Αριθμητική των υπολοίπων και τα ψηφία ελέγχου!

  Κοιτάζετε το ρολόι σας. Ένα αναλογικό ρολόι με τους αριθμούς σε 12ωρη μορφή. Είναι 9:00 ακριβώς  και  σας πληροφορούν ότι  σε 37 ώρες έχετε ένα πολύ σημαντικό ραντεβού. Αναρωτιέστε; Τι ώρα άραγε έχετε ραντεβού; 46:00;  Προφανώς και όχι .Σκέπτεστε λίγο , δεν αργείτε να το βρείτε  10:00 , αλλά τι είδους πρόσθεση είναι αυτή που 9+37 =10 ;                      Τι είδους αριθμητική  προσθέτει θετικούς ακεραίους και το άθροισμα είναι μικρότερο από τους προσθετέους;
Στην περίπτωση του ρολογιού κάθε 12 ώρες επιστρέφουμε στο 1. Αν το καλοσκεφτούμε  το συγκεκριμένο είδος αριθμητικής είναι πιο εύκολο διότι οι αριθμοί ποτέ δεν γίνονται πολύ μεγάλοι.

  Στο προηγούμενο παράδειγμα ,αν προσθέσουμε το 9 στο 37 θα μπορούσαμε να μετρήσουμε ως εξής: 

                                                                9,10,11,12,                                                             

                                       1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,

                                       1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 

                                       1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

Παρατηρούμε ότι όταν φτάνουμε στο 12 , γυρίζουμε πάλι από την αρχή και ο  κύκλος ξεκινά από το 1.  Ας προσπαθησουμε να εξοικειωθούμε λίγο περισσότερο με αυτό το είδος της αριθμητικής του ρολογιού. Υπολογίσαμε ότι 9+37=10. Πόσο κάνει ας πούμε 6+12; Η απάντηση είναι 6, καθώς προσθέτοντας το 12  κάνουμε έναν πλήρη κύκλο ο οποίος μας επιστρέφει στην αρχή. Αρά το 12 στην αριθμητική του ρολογιού είναι  ότι το 0 στην κοινή αριθμητική, η παρατήρηση αυτή μας επιτρέπει να κάνουμε την  προηγούμενη πράξη  9+37 πιο εύκολα.
Το 37 γράφεται:     37=12+12+12+12+1. 

Αλλά θυμόμαστε ότι όταν προσθέτουμε  το 12 είναι σαν να προσθέτουμε το  0  άρα ουσιαστικά το 37 είναι ισοδύναμο με το 1. Αρα 9+37=9+1=10 .Ας το προχωρήσουμε λίγο. Με τι ισούται η παράσταση (4x7)+20 στην αριθμητική του ρολογιού; Έχουμε 4x7=28 , αλλά 28 είναι ισοδύναμο με το 4, άρα 28=12+12+4. Τώρα το 20 είναι ισοδύναμο με το 8, άρα 20=12+8.

Τελικά:

                                    (4x7)+20=4+8=12.

Πως θα γινόταν η αριθμητική του ρολογιού μας αν το ρολόι ήταν σαν το παρακάτω σχήμα:

                                                

  Σε αυτό το  ρολόι προσθέτοντας 7 γυρίζουμε στο 0 ,άρα το 0 και το 7 είναι ισοδύναμα. Όποτε για παράδειγμα το άθροισμα 6+4=10 είναι ισοδύναμο με το  3 αφού  10=7+3. Με άλλα λόγια με αυτό το τρελό ρολόι  4 ώρες μετά τις 6:00 είναι 3:00 . Σας ξενίζει αλλά  αυτό  το παράξενο  ρολόι το χρησιμοποιούμε για να βρίσκουμε  την μέρα της εβδομάδας . Η ιδιότυπη αυτή αριθμητική ονομάζεται αριθμητική των υπολοίπων ή Μοδιακή αριθμητική  και χρησιμοποιείται για να πιστοποιήσουμε  την γνησιότητα  επιταγών, διπλωμάτων οδήγησης  , χαρτονομισμάτων  και κάθε είδους  προϊόντων.

   Ας υποθέσουμε ότι αγοράζετε μια ηλεκτρική συσκευή .Ένα  mp3 player, προσπαθείτε να βρείτε τις λειτουργίες που έχει.Το φυλλάδιο με τις οδηγίες δεν είναι αρκετά κατατοπιστικό.Παρατηρείτε όμως  στην συσκευασία μια τηλεφωνική γραμμή, χωρίς χρέωση της κατασκευάστριας εταιρείας για την εξυπηρέτηση πελατών. Τζάμπα είναι, καλείτε, στο τηλεφωνικό κέντρο σας απαντά ο υπάλληλος και το πρώτο που σας ζητεί πέρα από τα στοιχεία σας είναι τα δώσετε τον κωδικό του προϊόντος , ένα δεκαψήφιο αριθμό που βρίσκεται  στην συσκευασία. Πράγματι, βλέπετε τον αριθμό και τον υπαγορεύετε στον υπάλληλο:

                                                              0-486-28151-3

Ο υπάλληλος σας ακούει προσεκτικά  και σας επισημαίνει ότι δεν τον διαβάσατε σωστά και πρέπει  να τον επαναλάβετε και πράγματι έχει δίκιο ,το προτελευταίο ψηφίο είναι 2 και όχι 1.Πως το ήξερε;             

Η απάντηση είναι  το ψηφίο έλεγχου και αποτελεί εφαρμογή  της αριθμητικής  του ρολογιού.

 Το τελευταίο ψηφίο κάθε κωδικού σε όλα πια τα προϊόντα προκύπτει από τα υπόλοιπα ψηφία και ονομάζεται ψηφίο έλεγχου. Συγκεκριμένα  στο παράδειγμα μας  ακολουθούμε την εξής διαδικασία για να το υπολογίσουμε . Πολλαπλασιάζουμε κάθε ψηφίο που μας δόθηκε εκτός από το τελευταίο με τους αριθμούς από το 1 μέχρι το 9 και προσθέτουμε τα αθροίσματα, το  αποτέλεσμα το διαιρούμε με το 11 και το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι το τελευταίο ψηφίο , το ψηφίο έλεγχου.

Ο  κωδικός  είναι: 0-486-28152-3. Τα υπογραμμισμένα ψηφία είναι τα ψηφία του κωδικού.

          1x0+2x4+3x8+4x6+5x2+6x8+7x1+8x5+9x2=1+8+24+24+10+48+7+40+18=179

Διαιρούμε το 179 με το 11 και το υπόλοιπο βγαίνει 3, που είναι το ψηφίο έλεγχου.

Δείτε και τον αλγόριθμο Lunn