Ένα ζυγισμένο...πρόβλημα του Hugo steinhaus!

  Ένα πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα πραγματεύτηκε το 1950, ο Hugo  Steinhaus ο μαθηματικός που μας είναι γνώριμος από το πρόβλημα των ίσων μεριδίων. Το πρόβλημα της κατάταξης  ν  αντικείμενων  κατά αύξουσα σειρά  βάρους  (από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο) με τον ελάχιστο αριθμό ζυγίσεων. Ας γίνουμε περισσότερο συγκεκριμένοι.

  Έστω ότι πρέπει να κατατάξετε πέντε διαφορετικά σώματα σύμφωνα  με το βάρος τους. Έχετε όμως στην διάθεση σας  μια ζυγαριά , που έχετε χάσει τα σταθμά της. Πως θα τα καταφέρετε κάνοντας μόνο 7 ζυγίσεις;


   Αν είχατε  δυο σώματα, θα τα καταφέρνατε με μια μόνο ζύγιση. Για τρία σώματα χρειάζονται τρεις ζυγίσεις. Η πρώτη θα δείχνει ποιο  από τα σώματα Α και Β είναι βαρύτερο, εάν είναι το Α, η δεύτερη ζύγιση σας δείχνει ποιο από τα A και Γ είναι βαρύτερο. Εάν το Α είναι βαρύτερο από το Γ, είναι απαραίτητη και τρίτη ζύγιση για την σύγκριση των Β  και Γ.

  

   Για τέσσερα σώματα, το πρόβλημα παραμένει απλό, χρειάζονται 5 ζυγίσεις.

Από 5 σώματα και πάνω το πράγμα αρχίζει και ζορίζει.

Τα 5 σώματα μπορεί να διαταχθούν κατά αυξανόμενο βάρος με επτά ζυγίσεις το πολύ:          1^η ζύγιση : Συγκρίνουμε το Α με το Β και υποθέτουμε ότι το Β είναι πιο βαρύ.       ( Α<Β)

2^η ζύγιση: Συγκρίνουμε το  Γ με το Δ και υποθέτουμε ότι το Δ είναι βαρύτερο       (Γ<Δ)

 3^η ζύγιση: Συγκρίνουμε το  Β με το Δ έστω ότι το Δ είναι βαρύτερο                       ( Β<Δ)

4^η ζύγιση: Συγκρίνουμε το Β με το Ε .

5^η ζύγιση: Εάν το Ε είναι πιο βαρύ από το Β, συγκρίνουμε το Ε με το Δ. Εάν αντίθετα είναι ελαφρύτερο από το Β, τότε το συγκρίνουμε με το Α.

  Η πέμπτη ζύγιση μας επιτρέπει να κατατάξουμε τα τέσσερα αντικείμενα Α,Β,Ε,Δ  κατά αύξουσα σειρά. Γνωρίζουμε όμως από την δεύτερη ζύγιση ότι το Γ είναι πιο ελαφρύ από το Δ. Ας υποθέσουμε ότι το αποτέλεσμα της πέμπτης  ζύγισης  είναι: Δ>Β>Ε>Α. Απομένει η κατάταξη του Γ σε σχέση με τα Β,Ε και Α, πράγμα που θα επιτύχουμε με δυο ακόμα ζυγίσεις.

6^η ζύγιση: Συγκρίνουμε το Γ με το Ε.

 7^η ζύγιση: Αν το Γ είναι πιο βαρύ από το Ε, συγκρίνουμε το Γ με το Β. Εάν το Γ είναι ελαφρύτερο από το Ε, το συγκρίνουμε με το Α.

  Ο  Ηugo  Steinhaus  επανεξέτασε  το πρόβλημα, το 1968, και δίνει  ένα πινάκα στον οποίο αποφαίνεται για τον ελάχιστο αριθμό ζυγίσεων  που απαιτούνται για την διάταξη ν αντικείμενων  όπου ν=1,….,11

ν αντικείμενα	Ελάχιστος αριθμός ζυγίσεων
1	0
2	1
3	3
4	5
5	7
6	10
7	13
8	16
9	19
10	22
11	26

 Το παραπάνω πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το να μας ζητηθεί για ν αριθμό παικτών στο τένις να βρούμε τον ελάχιστο αριθμό παιχνιδιών που πρέπει να δώσουν για να έχουμε την τελική κατάταξη.