν την χρήση τετραγωνικών  ριζών αρνητικών αριθμών. Έγραψε στον Φοντάνα, ζητώντας του να τον βοηθήσει, αλλά ο Φοντάνα είχε ήδη μετανιώσει που του είχε πει το μυστικό του, οπότε  έγραψε σε μια ασαφή απάντηση, προσπαθώντας σκόπιμα να μπερδέψει τον Καρντανο:«Έτσι λοιπόν σας  απαντώ ότι δεν έχετε κατανοήσει τον αληθινό τρόπο επίλυσης προβλημάτων αυτού του τύπου και μάλιστα θα έλεγα ότι οι μέθοδοι σας είναι τελείως λανθασμένοι.»

   Ο Καρντανο όμως δεν είχε κάνει λάθος και σύντομα κατάλαβε πως ο Φοντάνα μπορούσε να λύνει τις εξισώσεις του ακόμα και όταν εμφανιζόταν τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού. Απλώς θεωρούσε τα αποτελέσματα αυτά κανονικούς αριθμούς.Μετά από αυτό ήταν εύκολο  να καταλήξει στην μέθοδο επίλυσης του Φοντάνα για τα πολυώνυμα  τρίτου βαθμού και μαζί με τον βοηθό του Λουντοβίκο  Φεράρι κατάφεραν να επεκτείνουν την μέθοδο και στα  πολυώνυμα τετάρτου βαθμού. Επίσης ανακάλυψαν ότι ο πρώτος που βρήκε μια λύση για τα πολυώνυμα τρίτου βαθμού ήταν ο Ντελ  Φερο, οπότε δημοσίευσαν την μέθοδο του Ντελ Φερο και την δική τους δουλειά παρακάμπτοντας την υπόσχεση που είχε δώσει ο Καρντανο στον Φοντάνα σχετικά με την δική του δουλειά.

   Ο Φοντάνα ήταν έξαλλος και εξέδωσε ένα βιβλίο με το έργο του τον επόμενο χρόνο ,με την ονομασία  «Διάφορα ερωτήματα και επινοήσεις». Πέρα από την εξιστόρηση της ανακάλυψης του, το βιβλίο περιείχε πάμπολλες προσβολές,δηκτικά  και κακεντρεχή σχόλια κατά του Καρντάνο. Ο Φεραρι το έμαθε και τάχτηκε με το μέρος του παλιού δάσκαλου του, εξέδωσε ένα cartello, μια επιστολή που υπερασπιζόταν τις θέσεις του.Μια  αλληλογραφία όπου ο ένας μαθηματικός αντιπαρατίθεται με τον άλλο σε μαθηματικά θέματα που διάλεγε ο Φοντάνα διότι ήταν αυτός που δέχτηκε την προσβολή.Ο Φεραρι προκάλεσε τον Φοντανα σε δημόσια ζωντανή  αντιπαράθεση, μια μονομαχία με  αριθμούς. Ο Φοντανα αρνήθηκε, διότι τον ενδιέφερε μόνο η αντιπαράθεση με τον Καρντανο. Το 1548 όμως,προσέφεραν στον Φοντάνα μια σημαντική  θέση λέκτορα στην Μπρέσκια. Για να αποδείξει την αξία του ως μαθηματικός, ο Φοντανα συμφώνησε να να διαγωνιστεί με τον Φεραρι. Όταν έφτασε όμως η μέρα,ο Φοντανα ανακάλυψε με τρόμο ότι το εκτενές έργο του Φεραρι στα πολυώνυμα τρίτου και τετάρτου βαθμού σήμαινε πως τα κατανοούσε πολύ καλύτερα από τον ίδιο.Αντί να διακινδυνεύσει να ταπεινωθεί από μια δημόσια  ήττα, ο Φοντάνα  το έσκασε στην μέση της  νύχτας μετά από την πρώτη μόνο εκ των δυο ημερών της «μονομαχίας».Ερήμην του Φοντάνα,ο Λουντοβίκο Φεράρι ανακηρύχτηκε νικητής .

  Η παραίτηση του Φοντάνα ήταν μεγάλο λάθος.Μετά από ένα χρόνο διαλέξεων στην Μπρέσκια, ανακάλυψε ότι δεν θα πληρωνόταν για την δουλειά του.Παρά τις νομικές παρεμβάσεις του, αναγκάστηκε να επιστρέψει στην προηγούμενη εργασία του.Ενώ ο Καρντάνο κατέληξε να γίνει ένας από τους διασημότερους γιατρούς και μαθηματικούς της εποχής του ο Φοντάνα πέθανε μέσα στην φτώχεια και στην ένδεια στην Βενετία σε ηλικία 58 ετών. Όμως η ανακάλυψη του Καρντανο για τις ρίζες των αρνητικών αριθμών  ήταν μόνο η αρχή,παρ ότι εμφανιζόταν τακτικά σε προβλήματα δεν έχαιραν εκτίμησης από τους μαθηματικούς οι οποίοι τις αποκήρυσσαν  και τις αγνοούσαν, έπρεπε  να περάσουν αρκετά χρόνια μέχρις ότου ο θρυλικός  μαθηματικός  Καρλ Φρίντριχ  Γκάους  να  τους δώσει πραγματική υπόσταση.